Media cvasi-aritmetică

În matematică și statistici , în medie , aproape aritmetice , în medie Kolmogorov sau f -moyennes generalizată reprezintă o generalizare a mediilor spune generalizate (ele însele o generalizare medie standard: aritmetica , geometrie ,  etc ). Acestea sunt parametrizate de o funcție f .

Definiție

Fie o funcție a unui interval în număr real , continuu și injectiv . f{\ displaystyle f}Eu⊂R{\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}

Semnificația de numere este definită ca , care poate fi, de asemenea, scrisă f{\ displaystyle f}nu{\ displaystyle n} X1,...,Xnu∈Eu{\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {n} \ în I}Mf(X1,...,Xnu)=f-1(f(X1)+⋯+f(Xnu)nu){\ displaystyle M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = f ^ {- 1} \ left ({\ frac {f (x_ {1}) + \ cdots + f (x_ { n})} {n}} \ right)}

Mf(X→)=f-1(1nu∑k=1nuf(Xk)){\ displaystyle M_ {f} ({\ vec {x}}) = f ^ {- 1} \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} f ( x_ {k}) \ right)}

Este necesar să fie injectiv pentru ca inversul său să fie definit. După cum este definit într-un interval, aparține domeniului de definiție al . f{\ displaystyle f}f-1{\ displaystyle f ^ {- 1}}f{\ displaystyle f}f(X1)+⋯+f(Xnu)nu{\ displaystyle {\ frac {f (x_ {1}) + \ cdots + f (x_ {n})} {n}}}f-1{\ displaystyle f ^ {- 1}}

Deoarece este injectiv și continuu, este, prin urmare, strict monoton , de unde rezultă că -semnul este întotdeauna între minimul și maximul numerelor din argument: f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}

min(X1,...,Xnu)≤Mf(X1,...,Xnu)≤max(X1,...,Xnu){\ displaystyle \ min (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ leq M_ {f} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ leq \ max (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}

Exemple

(În exemplele următoare sau ) Eu=R{\ displaystyle I = \ mathbb {R}}R+{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}

• Căci , atunci -means corespunde mediei aritmetice indiferent și (vezi proprietatea de invarianță a scării infra ).f(X)=la⋅X+b{\ displaystyle f (x) = a \ cdot x + b}f{\ displaystyle f}la≠0{\ displaystyle a \ neq 0}b{\ displaystyle b}
• Căci , atunci -sensiunea corespunde mediei geometrice indiferent de baza logaritmului, deoarece este pozitivă și diferită de 1.f(X)=ln⁡(X){\ displaystyle f (x) = \ ln (x)}f{\ displaystyle f}
• Căci , atunci -sensiunea corespunde mediei armonice .f(X)=1X{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}f{\ displaystyle f}
• Căci , atunci -sensiunea corespunde mediei generalizate a exponentului .f(X)=Xp{\ displaystyle f (x) = x ^ {p}}f{\ displaystyle f}p{\ displaystyle p}
• De atunci -Average este medie în logaritmică jumătate inelul (in) , care este o versiune deplasată de o constantă a funcției SOFTmax : . Corespunde unei divizări de către .f(X)=exp⁡(X){\ displaystyle f (x) = \ exp (x)}f{\ displaystyle f} Mf(X1,...,Xnu)=softmlaX(X1,...,Xnu)-ln⁡(nu){\ displaystyle M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ mathrm {softmax} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) - \ ln (n)}-ln⁡(nu){\ displaystyle - \ ln (n)}nu{\ displaystyle n}

Proprietăți

Următoarele proprietăți sunt adevărate pentru orice funcție care îndeplinește definiția de mai sus: f{\ displaystyle f}

Simetrie: Valoarea lui este invariantă prin permutarea argumentelor sale. Mf{\ displaystyle M_ {f}}

Punct fix . ∀X∈Eu,Mf(X,...,X)=X{\ displaystyle \ forall x \ in I, M_ {f} (x, \ dots, x) = x}

Monotonie: este monotonă în fiecare dintre argumentele sale (deoarece este monotonă). Mf{\ displaystyle M_ {f}}f{\ displaystyle f}

Continuitate: este continuu în fiecare dintre argumentele sale (deoarece este continuu). Mf{\ displaystyle M_ {f}}f{\ displaystyle f}

Înlocuire: Orice subset de argumente poate fi înlocuit cu -Average de repetate ori, fără a modifica rezultatul -Average. Dacă notăm avem: k{\ displaystyle k}f{\ displaystyle f}k{\ displaystyle k}f{\ displaystyle f}m=Mf(X1,...,Xk){\ displaystyle m = M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {k})}

Mf(X1,...,Xk,Xk+1,...,Xnu)=Mf(m,...,m⏟k timp,Xk+1,...,Xnu){\ displaystyle M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {k}, x_ {k + 1}, \ dots, x_ {n}) = M_ {f} (\ underbrace {m, \ dots, m} _ {k {\ text {times}}}, x_ {k + 1}, \ dots, x_ {n})}

Partiționare  : calcululsemnului-poate fi separat în mai multe calcule ale subseturilor de aceeași dimensiune: f{\ displaystyle f}

Mf(X1,...,Xnu⋅k)=Mf(Mf(X1,...,Xk),Mf(Xk+1,...,X2⋅k),...,Mf(X(nu-1)⋅k+1,...,Xnu⋅k)){\ displaystyle M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {n \ cdot k}) = M_ {f} (M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {k}), M_ {f} (x_ {k + 1}, \ dots, x_ {2 \ cdot k}), \ dots, M_ {f} (x _ {(n-1) \ cdot k + 1}, \ dots, x_ {n \ cdot k}))}}

Autodistribuitor: Pentru orice medie Kolmogorov din două argumente, avem: M{\ displaystyle M}

M(X,M(y,z))=M(M(X,y),M(X,z)){\ displaystyle M (x, M (y, z)) = M (M (x, y), M (x, z))}.

Medialitate: Pentru orice medie Kolmogorov din două argumente, avem: M{\ displaystyle M}

M(M(X,y),M(z,w))=M(M(X,z),M(y,w)){\ displaystyle M (M (x, y), M (z, w)) = M (M (x, z), M (y, w))}.

Echilibrare: Pentru orice medie Kolmogorov din două argumente, avem: M{\ displaystyle M}

M(M(X,M(X,y)),M(y,M(X,y)))=M(X,y){\ displaystyle M \ left (M (x, M (x, y)), M (y, M (x, y)) \ right) = M (x, y)}.

Teorema limitei centrale  : în condiții de regularitate și pentru un eșantion suficient de mare,urmează aproximativ o distribuție normală . nu{Mf(X1,...,Xnu)-f-1(Mf(X1,...,Xnu))}{\ displaystyle {\ sqrt {n}} \ {M_ {f} (X_ {1}, \ dots, X_ {n}) - f ^ {- 1} (M_ {f} (X_ {1}, \ dots , X_ {n})) \}}

Invarianța la scară: media Kolmogorov este invariantă prin traducerea și dilatarea funcției : f{\ displaystyle f}

∀la, ∀b≠0,((∀t, g(t)=la+b⋅f(t))⇒∀X; Mf(X)=Mg(X){\ displaystyle \ forall a, \ \ forall b \ neq 0, ((\ forall t, \ g (t) = a + b \ cdot f (t)) \ Rightarrow \ forall x; \ M_ {f} (x ) = M_ {g} (x)}.

Caracterizare

Există mai multe seturi de proprietăți care caracterizează media Kolmogorov (adică, pentru orice funcție care îndeplinește aceste proprietăți, există o funcție astfel încât . M{\ displaystyle {\ mathcal {M}}}f{\ displaystyle f}M=Mf{\ displaystyle {\ mathcal {M}} = M_ {f}}

• Mediality este , în esență suficientă pentru a caracteriza o medie Kolmogorov.
• Auto-distributivitatea este , în esență suficientă pentru a caracteriza o medie Kolmogorov.
• Kolmogorov a demonstrat că cele cinci proprietăți ale simetriei, punctului fix, monotonicității, continuității și substituției caracterizează pe deplin un -mediu.f{\ displaystyle f}
• Echilibrare : O întrebare interesantă este dacă această proprietate poate înlocui cea a substituției din mulțimea Kolmogorov, adică dacă cele cinci proprietăți ale simetriei, punctului fix, monotoniei, continuității și echilibrării sunt suficiente pentru a caracteriza o medie de către Kolmogorov. Georg Aumann  (în) a demonstrat în 1930 că răspunsul este în general nu, dar adaugă doar presupunerea că fie analitice pentru ca acesta să fie cazul.M{\ displaystyle {\ mathcal {M}}}

Omogenitate

Cele medii sunt de obicei omogene , dar pentru aproape toate funcțiile , The -Average nu este. De fapt, singurele mijloace omogene Kolmogorov sunt mijloacele generalizate. Vezi Hardy - Littlewood - Pólya, pagina 68. f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}

Proprietatea de omogenitate poate fi totuși obținută prin normalizarea argumentelor printr-o medie (omogenă) . VS{\ displaystyle C}

Mf,VSX=VSX⋅f-1(f(X1VSX)+⋯+f(XnuVSX)nu){\ displaystyle M_ {f, C} x = Cx \ cdot f ^ {- 1} \ left ({\ frac {f \ left ({\ frac {x_ {1}} {Cx}} \ right) + \ cdots + f \ left ({\ frac {x_ {n}} {Cx}} \ right)} {n}} \ right)}

Cu toate acestea, această modificare poate încălca proprietățile monotoniei și partiționării.

Referințe

• (fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „  Quasi-arithmetic mean  ” ( vezi lista autorilor ) .

1. Miguel de Carvalho , „  Adică, ce vrei să spui?  ”, The American Statistician , vol.  70, n o  3,2016, p.  764‒776 ( DOI  10.1080 / 00031305.2016.1148632 , citiți online )
2. Aczél, J.; Dhombres, JG , Ecuații funcționale în mai multe variabile. Cu aplicații la matematică, teoria informației și la științele naturale și sociale. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 31. , Cambridge, Cambridge Univ. Presa,1989
3. Anton Grudkin , "  Caracterizarea mediei cvasi-aritmetice  " , pe Math stackchange ,2019
4. Georg Aumann , „  Vollkommene Funktionalmittel und gewisse Kegelschnitteigenschaften  ”, Journal für die Reine und angewandte Mathematik , vol.  1937, nr .  176,1937, p.  49–55 ( DOI  10.1515 / crll.1937.176.49 )
5. Georg Aumann , "  Grundlegung der Theorie der analytischen Analytische Mittelwerte  ", Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften ,1934, p.  45–81

Vezi și tu

Bibliografie

• Andrey Kolmogorov (1930) „Despre noțiunea de medie”, în „Matematică și mecanică” (Kluwer 1991) - pp. 144–146.
• Andrey Kolmogorov (1930) Despre noțiunea de medie. Atti Accad. Naz. Lincei 12, pp. 388–391.
• John Bibby (1974) „Axiomatizări ale mediei și o generalizare suplimentară a secvențelor monotonice”, Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, pp. 63-65.
• Hardy, GH; Littlewood, JE; Pólya, G. (1952) Inegalități. A 2-a ed. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1952.

Articole similare

• Medie generalizată
• Inegalitatea lui Jensen

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">