În teoria măsurării pe spații topologice , un set regulat extern este o parte măsurabilă care, în sensul măsurării, poate fi aproximată prin deschideri care o conțin. O măsurare externă regulată este o măsurare pozitivă pentru care toți borelienii sunt reguli extern.
Ca primă abordare, această ipoteză intervine în principal în definirea unei măsurători regulate : este una dintre cele două condiții de regularitate, cealaltă fiind regularitatea internă . Regularitatea stabilește punți destul de directe între punctele de vedere topologice și măsurate.
Anumite ipoteze, fără a garanta regularitatea, toate la fel asigura regularitatea externă: astfel, de exemplu, orice măsură de probabilitate pe un separabila metrizabil spațiu (chiar și non - poloneză ) este în exterior regulat.
În teoria integrării pe spații compacte local separate suficient de generale, nu este întotdeauna posibil să se reprezinte o formă liniară continuă pe spațiul funcțiilor continue cu suport compact folosind măsuri regulate. Pe de altă parte, chiar și pe un spațiu non -σ-compact , teorema reprezentării Riesz oferă întotdeauna o măsură externă regulată privilegiată (o spunem σ-regulată ) care poate servi ca instrument pentru analiza funcțională a acestui spațiu.
De asemenea, vom găsi de-a lungul articolului o colecție de exemple și contra-exemple, simple sau mai absurde, care ilustrează relațiile uneori surprinzătoare ale regularității externe cu alte axiome ale regularității, în special regularitatea internă, dar și regularitatea internă vis-à-vis închis .
Μ este o măsură (pozitivă) definită pe Borel un spațiu topologic X .
Spunem că un borelian A de X este extern regulat pentru μ atunci când satisface:
μ ( A ) = inf {μ ( O ) | Deschideți O care conține A }.Spunem că μ este extern regulat atunci când fiecare borelian este extern regulat pentru μ.
Alte surse presupun măsura definită pe un trib care conține tribul borelian, apoi se spune că este regulat exterior atunci când toate elementele tribului sunt regulat exterior pentru măsură.
Unele lucrări oferă, de asemenea, o formă alternativă a definiției care trebuie aplicată măsurilor definite pe tribul lui Baire ( fr ) . Alte variante înlocuiesc tribul cu un inel σ sau chiar un inel δ . O versiune generală care rezumă diferitele variante este disponibilă în cartea Măsură și integrare , de Sterling Berberian.
Pe un spațiu topologic măsurat , este de dorit să se facă legături între spațiile de funcții rezultate din structura topologică, deci spațiul funcțiilor continue cu suport compact și spațiile rezultate din structura măsurată, de obicei spațiul L 1 . O colecție de axiome ale regularității - din care proprietatea regularității externe - face posibilă demonstrarea unor rezultate substanțiale valabile în spațiile care le satisfac.
O ipoteză care este atât bogată în consecințe, cât și verificată frecvent este regularitatea . Este conjuncția regularității exterioare și a doua condiție, regularitatea interioară ; într-un astfel de spațiu, un borelian poate fi intercalat între un compact care este conținut în acesta și unul deschis care îl conține, care îl abordează în sensul măsurării. Cel mai adesea acest tip de aproximare simultană în interior și în exterior este folosit în demonstrații.
În același timp, se poate indica cel puțin o apariție în care se utilizează doar regularitatea externă a măsurii Lebesgue: aceasta apare în studiul punctelor de derivabilitate a funcțiilor numerice absolut continue pe linia reală.
În cadrul diferitelor seturi de ipoteze cu privire la topologia spațiului X (de exemplu metrizabilitate și separabilitate ), regularitatea externă este condusă de finitudinea locală a măsurii. Acesta este subiectul următoarelor secțiuni. Exemplele adunate aici arată că, atunci când lipsește limitarea locală, este foarte frecvent să nu aveți o măsurare externă regulată - chiar și pe un spațiu metric compact, chiar și pe un spațiu metric sigma finit măsurat .
Mai întâi dovedim următorul rezultat:
Teorema : o măsură finită (pozitivă) definită peste tribul borelian al unui spațiu metric este externă regulată.Pentru a afirma o generalizare a acestei teoreme, este practic să se definească o măsură moderată ca o măsură definită pe un spațiu topologic X pentru care X este o uniune numărabilă de deschideri de μ-măsură finită. Cu această convenție de vocabular, putem scrie:
Teoremă : O măsură moderată (pozitivă) pe tribul borelian al unui spațiu metric este regulat exterior.Ipoteza este îndeplinită în special atunci când μ este local finit și X este metric separabil .
Pe de altă parte, nu ar fi suficient să presupunem măsura σ-finită , așa cum se arată în exemplul măsurii de numărare pe ℚ menționat mai sus.
Chiar și pentru o măsurare finită, pe de altă parte, nu se poate concluziona fără presupuneri suplimentare despre regularitatea măsurării. Există un exemplu de măsură finită pe un spațiu metric (o variantă a setului Vitali ) care este regulat din exterior, dar nu din interior regulat.
Pe tribul borelian al unui spațiu separat compact local , o măsură este finită local dacă și numai dacă este o măsură Borel .
Teorema de mai jos garantează regularitatea - și, prin urmare, regularitatea externă - a unei măsuri Borel. Deși vorbește doar despre topologie și teoria măsurării, dovada sa face un ocol prin analiză și se bazează pe teorema reprezentării lui Riesz .
Teoremă : într-un spațiu compact local local în care totul este deschis σ-compact , orice măsură Borel este regulată.Această ipoteză este verificată în special de un spațiu compact local separat, cu o bază numărabilă .
În special, măsura Lebesgue pe ℝ n este regulată.
În teorema de mai sus, compactitatea σ a lui X nu este suficientă; chiar și într-un spațiu compact, regularitatea poate lipsi.
Notăm cu Ω primul ordinal nenumărat . Pe spațiul topologic Ω + 1 = [0, Ω] (prevăzut cu topologia ordinii ), care este compact, există o măsură de probabilitate care nu este regulată extern. Acest exemplu este cunoscut sub numele de măsura Dieudonne .
Fie X separat compact local. Având o formă liniară pozitivă pe spațiul funcțiilor digitale continue cu suport compact definit pe X , teorema de reprezentare Riesz asigură că este posibil să o reprezentăm pe de o parte printr-o măsură Borel regulată intern μ> o (reprezentarea sa „esențială” ) și pe de altă parte printr-o măsură Borel externă regulată μ o (reprezentarea sa „principală”) care satisface, de asemenea, o condiție slăbită de regularitate internă: acest lucru nu este necesar pentru toți borelienii din X, ci doar pentru cei deschiși. Fiecare dintre aceste reprezentări este unică.
Măsurile care îndeplinesc condițiile cerute în definiția reprezentării principale se numesc σ-măsuri regulate . Prin urmare, acestea constituie o clasă de măsurători externe regulate, care este mai mare decât cea a măsurătorilor regulate.
Când μ o și μ o sunt distincte, reprezentarea principală este un exemplu de măsură Borel regulată extern care nu este regulată intern (și, simetric, reprezentarea esențială este o măsură Borel care nu este regulată extern în timp ce este regulată intern). Iată un exemplu de formă liniară pentru care se produce acest lucru:
Considerăm un set I care nu se poate număra, pe care îl dotăm cu topologia discretă , apoi stabilim X = I × ℝ.
Pentru funcția f continuă cu suport compact pe X , setăm:
Termenii însumați fiind zero, cu excepția unui număr finit, această definiție are un sens. Pentru orice măsură Borel λ reprezentând Λ, verificăm dacă măsura λ a oricărui deschis care conține I × {0} este infinită. Prin urmare, măsura principală λ 0 care reprezintă Λ verifică:
λ 0 ( I × {0}) = + ∞ .Mai mult, orice compact conținut în I × {0} este de măsură zero (un astfel de compact este un set finit): pentru reprezentarea esențială λ o , avem, prin urmare:
λ 0 ( I × {0}) = 0.Dacă renunțăm la regularitatea σ, este mult mai ușor să oferim un exemplu de măsură Borel pe un spațiu compact local separat, care este extern regulat, dar nu intern regulat:
Regularitatea exterioară interacționează și cu regularitatea interioară față de închis , o proprietate mai puțin solicitantă decât regularitatea interioară.
Prin trecerea la complementar, următoarea afirmație este fără dificultate:
Propunere : O măsură finită definită pe tribul borelian al unui spațiu topologic este externă regulată dacă și numai dacă este internă regulată în raport cu cele închise.Această afirmație banală admite următoarea generalizare (definiția „măsurii moderate” a fost dată mai devreme în acest articol):
Teorema : o măsură moderată (pozitivă) definită pe tribul borelian al unui spațiu topologic este externă regulată dacă și numai dacă este internă regulată față de cele închise.În afara scopului acestei teoreme, regularitatea exterioară și regularitatea interioară față de închis nu mai pot coincide.