Mecanica spațială

De mecanicii spațiale , de asemenea , numit astrodynamics , este în domeniul astronomiei și astronauticii , știința care se ocupă cu studiul de circulație . Este o ramură specială a mecanicii cerești care urmărește în special să prezică traiectoria obiectelor spațiale, cum ar fi rachete sau nave spațiale, inclusiv manevre orbitale, schimbări ale planului orbitei și transferuri interplanetare.

Legile fundamentale

Legile lui Kepler

Primele legi mecanicii spațiale au fost descoperite experimental prin observarea mișcării planetelor Kepler la începutul XVII - lea  secol. Ele constituie legile mișcării kepleriene . Să ne reamintim aici principalele rezultate:

• Prima lege (1609): pe orbitele ale planetelor sunt plane elipse în care Soarele ocupă una dintre focarele .
• A doua lege (1609): legea ariilor: ariile egale sunt măturate de raza vectorială care unește Soarele cu planeta în intervale de timp egale.
• A treia lege (1619): raportul dintre cubul axei semi-majore și pătratul perioadei de revoluție a planetei din jurul Soarelui este independent de planetă: Se poate scrie și matematic: unde este perioada lui l " orbita , axa semi-majoră și cu constanta gravitațională universală și masa soarelui .la{\ displaystyle a}T{\ displaystyle T}
  la3T2=latură{\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {T ^ {2}}} = {\ text {cte}}}
  
  T=2πla3μ{\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {a ^ {3}} {\ mu}}}}
  T{\ displaystyle T}la{\ displaystyle a}μ=GMS{\ displaystyle \ mu = GM_ {S}}G{\ displaystyle G}MS{\ displaystyle M_ {S}}

Aceste legi sunt încă folosite cu o bună aproximare în majoritatea calculelor simple ale mișcării orbitale. Acesta este tipul de referință al mișcării orbitale și, în special, mișcările realiste sunt calculate ca perturbări slabe ale unei mișcări kepleriene.

Mișcarea forței centrale

Mișcarea kepleriană este o mișcare a forței centrale . Aceasta implică în special o lege a conservării energiei care este scrisă în cazul elipsei:

V22-μr=-μ2la{\ displaystyle {\ frac {V ^ {2}} {2}} - {\ frac {\ mu} {r}} = - {\ frac {\ mu} {2a}}}

V{\ displaystyle V}este viteza corpului pe orbita sa , distanța dintre corp și centrul de atracție. Celelalte notații sunt identice. r{\ displaystyle r}

Parametrii orbitali

În loc să descriem mișcarea unui obiect spațial prin coordonatele carteziene clasice, vom folosi faptul că mișcarea are loc pe o elipsă în spațiu. Putem astfel să înlocuim setul clasic de coordonate carteziene de 6 cu un set de 6 numere numite parametri orbitali: (X,y,z,X˙,y˙,z˙){\ displaystyle (x, y, z, {\ dot {x}}, {\ dot {y}}, {\ dot {z}})}

• la{\ displaystyle a}semiaxa mare a orbitei
• e{\ displaystyle e}excentricitate a orbitei
• eu{\ displaystyle i}înclinarea a orbitei
• Ω{\ displaystyle \ Omega}longitudinea nodului ascendent
• ω{\ displaystyle \ omega}argumentul periapsis
  ( periheliu în cazul Soarelui , perigeu în cazul Pământului )
• Un număr care permite identificarea poziției pe orbită, după dorință:
  • ν{\ displaystyle \ nu} adevărată anomalie sau
  • E{\ displaystyle E} anomalie excentrică sau
  • M{\ displaystyle M} anomalie medie .

Există formule explicite care permit trecerea între aceste 2 seturi de coordonate (referință care va veni).

Parametrii orbitali ai obiectelor ( sateliți și resturi spațiale ) pe orbita Pământului sunt monitorizați continuu și publicați într-un format standard (vezi TLE, Elementele cu două linii ).

Repere în mecanica spațială

Pentru a descrie o orbită folosind parametri orbitali, cadrul de referință galilean ales va fi geocentric; axele sale sunt axa nord-sud a Pământului, fixată ca o primă aproximare, axa vernală (intersecția dintre planul ecuatorial și planul ecliptic la un moment dat) și ultima astfel încât cele trei formează un sistem de coordonate ortonormale directe .

Mișcarea kepleriană deranjată

Calculele standard în mecanica spațială sunt efectuate într-un cadru keplerian, unde, în special, se presupune că singura forță care acționează asupra vehiculului este atracția terestră și că Pământul este sferic și omogen. Ambele ipoteze sunt de fapt greșite; experiența arată totuși că accelerațiile cauzate de alte forțe decât atracția centrală sunt slabe în comparație cu accelerația kepleriană. De aceea considerăm că celelalte forțe sunt perturbări ale mișcării.

Forțe de perturbare

Forțele gravitaționale

Aceste forțe depind doar de distribuția maselor în jurul satelitului și derivă dintr-un potențial de poziție. Rețineți acest potențial. U{\ displaystyle U}

Potențialul pământului

În cazul Keplerian, Pământul este sferic, iar potențialul terestru este calculat simplu și merită . În cazul real, volumul de integrare este mult mai complex. Pentru a avea o formă exploatabilă, scriem acest potențial sub formă de armonici sferice și obținem: μr{\ displaystyle {\ tfrac {\ mu} {r}}}

U=μr+μr∑nu=1∞(reqr)nu[-JnuPnu(păcat⁡ϕ)+∑m=1nu{VSnumcos⁡(mλ)+Snumpăcat⁡(mλ)}Pmnupăcat⁡(ϕ)]{\ displaystyle U = {\ frac {\ mu} {r}} + {\ frac {\ mu} {r}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {r_ { eq}} {r}} \ right) ^ {n} \ left \ lbrack -J_ {n} P_ {n} (\ sin \ phi) + \ sum _ {m = 1} ^ {n} \ lbrace C_ { nm} \ cos (m \ lambda) + S_ {nm} \ sin (m \ lambda) \ rbrace P_ {mn} \ sin (\ phi) \ right \ rbrack}

În această expresie, este raza ecuatorială terestră, este o constantă inerțială a Pământului numită armonică zonală de ordinul n și sunt, de asemenea, constante inerțiale numite armonii teserale, este polinomul lui Legendre de ordine n, funcția asociatului propriu al lui Legendre. , și sunt raza-vector, longitudinea și latitudinea geocentrică a punctului în care se calculează potențialul. req{\ displaystyle r_ {eq}}Jnu{\ displaystyle J_ {n}}VSnum{\ displaystyle C_ {nm}}Snum{\ displaystyle S_ {nm}}Pnu{\ displaystyle P_ {n}}Pnum{\ displaystyle P_ {nm}}r{\ displaystyle r}λ{\ displaystyle \ lambda}ϕ{\ displaystyle \ phi}

Primul termen al acestei dezvoltări , traduce aplatizarea la poli. Acest termen are o intensitate relativă de față de potențialul keplerian, în timp ce următorii termeni sunt în . J2{\ displaystyle J_ {2}}10-3{\ displaystyle 10 ^ {- 3}}10-6{\ displaystyle 10 ^ {- 6}}

Atracție datorată Lunii sau Soarelui

Luând o referință în care vehiculul are coordonate și noul corp atrăgător, Luna sau Soarele , atunci se scrie potențialul suplimentar datorat acestui corp: (X,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}(X′,y′,z′){\ displaystyle (x ', y', z ')}

Up=μp(1Δ-XX′+yy′+zz′rp3){\ displaystyle U_ {p} = \ mu _ {p} \ left ({\ frac {1} {\ Delta}} - {\ frac {xx '+ yy' + zz '} {r_ {p} ^ {3 }}} \ dreapta)}

cu:

Δ2=rp2+r2-2(XX′+yy′+zz′){\ displaystyle \ Delta ^ {2} = r_ {p} ^ {2} + r ^ {2} -2 (xx '+ yy' + zz ')}

Ordinea de mărime legată de potențialul keplerian este pentru Soare și pentru Lună. 10-8{\ displaystyle 10 ^ {- 8}}10-7{\ displaystyle 10 ^ {- 7}}

Forțe non-gravitaționale

Aceste forțe, spre deosebire de cele anterioare, nu derivă dintr-un potențial. De data aceasta vom calcula deci accelerațiile induse de aceste forțe.

Fricțiune atmosferică

Forța de frecare atmosferică se datorează interacțiunii dintre atmosferă și vehicul. Având în vedere viteza mare a vehiculelor prin satelit, în ciuda densității reduse a atmosferei la aceste altitudini, această forță nu poate fi neglijată până la o altitudine de 1.500  km .

Forța creată de-a lungul axei vitezei mașinii, care va fi, prin urmare, opusă acestei viteze, este scrisă:

γf=12ρSVr2VSXm{\ displaystyle \ gamma _ {f} = {\ frac {1} {2}} \ rho SV_ {r} ^ {2} {\ frac {C_ {x}} {m}}}

În această relație, este densitatea atmosferei, o suprafață de referință, viteza vehiculului în raport cu atmosfera, coeficientul de frânare a vehiculului și masa sa. ρ{\ displaystyle \ rho}S{\ displaystyle S}Vr{\ displaystyle V_ {r}}VSX{\ displaystyle C_ {x}}m{\ displaystyle m}

Există, de asemenea, forțe de natură similară de-a lungul celorlalte axe de coordonate (forțe de ridicare , de exemplu), dar efectele lor sunt în general mai slabe. În funcție de altitudine, această forță de frecare are intensități legate de cea a potențialului keplerian de la până la . 10-4{\ displaystyle 10 ^ {- 4}}10-9{\ displaystyle 10 ^ {- 9}}

Presiunea radiației solare

Această forță se datorează interacțiunii fotonilor cu vehiculul. Accelerația datorată presiunii radiației directe care vine de la Soare poate fi scrisă:

γp→=ϵSP0VSpmtu→{\ displaystyle {\ vec {\ gamma _ {p}}} = \ epsilon SP_ {0} {\ frac {C_ {p}} {m}} {\ vec {u}}}

ϵ{\ displaystyle \ epsilon}este un coeficient egal cu 1 dacă satelitul este aprins și 0 în caz contrar, este o suprafață de referință, directă solară presiunea radiațiilor pe unitate de suprafață, fiind în medie 4,63 x 10 -6 N m -2 , coeficientul de reflexivitate al ordinului a , și versorul direcției Sun-vehicul. S{\ displaystyle S}P0{\ displaystyle P_ {0}} VSp{\ displaystyle C_ {p}}1,5{\ displaystyle 1.5}tu→{\ displaystyle {\ vec {u}}}

Ecuații ale mișcării perturbate

Ecuațiile Lagrange Ecuații Gauss

Manevre orbitale

Principiul general al manevrelor este modificarea unuia sau mai multor parametri orbitali folosind mijloacele de propulsie ale obiectului spațial luat în considerare.

Forța de împingere și variația masei mașinii

În cazul unui motor de propulsie cu propulsor , forța de împingere poate fi scrisă:

F=-m˙g0Eusp{\ displaystyle F = - {\ dot {m}} g_ {0} I_ {sp}}

m˙{\ displaystyle {\ dot {m}}}este rata de intrare materialul de curgere, constanta gravitațională, și impulsul specific . g0{\ displaystyle g_ {0}}Eusp{\ displaystyle I_ {sp}}

Frecvent, în timpul manevrelor, această împingere are loc pentru un timp neglijabil în comparație cu perioada orbitei. Putem face ipoteza unei impulsuri de impuls: atunci considerăm că această împingere are loc instantaneu. Această presupunere face posibilă utilizarea ecuației lui Tsiolkowski pentru a aproxima variația masei de combustibil în timpul manevrei:

Δm=m0(1-e|ΔV|g0Eusp){\ displaystyle \ Delta m = m_ {0} (1-e ^ {\ frac {| \ Delta V |} {g_ {0} I_ {sp}}})}

În acest caz este variația modulului de viteză în timpul manevrei și a masei inițiale a propulsorului . ΔV{\ displaystyle \ Delta V}m0{\ displaystyle m_ {0}}

Schimbarea formei orbitei

Scopul este de a modifica parametrii de formă și , astfel încât să reducă la minimum combustibilul consumat. Arătăm că, pentru un anumit moment, este minim dacă tracțiunea este coliniară cu viteza și viteza este maximă. la{\ displaystyle a}e{\ displaystyle e}Δla{\ displaystyle \ Delta a}ΔV{\ displaystyle \ Delta V}

Manevrele sunt, prin urmare, efectuate în periastron, care îndeplinește ambele condiții. Manevrele optime pentru modificarea formei orbitei constau apoi în modificarea apoastro.

Un exemplu de orbită de transfer care utilizează această manevră optimă este orbita Hohmann .

Modificarea planului orbitei

De data aceasta încercăm să modificăm parametrii și . Dacă se dorește doar modificarea , este vorba de efectuarea manevrei la nivelul nodului ascendent sau descendent, pentru a roti orbita în jurul acestei linii. Dacă vrem să trecem de la înclinație la înclinare , arătăm că variația de viteză necesară este scrisă: eu{\ displaystyle i}Ω{\ displaystyle \ Omega}eu{\ displaystyle i} eu1{\ displaystyle i_ {1}} eu2{\ displaystyle i_ {2}}

ΔV=2V0păcat⁡(eu2-eu12){\ displaystyle \ Delta V = 2V_ {0} \ sin \ left ({\ frac {i_ {2} -i_ {1}} {2}} \ right)}

V0{\ displaystyle V_ {0}} este apoi viteza la nodul de manevră.

Modificările sale sunt, la rândul lor, complexe și costisitoare din punct de vedere al propulsorilor. Ω{\ displaystyle \ Omega}

Referințe

• Legea franceză: decret din 20 februarie 1995 referitoare la terminologia științei și tehnologiei spațiale.
• B. Escudier, JY Pouillard, Mecanică spațială , Toulouse, ENSAE Toulouse,1997( reeditare  1996, 1997), 111  p. ( ISBN  2-84088-028-8 )ISAE handout pe mecanicii spațiale.

• O. Zarrouati, Space Trajectories , Toulouse, CNES - Cépadues Editions

• MN.Sanz, AE.Badel, F.Clausset, Fizică: All-in-One 1 st an , Paris, Dunod - integrez, 2002-2003 725  p. ( ISBN  978-2-10-007950-6 și 2-10-007950-6 )

Vezi și tu

Articole similare

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">