Suma telescopică

În analiză , expresia sumă telescopică desemnează informal o sumă ai cărei termeni se anulează treptat:

(la1-la0)+(la2-la1)+...+(lanu-lanu-1)=lanu-la0{\ displaystyle (a_ {1} -a_ {0}) + (a_ {2} -a_ {1}) + ... + (a_ {n} -a_ {n-1}) = a_ {n} - a_ {0}}

Formularea provine din imaginea unui telescop pliat.

La realizarea acestei simplificări, se folosește în general sintagma „expresia este simplificată prin telescopare”.

Formula telescopică și seria telescopică

Dacă este o secvență numerică , seria telescopică corespunzătoare este termenul general serie . Apoi se scrie formula telescopică(lanu){\ displaystyle (a_ {n})} lanu+1-lanu{\ displaystyle a_ {n + 1} -a_ {n}}

∑k=0nu-1(lak+1-lak)=∑k=1nu(lak-lak-1)=lanu-la0.{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ left (a_ {k + 1} -a_ {k} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left ( a_ {k} -a_ {k-1} \ right) = a_ {n} -a_ {0}.}

Convergența telescopice seriei este deci echivalentă cu convergența secvenței . Σ(lanu+1-lanu){\ displaystyle \ Sigma (a_ {n + 1} -a_ {n})} (lanu){\ displaystyle (a_ {n})}

Putem vedea această formulă ca o versiune discretă a formulei de integrare: . ∫labf′(X)dX=f(b)-f(la){\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f '(x) dx = f (b) -f (a)}

Exemple de aplicații

• Poate cel mai cunoscut exemplu este formula pentru serii geometrice  : avem

(1-X)∑k=0nuXk=(1-X)(1+X+X2+⋯+Xnu)=(1-X)+(X-X2)+(X2-X3)+⋯+(Xnu-Xnu+1)=1-Xnu+1{\ displaystyle {\ begin {align} (1-x) \ sum _ {k = 0} ^ {n} x ^ {k} & = (1-x) (1 + x + x ^ {2} + \ cdots + x ^ {n}) \\ & = (1-x) + (xx ^ {2}) + (x ^ {2} -x ^ {3}) + \ dotsb + (x ^ {n} - x ^ {n + 1}) \\ & = 1-x ^ {n + 1} \ end {align}}} sau, mai formal, (1-X)∑k=0nuXk=∑k=0nu(Xk-Xk+1)=1-Xnu+1.{\ displaystyle (1-x) \ sum _ {k = 0} ^ {n} x ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (x ^ {k} -x ^ {k + 1}) = 1-x ^ {n + 1}.}

• Formulele și se obțin prin telescopare după scriere .∑k=1nuk×k!=(nu+1)!-1{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k \ times k! = (n + 1)! - 1}∑k=1nuk(k+1)!=1-1(nu+1)!{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {k} {(k + 1)!}} = 1 - {\ frac {1} {(n + 1)!}}}k=k+1-1{\ displaystyle k = k + 1-1}
• Relația remarcabilă poate fi realizată prin telescop.13+23+...+nu3=(1+2 ...+nu)2{\ displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + ... + n ^ {3} = (1 + 2 ... + n) ^ {2}}

Într-adevăr, dacă , atunci lanu=(0+1+2+...+nu)2=nu2(nu+1)24{\ displaystyle a_ {n} = (0 + 1 + 2 + ... + n) ^ {2} = {\ frac {n ^ {2} (n + 1) ^ {2}} {4}}}

lak-lak-1=k2(k+1)2-k2(k-1)24=k24k4=k3.{\ displaystyle a_ {k} -a_ {k-1} = {\ frac {k ^ {2} (k + 1) ^ {2} -k ^ {2} (k-1) ^ {2}} { 4}} = k ^ {2} {\ frac {4k} {4}} = k ^ {3}.}

Putem deduce

∑k=1nuk3=∑k=1nu(lak-lak-1)=lanu-la0=(1+2+...+nu)2.{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {3} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k-1}) = a_ {n } -a_ {0} = (1 + 2 + ... + n) ^ {2}.}

• Mai general, sumele primelor puteri p -ths ale numerelor întreginu{\ displaystyle n} pot fi calculate pas cu pas folosind formula recurenței ( Pascal 1655) :, o formulă care se arată prin telescopare și folosind formula binomială . Într - adevăr, prin telescopare: . Și prin formula perechii, de unde și formula anunțată.Snuk=∑k=0nukp{\ displaystyle S_ {n} ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {p}}Snup=(nu+1)p+1-∑q=0p-1(p+1q)Snuq{\ displaystyle S_ {n} ^ {p} = (n + 1) ^ {p + 1} - \ sum _ {q = 0} ^ {p-1} {\ binom {p + 1} {q}} S_ {n} ^ {q}}
  ∑k=0nu((k+1)p+1-kp+1)=(nu+1)p+1{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} ((k + 1) ^ {p + 1} -k ^ {p + 1}) = (n + 1) ^ {p + 1}}
  ∑k=0nu((k+1)p+1-kp+1)=∑k=0nu∑q=0p(p+1q)kq=∑q=0p(p+1q)∑k=0nukq=Snup+∑q=0p-1(p+1q)Snuq{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} ((k + 1) ^ {p + 1} -k ^ {p + 1}) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ sum _ {q = 0} ^ {p} {\ binom {p + 1} {q}} k ^ {q} = \ sum _ {q = 0} ^ {p} {\ binom {p + 1} { q}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {q} = S_ {n} ^ {p} + \ sum _ {q = 0} ^ {p-1} {\ binom {p + 1} {q}} S_ {n} ^ {q}}
• Descompunerea în elemente simple , uneori permite rescrierea în formă telescopic; de exemplu, din moment ce

1X(X+1)=1X-1X+1,{\ displaystyle {\ frac {1} {x (x + 1)}} = {\ frac {1} {x}} - {\ frac {1} {x + 1}},} avem (dacă ): -α∉NU{\ displaystyle - \ alpha \ notin \ mathbb {N}}∑k=0∞1(k+α)(k+α+1)=∑k=0∞(1k+α-1k+α+1)=(1α-1α+1)+(1α+1-1α+2)+⋯=1α+(-1α+1+1α+1)+(-1α+2+1α+2)+⋯=1α.{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(k + \ alpha) (k + \ alpha +1)}} & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {k + \ alpha}} - {\ frac {1} {k + \ alpha +1}} \ right) \\ & = \ left ({\ frac {1} {\ alpha}} - {\ frac {1} {\ alpha +1}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {\ alpha +1}} - {\ frac {1} {\ alpha +2}} \ right) + \ cdots \\ & = {\ frac {1} {\ alpha}} + \ left (- {\ frac {1} {\ alpha +1}} + {\ frac {1} {\ alpha +1}} \ right) + \ left (- {\ frac {1} {\ alpha +2}} + {\ frac {1} {\ alpha +2}} \ dreapta) + \ cdots = {\ frac {1} {\ alpha}}. \ end {align}}}

• Multe serii trigonometrice admit o reprezentare ca o diferență care permite o telescopie:

∑k=1nupăcat⁡(k)=∑k=1nu12păcat⁡(12)(2păcat⁡(12)păcat⁡(k))=12păcat⁡(12)∑k=1nu(cos⁡(2k-12)-cos⁡(2k+12))=12păcat⁡(12)(cos⁡(12)-cos⁡(2nu+12)).{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ sin \ left (k \ right) & = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {2 \ sin \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)}} \ left (2 \ sin \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) \ sin \ left (k \ right) \ right) \\ & = {\ frac {1} {2 \ sin \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ cos \ left ({\ frac {2k-1} {2}} \ right) - \ cos \ left ({\ frac {2k + 1} {2}} \ right) \ right) \\ & = {\ frac {1} {2 \ sin \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)}} \ left (\ cos \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) - \ cos \ left ({\ frac {2n + 1} {2}} \ right) \ right). \ end {align}}}

• Mai general, următoarele expresii închise ale sumelor și pentru  :VSnu=∑k=0nucos⁡(kθ+φ){\ displaystyle C_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ cos (k \ theta + \ varphi)}Snu=∑k=0nupăcat⁡(kθ+φ){\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ sin (k \ theta + \ varphi)}θ≠0mod2π{\ displaystyle \ theta \ neq 0 \ mod 2 \ pi}VSnu=păcat⁡((nu+1)θ2)păcat⁡θ2cos⁡(nuθ2+φ), Snu=păcat⁡((nu+1)θ2)păcat⁡θ2păcat⁡(nuθ2+φ){\ displaystyle C_ {n} = {\ frac {\ sin \ left ((n + 1) {\ frac {\ theta} {2}} \ right)} {\ sin {\ frac {\ theta} {2} }}} \ cos \ left (n {\ frac {\ theta} {2}} + \ varphi \ right), \ S_ {n} = {\ frac {\ sin \ left ((n + 1) {\ frac {\ theta} {2}} \ right)} {\ sin {\ frac {\ theta} {2}}}} \ sin \ left (n {\ frac {\ theta} {2}} + \ varphi \ right )}}poate fi obținut înmulțind cu , liniarizând, apoi telescopând.păcat⁡θ2{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ theta} {2}}}
• Cu toate acestea, în cazul seriilor, problemele de convergență nu ar trebui trecute cu vederea; altfel am putea deduce, de exemplu, că

1+1+1+⋯=(2-1)+(3-2)+(4-3)+⋯=-1+(2-2)+(3-3)+⋯=-1{\ displaystyle {\ begin {align} 1 + 1 + 1 + \ cdots & = (2-1) + (3-2) + (4-3) + \ cdots \\ & = - 1+ (2-2 ) + (3-3) + \ cdots \\ & = - 1 \ end {align}}} (dar rezultatele astfel obținute nu sunt întotdeauna lipsite de sens; putem consulta articolul despre seria divergentă pe acest subiect ).

Cererea de chemare pe părți

Declarație și demonstrație

Dacă și sunt secvențe , formula de însumare pe părți este scrisă: (lanu){\ displaystyle (a_ {n})}(bnu){\ displaystyle (b_ {n})}

∑k=0nu-1(lak+1-lak)bk=(lanubnu-la0b0)-∑k=0nu-1lak+1(bk+1-bk){\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ left (a_ {k + 1} -a_ {k} \ right) b_ {k} = (a_ {n} b_ {n} -a_ {0} b_ {0}) - \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} a_ {k + 1} \ left (b_ {k + 1} -b_ {k} \ right)}

Într-adevăr, pe de o parte prin telescop,

∑k=0nu-1(lak+1bk+1-lakbk)=(lanubnu-la0b0){\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ left (a_ {k + 1} b_ {k + 1} -a_ {k} b_ {k} \ right) = (a_ {n} b_ {n} -a_ {0} b_ {0})}

Și pe de altă parte:

∑k=0nu-1(lak+1bk+1-lakbk)=∑k=0nu-1(lak+1(bk+1-bk)+(lak+1-lak)bk){\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ left (a_ {k + 1} b_ {k + 1} -a_ {k} b_ {k} \ right) = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ left (a_ {k + 1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) + (a_ {k + 1} -a_ {k}) b_ {k} \ dreapta)}

Exemplu de aplicare

(X-1)∑k=0nu-1kXk=∑k=0nu-1k(Xk+1-Xk)=formtulenuXnu-∑k=0nu-1Xk+1=nuXnu-Xnu+1-XX-1{\ displaystyle (x-1) \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} kx ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} k (x ^ {k + 1 } -x ^ {k}) {\ overset {formula} {=}} nx ^ {n} - \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} x ^ {k + 1} = nx ^ {n } - {\ frac {x ^ {n + 1} -x} {x-1}}}, din care tragem:

∑k=0nu-1kXk=(nu-1)Xnu+1-nuXnu+X(X-1)2{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} kx ^ {k} = {\ frac {(n-1) x ^ {n + 1} -nx ^ {n} + x} {( x-1) ^ {2}}}}

Produse infinite

Aceeași tehnică se aplică produselor infinite al căror termen general este formă . Apoi se scrie formula telescopicălanu+1lanu{\ displaystyle {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}}}

∏k=0nu-1lak+1lak=∏k=1nulaklak-1=lanula0.{\ displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} {\ frac {a_ {k + 1}} {a_ {k}}} = \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {a_ {k}} {a_ {k-1}}} = {\ frac {a_ {n}} {a_ {0}}}.}

Putem astfel demonstra legea lui Morrie  : observând că , prin poziție , 2cos⁡la=păcat⁡2lapăcat⁡la{\ displaystyle 2 \ cos a = {\ frac {\ sin 2a} {\ sin a}}}lanu=păcat⁡(2nuα){\ displaystyle a_ {n} = \ sin (2 ^ {n} \ alpha)}

2nu⋅∏k=0nu-1cos⁡(2kα)=păcat⁡(2nuα)păcat⁡(α).{\ displaystyle 2 ^ {n} \ cdot \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} \ cos (2 ^ {k} \ alpha) = {\ frac {\ sin (2 ^ {n} \ alpha )} {\ sin (\ alpha)}}.}

Referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul din Wikipedia engleză intitulat „  Telescoping series  ” (a se vedea lista autorilor ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">