Matematică tropicală
Tropical matematic sau geometria tropical , sunt o ramură a matematicii corespunzătoare studierii unui sistem modificat prin redefinirea adăugării și multiplicarea (și , prin urmare , alte operațiuni). Au fost definite două algebre tropicale: algebra min-plus definită cu minimum pentru adunare și adunare pentru înmulțire și algebră max-plus , definită cu maxim pentru adunare și adunare pentru înmulțire.
Matematica tropicală este numită astfel în onoarea inventatorului lor brazilian , Imre Simon . Utilizarea adjectivului tropical este atribuită de Jean-Éric Pin lui Dominique Perrin , în timp ce Imre Simon însuși îl atribuie lui Christian Choffrut. Termenul tropical nu are altă semnificație decât să se refere la Brazilia.
Jumătate corp max-plus
Setul R de numere reale, prevăzute cu operațiunile maxime și de adiție, are un comutativă jumătate - structura câmpului .
Operatori matematici
- Adaosul tropical este definit ca:
⊕{\ displaystyle \ oplus}
la⊕b=max(la,b){\ displaystyle a \ oplus b = \ max (a, b)}.
Rezultatul adunării tropicale a două numere este, prin urmare, maximul acestora. Deci .
2⊕3=max(2,3)=3{\ displaystyle 2 \ oplus 3 = \ max (2,3) = 3}
- Înmulțirea tropicală (sau produsul tropical) (sau ) este definită prin:
⊙{\ displaystyle \ odot}⊗{\ displaystyle \ otimes}
la⊙b=la+b{\ displaystyle a \ odot b = a + b}.
Rezultatul înmulțirii tropicale a două numere este, prin urmare, suma obișnuită a acestora. Deci .
2⊙3=2+3=5{\ displaystyle 2 \ odot 3 = 2 + 3 = 5}
Proprietățile operatorului
Plus tropicale , cum ar fi adăugarea de obicei, comutativă și asociativă . Nu există element neutru în ; dacă lucrăm , elementul neutru este atunci ; într-adevăr ,. Nu există nici un element opus unui element dat: pentru că , este necesar ca .
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R∪{-∞}{\ displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty \}}-∞{\ displaystyle - \ infty}la⊕(-∞)=max(la,-∞)=la{\ displaystyle a \ oplus (- \ infty) = \ max (a, - \ infty) = a}la⊕X=max(la,X)=(-∞){\ displaystyle a \ oplus x = \ max (a, x) = (- \ infty)}la=X=(-∞){\ displaystyle a = x = (- \ infty)}
Multiplicarea tropicale , cum ar fi multiplicarea de obicei, comutativă și asociativă . Este distributiv în ceea ce privește adaosul tropical . Numărul 0 este elementul neutru pentru multiplicarea tropicală. Pentru a avea un element absorbant, lucrăm . Elementul absorbant este atunci . Într-adevăr ,. Fiecare element are un invers pentru multiplicarea tropicală, întrucât, într-adevăr .
⊕{\ displaystyle \ oplus}R∪{+∞}{\ displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty \}}+∞{\ displaystyle + \ infty}la⊕(+∞)=max(la,+∞)=+∞{\ displaystyle a \ oplus (+ \ infty) = \ max (a, + \ infty) = + \ infty}la⊙(-la)=0{\ displaystyle a \ odot (-a) = 0}
Structurii îi lipsește elementul neutru pentru prima lege și existența unui element simetric pentru prima lege, astfel încât structura să fie un corp. Vorbim apoi despre jumătatea corpului .
(R,⊕,⊙){\ displaystyle (\ mathbb {R}, \ oplus, \ odot)} (R,⊕,⊙){\ displaystyle (\ mathbb {R}, \ oplus, \ odot)}
Puterea tropicală
Puterea tropicală , notată , cu un număr real și n un număr natural, corespunde multiplicării obișnuite. Într-adevăr,
la⊙nu{\ displaystyle a ^ {\ odot n}}
la⊙nu=la⊙⋯⊙la⏞nu timp=la+⋯+la⏞nu timp=nu×la{\ displaystyle a ^ {\ odot n} = \ overbrace {a \ odot \ cdots \ odot a} ^ {n {\ text {times}}} = \ overbrace {a + \ cdots + a} ^ {n {\ text {times}}} = n \ times a}.
Astfel, polinomul tropical în 2 variabile
la⊙X⊕b⊙y⊕vs.{\ displaystyle a \ odot x \ oplus b \ odot y \ oplus c}este scris, cu notațiile mai obișnuite,
max(la+X,b+y,vs.){\ displaystyle \ max (a + x, b + y, c)}Jumătate de corp min-plus
O altă structură a jumătății corpului este definită prin luarea minimului în loc de maxim ca primă lege.
Polinoame tropicale
Ne plasăm în jumătatea corpului min-plus. Un polinom tropical este o funcție care poate fi exprimată ca o sumă tropicală a unui număr finit de termeni monomiali. Fiecare monomiu este un produs tropical al unei constante și al variabilelor luate într-un set . Astfel, un polinom tropical este F este minimul unei familii finite de transformări liniare afine în care variabilele au coeficienți liniari; este o funcție concavă , continuă și liniară în bucăți :
F:Rnu→R{\ displaystyle F: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}X1,...,Xnu{\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}
F(X1,...,Xnu)=(VS1⊗X1⊗la11⊗⋯⊗Xnu⊗lanu1)⊕⋯⊕(VSs⊗X1⊗la1s⊗⋯⊗Xnu⊗lanus)=min{VS1+la11X1+⋯+lanu1Xnu,...,VSs+la1sX1+⋯+lanusXnu}.{\ displaystyle {\ begin {align} F (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) & = \ left (C_ {1} \ otimes X_ {1} ^ {\ otimes a_ {11}} \ otimes \ cdots \ otimes X_ {n} ^ {\ otimes a_ {n1}} \ right) \ oplus \ cdots \ oplus \ left (C_ {s} \ otimes X_ {1} ^ {\ otimes a_ {1s}} \ otimes \ cdots \ otimes X_ {n} ^ {\ otimes a_ {ns}} \ right) \\ & = \ min \ {C_ {1} + a_ {11} X_ {1} + \ cdots + a_ {n1} X_ {n}, \; \ ldots, \; C_ {s} + a_ {1s} X_ {1} + \ cdots + a_ {ns} X_ {n} \}. \ end {align}}}Setul de puncte în care un polinom tropical F nu este diferențiat se numește hipersuprafața sa tropicală și se notează (în analogie cu varietățile algebrice . În mod echivalent, este setul de puncte în care minimul termenilor lui F este atins cu cel puțin 2 termeni.
V(F){\ displaystyle \ mathrm {V} (F)}V(F){\ displaystyle \ mathrm {V} (F)}
Aplicație: calculul distanțelor într-un grafic
Elementul este adăugat la R și întreaga structură este prevăzută min-plus; se poate utiliza structura astfel definită pentru calcularea celei mai scurte distanțe într-un grafic.
+∞{\ displaystyle + \ infty}
Reprezentăm un grafic ponderat la n vârfuri de matrice care dă distanțele dintre fiecare vârf: dacă vârful i este legat de vârful j atunci elementul este egal cu greutatea muchiei ( i , j ), dacă vârfurile i și j nu sunt conectate atunci corespunde infinitului (avem ).
LA=(laeu,j){\ displaystyle A = (a_ {i, j})}laeu,j{\ displaystyle a_ {i, j}}laeu,j{\ displaystyle a_ {i, j}}laeu,eu=0{\ displaystyle a_ {i, i} = 0}
Deci, distanța dintre i și j care trece prin cel mult un vârf este:
mink∈{1,⋯,nu}(laeu,k+lak,j)=⨁k∈{1,⋯,nu}laeu,k⊙lak,j{\ displaystyle \ min _ {k \ in \ {1, \ cdots, n \}} (a_ {i, k} + a_ {k, j}) = \ bigoplus _ {k \ in \ {1, \ cdots , n \}} a_ {i, k} \ odot a_ {k, j}}Aceasta corespunde produsului matricial din structura min-plus. Deci, pentru a calcula lungimea celei mai scurte căi de la un vârf la altul, avem cel mult n trepte, în grafic, este suficient să calculăm puterea n a lui A pentru această structură.
Referințe
-
Aceasta este definiția matematicii tropicale de către inventatorul lor Imre Simon, online la Scientific Commons
-
Ilia Itenberg, „ Introducere în geometria tropicală » ,P. 2
-
Jean-Éric Pin, „Tropical Semirings” , în J. Gunawardena , Idempotency (Bristol, 1994) , Cambridge, Cambridge University Press,1998, p. 50-69.
-
Imre Simon, „Seturi recunoscute cu multiplicități în semiremiile tropicale” , în Mathematical Foundations of Computer Science (Carlsbad, 1988) , Springer, col. „Note de curs în informatică” ( nr . 324),
1988( citiți online ) , p. 107-120.
-
Mathoverflow, 2011, Ce este tropical la algebra tropicală? pe Mathoverflow
-
David Speyer și Bernd Sturmfels , „ Matematică tropicală ”, Revista de matematică , vol. 82, nr . 3,2009, p. 163–173 ( DOI 10.1080 / 0025570X.2009.11953615 , citiți online ).
Vezi și tu
Bibliografie
- Ilia Itenberg, „ Drepturi tropicale ”, Imagini ale matematicii , CNRS,2011( citește online )
- (ro) Diane Maclagan și Bernd Sturmfels, Introducere în geometria tropicală , Providence (RI), American Mathematical Society, col. „ Studii postuniversitare în matematică ” ( nr . 161)aprilie 2015, 363 p. ( ISBN 978-0-8218-5198-2 , citit online )
- Ilia Itenberg, Grigory Mikhalkin și Eugenii Shustin, Geometrie algebră tropicală , Basel, Birkhäuser, col. „Seminarii Oberwolfach” ( nr . 35)2009( ISBN 978-3-0346-0047-7 , OCLC 310400815 )
- Dima Grigoriev, „ Ecuații diferențiale tropicale ”, Progrese în matematică aplicată , vol. 82,javier 2017, p. 120–128 ( DOI 10.1016 / j.yam.2016.08.002 , arXiv 1502.08010.pdf )
- Dima Grigoriev , „ Secvențe recurente tropicale ”, Advances in Applied Mathematics , vol. 116,2020, articolul nr . 102012 ( DOI 10.1016 / j.aam.2020.102012 , arXiv 1807.10714 )
- Antoine Chambert-Loir , „ Când geometria devine tropicală ”, Pour la science , nr . 492,octombrie 2018, p. 26-33
- (de) Hannah Markwig , „ Tropische Geometrie” , în Katrin Wendland , Annette Werner (ed.), Facettenreiche Mathematik , Wiesbaden, Vieweg + Teubner Verlag,2011( ISBN 978-3-8348-1414-2 )
Articole similare
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">