Medie generalizată

În matematică , mediile generalizate sunt o familie de funcții care caracterizează un set de numere, numărând printre ele cazurile particulare de aritmetică medie , geometrică și armonică . Putem vorbi , de asemenea , de putere medie , P- comanda medie sau a lui Hölder medie , în conformitate cu Otto Hölder .

Definiții

Media comenzii p

Fie p un număr real diferit de zero. Definim media ordinii p a realelor pozitive x 1 , ..., x n ca:

Mp(X1,...,Xnu)=(1nu∑eu=1nuXeup)1p{\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i } ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}}

Pentru p = 0, o prezentăm ca fiind media geometrică (care corespunde cazului limită al mediilor de ordine care se apropie de 0):

M0(X1,...,Xnu)=∏eu=1nuXeunu{\ displaystyle M_ {0} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ sqrt [{n}] {\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}}}.

Exponenții infiniti pozitivi și negativi corespund maximului și minimului, în cazurile clasice și ponderate (care corespunde și cazului limită al mediilor de ordine care se apropie de infinit):

M∞(X1,...,Xnu)=max(X1,...,Xnu)M-∞(X1,...,Xnu)=min(X1,...,Xnu){\ displaystyle {\ begin {align} M _ {\ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) & = \ max (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \\ M_ {- \ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) & = \ min (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ end {align}}}

Versiuni ponderate

Putem defini , de asemenea medii ponderate de ordinul p pentru o secvență de greutăți pozitive w i verificarea cu ∑weu=1{\ displaystyle \ sum w_ {i} = 1}

Mp(X1,...,Xnu)=(∑eu=1nuweuXeup)1pM0(X1,...,Xnu)=∏eu=1nuXeuweu{\ displaystyle {\ begin {align} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) & = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ { i} ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}} \\ M_ {0} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) & = \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ end {align}}}

Cazul clasic corespunde distribuției egale a greutăților: w i = 1 / n .

Proprietăți și observații de bază

• Observați asemănarea cu normele de ordine p .
• Ca majoritatea mijloacelor, media generalizată este o funcție omogenă în x 1 , ..., x n . Astfel, dacă b este un real pozitiv, media generalizată de ordine p a numerelor bx 1 , ..., bx n este egală cu b înmulțită cu media generalizată a x 1 , ..., x n .
• La fel ca mijloacele cvasiaritmetice , calculul mediei poate fi separat în subblocuri de aceeași dimensiune.

Mp(X1,...,Xnu⋅k)=Mp(Mp(X1,...,Xk),Mp(Xk+1,...,X2⋅k),...,Mp(X(nu-1)⋅k+1,...,Xnu⋅k)){\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n \ cdot k}) = M_ {p} (M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {k}), M_ {p} (x_ {k + 1}, \ dots, x_ {2 \ cdot k}), \ dots, M_ {p} (x _ {(n-1) \ cdot k + 1}, \ dots, x_ {n \ cdot k}))}}.

Cazuri speciale

M-∞(X1,...,Xnu)=limp→-∞Mp(X1,...,Xnu)=min{X1,...,Xnu}{\ displaystyle M _ {- \ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lim _ {p \ to - \ infty} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ min \ {x_ {1}, \ dots, x_ {n} \}}	minim
M-1(X1,...,Xnu)=nu1X1+⋯+1Xnu{\ displaystyle M _ {- 1} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ frac {n} {{\ frac {1} {x_ {1}}} + \ dots + {\ frac {1} {x_ {n}}}}}}	medie armonică
M0(X1,...,Xnu)=limp→0Mp(X1,...,Xnu)=X1⋅⋯⋅Xnunu{\ displaystyle M_ {0} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lim _ {p \ to 0} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ cdot \ dots \ cdot x_ {n}}}}	medie geometrică
M1(X1,...,Xnu)=X1+⋯+Xnunu{\ displaystyle M_ {1} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ frac {x_ {1} + \ dots + x_ {n}} {n}}}	medie aritmetică
M2(X1,...,Xnu)=X12+⋯+Xnu2nu{\ displaystyle M_ {2} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ sqrt {\ frac {x_ {1} ^ {2} + \ dots + x_ {n} ^ {2}} {nu}}}}	rădăcină medie pătrată
M+∞(X1,...,Xnu)=limp→∞Mp(X1,...,Xnu)=max{X1,...,Xnu}{\ displaystyle M _ {+ \ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lim _ {p \ to \ infty} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ { n}) = \ max \ {x_ {1}, \ dots, x_ {n} \}}	maxim

Dovadă că (medie geometrică)limp→0Mp=M0{\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {p \ to 0} M_ {p} = M_ {0}}

Rescriem definiția lui M p cu funcția exponențială

Mp(X1,...,Xnu)=exp⁡(ln⁡[(∑eu=1nuweuXeup)1/p])=exp⁡(1pln⁡(∑eu=1nuweuXeup)){\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ exp {\ left (\ ln {\ left [\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ right) ^ {1 / p} \ right]} \ right)} = \ exp {\ left ({\ frac {1} {p}} \ ln \ left ( \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ right) \ right)}}

Pentru p → 0, aplicăm regula L'Hôpital  :

limp→01pln⁡(∑eu=1nuweuXeup)=limp→0∑eu=1nuweuXeupln⁡Xeu∑eu=1nuweuXeup=∑eu=1nuweuln⁡Xeu=ln⁡(∏eu=1nuXeuweu){\ displaystyle \ lim _ {p \ to 0} {\ frac {1} {p}} \ ln \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p } \ right) = \ lim _ {p \ to 0} {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ ln {x_ {i}} } {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} \ ln {x_ { i}} = \ ln {\ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ right)}}

Prin continuitatea funcției exponențiale, obținem

limp→0Mp(X1,...,Xnu)=exp⁡(ln⁡(∏eu=1nuXeuweu))=∏eu=1nuXeuweu=M0(X1,...,Xnu).{\ displaystyle \ lim _ {p \ to 0} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ exp {\ left (\ ln {\ left (\ prod _ {i = 1 } ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ right)} \ right)} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} = M_ {0} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}).} Dovadă că șilimp→∞Mp=M∞{\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {p \ to \ infty} M_ {p} = M _ {\ infty}}limp→-∞Mp=M-∞{\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {p \ to - \ infty} M_ {p} = M _ {- \ infty}}

Presupunem, chiar dacă înseamnă reordonarea termenilor, că x 1 ≥ ... ≥ x n . Asa de

limp→∞Mp(X1,...,Xnu)=limp→∞(∑eu=1nuweuXeup)1/p=X1limp→∞(∑eu=1nuweu(XeuX1)p)1/p=X1=M∞(X1,...,Xnu).{\ displaystyle \ lim _ {p \ to \ infty} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lim _ {p \ to \ infty} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ right) ^ {1 / p} = x_ {1} \ lim _ {p \ to \ infty} \ left (\ sum _ { i = 1} ^ {n} w_ {i} \ left ({\ frac {x_ {i}} {x_ {1}}} \ right) ^ {p} \ right) ^ {1 / p} = x_ { 1} = M _ {\ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}).}

Pentru M -∞ , este suficient să observăm acest lucruM-∞(X1,...,Xnu)=1M∞(1/X1,...,1/Xnu).{\ displaystyle M _ {- \ infty} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = {\ frac {1} {M _ {\ infty} (1 / x_ {1}, \ dots, 1 / x_ {nu})}}.}

Inegalitatea mijloacelor generalizate

State

În general, avem

dacă p < q , atunciMp(X1,...,Xnu)≤Mq(X1,...,Xnu){\ displaystyle M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ leq M_ {q} (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}

și există egalitate dacă și numai dacă x 1 = x 2 = ... = x n .

Inegalitatea este adevărată pentru valorile reale ale lui p și q , precum și pentru infiniturile pozitive și negative.

Deducem că pentru orice p real ,

∂∂pMp(X1,...,Xnu)≥0{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial p}} M_ {p} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ geq 0}

care poate fi arătat folosind inegalitatea lui Jensen .

În special, pentru p în {−1, 0, 1}, inegalitatea mijloacelor generalizate implică o inegalitate asupra mijloacelor pitagorice  (en), precum și inegalitatea aritmetico-geometrică .

Dovadă

Vom lucra aici asupra mijloacelor ponderate generalizate și vom presupune:

weu∈[0;1]∑eu=1nuweu=1{\ displaystyle {\ begin {align} w_ {i} \ in [0; 1] \\\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} = 1 \ end {align}}}

Dovada pe mijloacele generalizate se va obține luând w i = 1 / n .

Echivalența inegalităților dintre mijloacele semnelor opuse

Să presupunem că o inegalitate între mijloacele generalizate de ordine p și q este adevărată:

∑eu=1nuweuXeupp≥∑eu=1nuweuXeuqq{\ displaystyle {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} \ geq {\ sqrt [{q}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q}}}}

Deci, în special:

∑eu=1nuweuXeupp≥∑eu=1nuweuXeuqq{\ displaystyle {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {w_ {i}} {x_ {i} ^ {p}}}}} \ geq {\ sqrt [{q}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {w_ {i}} {x_ {i} ^ {q}}}}}

Luăm inversul numerelor, care schimbă direcția inegalității deoarece x i sunt pozitive:

∑eu=1nuweuXeu-p-p=1∑eu=1nuweu1Xeupp≤1∑eu=1nuweu1Xeuqq=∑eu=1nuweuXeu-q-q{\ displaystyle {\ sqrt [{- p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {- p}}} = {\ sqrt [{p}] { \ frac {1} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} {\ frac {1} {x_ {i} ^ {p}}}}} \ leq {\ sqrt [{q }] {\ frac {1} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} {\ frac {1} {x_ {i} ^ {q}}}}}} = {\ sqrt [ {-q}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {- q}}}}

care dă rezultatul pentru mijloacele de ordine generalizate - p și - q . Putem face calculul reciproc, arătând astfel echivalența inegalităților, care va fi utilă mai târziu.

Media geometrică

Pentru toate q > 0, avem

∑eu=1nuweuXeu-q-q≤∏eu=1nuXeuweu≤∑eu=1nuweuXeuqq{\ displaystyle {\ sqrt [{- q}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {- q}}} \ leq \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ leq {\ sqrt [{q}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q} }}} Demonstrație

Prin inegalitatea lui Jensen aplicată funcției logaritmice, care este concavă:

Buturuga⁡(∏eu=1nuXeuweu)=∑eu=1nuweuButuruga⁡(Xeu)≤Buturuga⁡(∑eu=1nuweuXeu){\ displaystyle \ log \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i } \ log (x_ {i}) \ leq \ log \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} \ right)}

Mergând la exponențial, obținem

∏eu=1nuXeuweu≤∑eu=1nuweuXeu{\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i}}

și luând puterile q- mii de x i , obținem rezultatul dorit pentru inegalitatea cu q pozitiv. Cazul negativ este tratat în mod similar.

Inegalitate între două medii ponderate

Rămâne să dovedim că, dacă p < q , atunci avem:

∑eu=1nuweuXeupp≤∑eu=1nuweuXeuqq{\ displaystyle {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} \ leq {\ sqrt [{q}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q}}}}

Dacă p este negativ și q pozitiv, putem folosi rezultatul anterior:

∑eu=1nuweuXeupp≤∏eu=1nuXeuweu≤∑eu=1nuweuXeuqq{\ displaystyle {\ sqrt [{p}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} \ leq \ prod _ {i = 1} ^ { n} x_ {i} ^ {w_ {i}} \ leq {\ sqrt [{q}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q}}} }

Acum presupunem că p și q sunt pozitive. Definim funcția f  : R + → R + . f este o funcție de putere, de două ori diferențiată: f(X)=Xqp{\ displaystyle f (x) = x ^ {\ frac {q} {p}}}

f″(X)=(qp)(qp-1)Xqp-2{\ displaystyle f '' (x) = \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} - 1 \ right) x ^ {{\ frac {q} {p}} - 2}}

care este pozitiv pe domeniul definiției lui f , deoarece q > p , astfel f este convex.

Prin inegalitatea lui Jensen , avem:

f(∑eu=1nuweuXeup)≤∑eu=1nuweuf(Xeup){\ displaystyle f \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ { i} f (x_ {i} ^ {p})}

este:

∑eu=1nuweuXeuppq≤∑eu=1nuweuXeuq{\ displaystyle {\ sqrt [{\ frac {p} {q}}] {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {p}}} \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i} ^ {q}}

care, odată ridicat la puterea 1 / q (funcția de creștere, deoarece 1 / q este pozitivă), obținem rezultatul dorit.

Cazul p negativ și q derivă din acest rezultat, înlocuindu-le respectiv cu - q și - p .

Media cvasi-aritmetică

Media generalizată poate fi văzută ca un caz special al mijloacelor cvasiaritmetice  :

Mf(X1,...,Xnu)=f-1(1nu⋅∑eu=1nuf(Xeu)){\ displaystyle M_ {f} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = f ^ {- 1} \ left ({{\ frac {1} {n}} \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {n} {f (x_ {i})}} \ dreapta)}

De exemplu, media geometrică este obținută prin f ( x ) = log ( x ) , iar media de ordine p cu f ( x ) = x p .

Aplicații

În procesarea semnalului

O medie generalizată servește ca o medie glisantă neliniară care evidențiază valori mici pentru p mici și amplifică valori mari pentru p mari.

Vezi și tu

• Media aritmetică
• Media aritmetico-geometrică
• Media geometrică
• Media armonică
• Media de Heron  (în)
• Inegalitate aritmetico-geometrică
• Media lui Lehmer  (în) , un alt mijloc care implică puteri
• Rădăcină medie pătrată
• Maxim regularizat
• Media cvasi-aritmetică

linkuri externe

• (fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „  Generalized mean  ” ( vezi lista autorilor ) .
• (ro) Eric W. Weisstein , „  Putere înseamnă  ” , pe MathWorld
• Exemple de medie generalizată
• O dovadă a mediei generalizate pe PlanetMath

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">