Măsură sigma-finită

Fie $( X , Σ, μ)$ un spațiu măsurat . Spunem că măsura $μ$ este σ-finită atunci când există o acoperire numărabilă a lui $X$ de subseturi de măsură finită, adică atunci când există o secvență $( E n$ ) $n \in$ ℕ d 'elemente ale tribului $Σ$ , toate de măsură finită , cu

X = \ bigcup _ {{n \ in \ mathbb {N}}} E_ {n}.

Exemple

Măsurare finalizată
Măsurarea numărării pe un set numărabil
Măsura Lebesgue și mai general, măsura Haar pe un grup compact σ-compact local

Proprietăți

Înlocuind E n cu F n = E 0 ∪… ∪ E n , obținem o secvență care îndeplinește aceleași proprietăți și care, în plus, crește pentru incluziune, prin urmare $μ ( X ) = lim μ ( F n )$ .
Prin înlocuirea lui F n cu G n = F n \ F n - 1 , obținem o secvență care îndeplinește aceleași ipoteze ca $( E n$ ) $n \in$ ℕ și care, în plus, constă din părți disjuncte două câte două , deci $μ ( X ) = \sum n \in ℕ μ ( G n )$ .
Dacă Y este un element al lui Σ, restricția de la $μ$ la Y este încă σ-finită.

Utilizări