Conductia termica
Conducerea căldurii (sau difuzie termică ) este un mod de transfer de căldură cauzat de o diferență de temperatură între două zone ale aceluiași mediu sau între două medii în contact și fără a efectua deplasarea generală a materialului ( macroscopic la scară ) spre deosebire de convecție care este un alt mod de transfer de căldură . Poate fi interpretat ca transmiterea treptată a agitației termice : un atom (sau o moleculă) renunță la o parte din energia sa cinetică către atomul vecin.
Conducerea termică este un proces de transport al energiei interne legat de agitația moleculară și datorită eterogenității mediului la scară macroscopică. Este un fenomen ireversibil analog fenomenului de difuzie . In fluide (lichide și gaze) rezultate de transport această energie la nivel microscopic din anizotropia a funcției de distribuție a vitezei . În solide, conducerea termică este asigurată în comun de către electronii de conducție și de vibrațiile rețelei de cristal ( fononi ).
Fenomene fizice
Conducerea termică este mișcarea energiei termice de la părțile fierbinți ale unui sistem la părțile reci. Pe măsură ce energia se difuzează printr-un sistem, diferențele de temperatură scad și entropia crește.
În cel mai simplu caz de gaze, difuzia energiei termice are loc atunci când, în timpul mișcării sale de translație, o particulă cedează o parte din impulsul său către alte particule în timpul coliziunilor.
La solide, mișcarea de translație ia forma fononilor (vezi figura). Fononii sunt cantități elementare (cuantificate) de energie vibrațională care se deplasează printr-un solid la viteza sunetului specifică substanței. Modul în care fononii interacționează în solid determină proprietățile lor, cum ar fi difuzia termică. Izolatorii electrici, de exemplu, au în general o conductivitate termică scăzută, iar aceste solide sunt considerate izolatoare termice (cum ar fi sticla, materialele plastice, cauciucul, ceramica și piatra). Acest lucru se datorează faptului că în solide atomii și moleculele nu sunt libere să se miște.
Cu toate acestea, metalul are o conductivitate termică ridicată. Într-adevăr, structura lor permite difuzarea energiei cinetice prin electroni de conducție , ușori și extrem de mobili. Acesta este motivul pentru care există, în metale, o corelație aproape perfectă între conductivitatea electrică și conductivitatea termică . Conductivitatea electronică predomină în metale deoarece electronii sunt delocalizați , adică nu sunt legați de un atom și se comportă ca un gaz cuantic.
Informații generale despre modelare
Legea lui Fourier
Conducerea termică este un transfer spontan de căldură dintr-o regiune de temperatură ridicată într-o regiune cu temperatură mai scăzută și este descrisă prin așa-numita lege Fourier stabilită matematic de Jean-Baptiste Biot în 1804 și apoi experimental de Fourier în 1822 : densitatea căldurii debitul este proporțional cu gradientul de temperatură.
φ→=-λ grlad→ T{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ varphi}} = - \ lambda \ {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \ T}Constanta de proporționalitate λ se numește conductivitatea termică a materialului. Ea este întotdeauna pozitivă.
Cu unitățile sistemului internațional, conductivitatea termică λ este exprimată în wați pe metru-Kelvin ( W m −1 K −1 ). Densitatea fluxului de căldură este exprimată în wați pe metru pătrat ( W m −2 ), temperatura T , în kelvin ( K ).
φ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ varphi}}}
Legea lui Fourier este o lege macroscopică. Este valabil numai pentru solidele de dimensiuni mari în comparație cu calea liberă medie și lungimea de undă a fononilor implicați în transferurile de căldură.
Legea lui Fourier este o lege fenomenologică analogă legii lui Fick pentru difuzia particulelor sau legea lui Ohm pentru conducerea electrică (Ohm a folosit o analogie între termică și electricitate pentru a-și construi teoria). Aceste trei legi pot fi interpretate în același mod: neomogenitatea unui parametru intensiv (temperatură, număr de particule pe unitate de volum, potențial electric ) determină un fenomen de transport care tinde să compenseze dezechilibrul (flux de căldură, curent de difuzie, electric actual).
Completa
Putem exprima transferul de căldură în funcție de Ox pentru un timp dt . Se presupune că cantitatea de căldură care trece printr-o suprafață a zonei dS x este proporțională cu dS x , cu timpul de transfer dt și cu rata de schimbare a temperaturii T :
dÎX=-λX δTδXdSXdt{\ displaystyle dQ_ {x} = - \ lambda _ {x} \ {\ frac {\ delta T} {\ delta x}} dS_ {x} dt}Densitatea fluxului termic prin suprafața elementară dS x este atunci:
dϕ=dÎXdt=-λXδTδXdSX{\ displaystyle d \ phi = {\ frac {dQ_ {x}} {dt}} = - \ lambda _ {x} {\ frac {\ delta T} {\ delta x}} dS_ {x} \,}Putem deduce densitatea fluxului în direcția Ox:
φX=dϕdSX{\ displaystyle \ varphi _ {x} = {\ frac {d \ phi} {dS_ {x}}} \,}
φX=-λδTδX{\ displaystyle \ varphi _ {x} = - \ lambda {\ frac {\ delta T} {\ delta x}}}
Același raționament în fiecare dintre direcțiile spațiului dă legea lui Fourier.
Ecuația căldurii
Un echilibru energetic și expresia legii lui Fourier conduc la ecuația generală a conducerii căldurii într-un corp omogen, ecuația transportului de temperatură :
T(r→){\ displaystyle T ({\ vec {r}})}
∇→⋅[λ(T)∇→T]+P(r→)=ρVSP(T)∂T∂t{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot \ left [\ lambda (T) \, {\ vec {\ nabla}} T \ right] + {\ mathcal {P}} ({\ vec {r} }) = \ rho \, C_ {P} (T) \, {\ frac {\ partial T} {\ partial t}}}sau
λ{\ displaystyle \ lambda} |
este conductivitatea termică a materialului în W m −1 K −1 ,
|
P{\ displaystyle {\ mathcal {P}}} |
este energia produsă în interiorul materialului în W m −3 ,
|
ρ{\ displaystyle \ rho} |
este densitatea în kg / m 3
|
VSP{\ displaystyle C_ {P}} |
este masa termică specifică a materialului în J kg −1 K −1 .
|
În formă unidimensională și în cazul în care P este zero și conductivitatea constantă, se obține:
λ∇2T=ρVSP∂T∂t{\ displaystyle \ lambda \, \ nabla ^ {2} T = \ rho \, C_ {P} \, {\ frac {\ partial T} {\ partial t}}}În regim staționar, când temperatura nu se mai schimbă cu timpul și dacă P este zero, se reduce la: care este o ecuație Laplace . T este atunci o funcție armonică .
∇2T=0{\ displaystyle \ nabla ^ {2} T = 0}
În cazul unui regim permanent și unidimensional, ecuația precedentă este redusă la: a cărei soluție este T = Ax + b unde A și B sunt constante care trebuie fixate în funcție de condițiile limită.
d2TdX2=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} T} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = 0}
Scara microscopică: ecuația Boltzmann-Peierls
În probleme la scara nanometrica , cum ar fi , de exemplu , întâlnim în domeniul microelectronicii, drumul liber de fononii nu este mică în comparație cu mărimea obiectului studiat și ecuația de difuzie a căldurii nu mai este valabilă. Această problemă a fost rezolvată de Rudolf Peierls în 1929, oferind o descriere microscopică a fenomenului prin intermediul unei ecuații Boltzmann pentru energia d E ν transferată de fononii considerați ca un gaz, precum gazul fotonilor . Această energie este redusă la unitatea de zonă traversată d S , la intervalul de frecvență considerat dν , la unghiul solid elementar considerat dΩ și la intervalul de timp d t pentru a da o intensitate I ν
dEν=EuνdSdνdΩdt{\ displaystyle \ mathrm {d} E _ {\ nu} = I _ {\ nu} \, \ mathrm {d} S \, \ mathrm {d} \ nu \, \ mathrm {d} \ Omega \, \ mathrm {d} t}Această cantitate este analogul luminanței spectrale pentru radiații. Se supune ecuației Boltzmann pe care o oferim aici într-o dimensiune a spațiului și în cazul staționar
dEuνdτ(X,μ)=Gν(X)-Euν(X,μ){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} I _ {\ nu}} {\ mathrm {d} \ tau}} (x, \ mu) = G _ {\ nu} (x) -I _ {\ nu} (x, \ mu)}Pentru asta :
- am introdus cantitatea τ = κ x ; unde κ este coeficientul de absorbție spectrală a mediului presupus a fi independent de ν . Această cantitate este inversa căii libere medii l = 1 / τ , de obicei câteva zeci de nm la temperatura camerei;
- s-a presupus că dependența unghiulară era de revoluție, caracterizată prin μ = cos θ ;
- termenii de difuzie care pot rezulta din defecte de cristal sau procesele umklapp au fost neglijați .
G ν este termenul de creație care rezultă din crearea de fononi prin agitație termică.
În cazul în care se atinge echilibrul termodinamic, acest termen este dat de legea lui Planck (fononii sunt bosoni la fel ca fotonii, deci aceștia respectă statistica Bose-Einstein )
Bν=2hν3vs.m21exp(hνkTm)-1,Bm=∫0∞Bνdν=σTm4π{\ displaystyle B _ {\ nu} = {\ frac {2h \ nu ^ {3}} {c_ {m} ^ {2}}} {\ frac {1} {\ exp \ left ({\ frac {h \ nu} {kT_ {m}}} \ right) -1}} \ ,, \ qquad B_ {m} = \ int _ {0} ^ {\ infty} B _ {\ nu} \, \ mathrm {d } \ nu = {\ frac {\ sigma \; T_ {m} ^ {4}} {\ pi}}}sau
T m |
temperatura de vibrație unică pentru toate gradele de libertate a dilatării rețelei de cristal, torsiune, îndoire),
|
h |
Constanta Planck ,
|
k |
Constanta Boltzmann ,
|
σ |
Constanta lui Stefan-Boltzmann ,
|
c m |
viteza grupului pentru propagare (de obicei câteva mii m / s). Este media vitezelor longitudinale și transversale, uneori numită viteza Debye .
|
În ipoteza echilibrului termodinamic al mediului, se poate scrie o ecuație pentru intensitatea care este identică cu cea a transferului radiativ . Obținem o ecuație pentru intensitatea integrată în frecvență :
Eum=∫0∞Euνdν{\ displaystyle I_ {m} = \ int _ {0} ^ {\ infty} I _ {\ nu} \, \ mathrm {d} \ nu}
dEum(X,μ)dτ=Bm(Tm(X))-Eum(X,μ){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} I_ {m} (x, \ mu)} {\ mathrm {d} \ tau}} = B_ {m} (T_ {m} (x)) - I_ { m} (x, \ mu)}
Legătură cu scara macroscopică
Să prezentăm primele momente din I m :
- energie |
Em=2π∫-11Eumdμ=∫ρVSVdT{\ displaystyle E_ {m} = 2 \ pi \ int _ {- 1} ^ {1} I_ {m} \, \ mathrm {d} \ mu = \ int \ rho \, C_ {V} \, \ mathrm {d} T}
|
- densitatea fluxului de căldură |
φm=2π∫-11μEumdμ{\ displaystyle \ varphi _ {m} = 2 \ pi \ int _ {- 1} ^ {1} \ mu \, I_ {m} \, \ mathrm {d} \ mu}
|
unde ρ este densitatea și C V este capacitatea specifică de căldură .
Cand :
- calea liberă medie este mică în comparație cu dimensiunea domeniului sau orice altă cantitate care caracterizează soluția, și anume ,l≪s|∂s∂X|{\ displaystyle l \ ll {\ frac {s} {\ left | {\ frac {\ partial s} {\ partial x}} \ right |}}}
- timpul caracteristic este mic în comparație cu orice variație temporală din domeniu ,tm=1κvs.m{\ displaystyle t_ {m} = {\ frac {1} {\ kappa \, c_ {m}}}}tm≪s|∂s∂t|{\ displaystyle t_ {m} \ ll {\ frac {s} {\ left | {\ frac {\ partial s} {\ partial t}} \ right |}}}
diferite metode fac posibilă obținerea unei ecuații de difuzie care să raporteze aceste cantități sub forma:
φm=-vs.m3∂Em∂X=-vs.m3κdEmdT∂T∂X=-vs.mρVSV3κdTdX{\ displaystyle \ varphi _ {m} = - {\ frac {c_ {m}} {3}} {\ frac {\ partial E_ {m}} {\ partial x}} = - {\ frac {c_ {m }} {3 \ kappa}} {\ frac {\ mathrm {d} E_ {m}} {\ mathrm {d} T}} {\ frac {\ partial T} {\ partial x}} = - {\ frac {c_ {m} \ rho \, C_ {V}} {3 \ kappa}} {\ frac {\ mathrm {d} T} {\ mathrm {d} x}}}Recunoaștem legea lui Fourier cu o conductivitate termică de
λ=vs.mρVSV3κ{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {c_ {m} \ rho \, C_ {V}} {3 \ kappa}}}
Demonstrație
La fel ca în transferul radiativ , putem reduce ecuația lui Boltzmann la următorul sistem
∂Em∂t+∂φm∂X=κ(4πBm-vs.mEm)∂φm∂t+vs.m2∂(EmDm)∂X=-vs.mκφm{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ frac {\ partial E_ {m}} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial \ mathbf {\ varphi} _ {m}} {\ partial x}} & = & \ kappa \ left (4 \ pi B_ {m} -c_ {m} E_ {m} \ right) \\ [0.6em] {\ frac {\ partial \ mathbf {\ varphi} _ { m}} {\ partial t}} + c_ {m} ^ {2} {\ frac {\ partial \ mathbf {(} E_ {m} {\ mathsf {D}} _ {m})} {\ partial x }} & = & - c_ {m} \ kappa \ mathbf {\ varphi} _ {m} \ end {array}}}Presupunem că tensorul izotrop :: este metoda lui Eddington sau metoda P 1 .
Dm{\ displaystyle \ textstyle {\ mathsf {D}} _ {m}}Dν=13Eu{\ displaystyle \ textstyle {\ mathsf {D}} _ {\ nu} = {\ frac {1} {3}} {\ mathsf {I}}}
Atunci ajungem
vs.m2∂(EmDm)∂X=vs.m23∂Em∂X{\ displaystyle c_ {m} ^ {2} {\ frac {\ partial \ mathbf {(} E_ {m} {\ mathsf {D}} _ {m})} {\ partial x}} = {\ frac { c_ {m} ^ {2}} {3}} {\ frac {\ partial E_ {m}} {\ partial x}}}Sub ipoteza unei densități de flux staționare, se scrie a doua ecuație a sistemului de mai sus
φm=-vs.m3κ∂Em∂X{\ displaystyle \ varphi _ {m} = - {\ frac {c_ {m}} {3 \ kappa}} {\ frac {\ partial E_ {m}} {\ partial x}}}
Conductivitatea termică este proporțională cu viteza de propagare, cu capacitatea specifică de căldură și cu calea liberă medie în mediu.
În consecință, coeficientul de difuzie termică este proporțional cu viteza de propagare și cu calea liberă medie.
D=λρVSV=vs.m3κ{\ displaystyle D = {\ frac {\ lambda} {\ rho C_ {V}}} = {\ frac {c_ {m}} {3 \ kappa}}}
Ecuația de căldură obținută cu această aproximare difuzivă este o ecuație parabolică pentru care viteza de propagare a informației este infinită.
Scale scurte de timp: ecuația Cattaneo-Vernotte
În anumite cazuri, ipoteza cvasi-staționarității fluxului nu mai este valabilă: de exemplu, dacă o sursă de căldură ultra-scurtă, cum ar fi un impuls laser, este utilizată pentru a încălzi o probă.
Dacă păstrăm termenul temporal pe flux (vezi caseta anterioară) obținem:
φm+tm∂φm∂t=-vs.m3κ∂Em∂X=-λdTdX,tm=1κvs.m{\ displaystyle \ varphi _ {m} + t_ {m} {\ frac {\ partial \ varphi _ {m}} {\ partial t}} = - {\ frac {c_ {m}} {3 \ kappa}} {\ frac {\ partial E_ {m}} {\ partial x}} = - \ lambda {\ frac {\ mathrm {d} T} {\ mathrm {d} x}} \ ,, \ qquad t_ {m} = {\ frac {1} {\ kappa c_ {m}}}}Această expresie a fluxului care include un termen de relaxare pentru oscilația fononilor se numește ecuația Cattaneo-Vernotte după Carlo Cattaneo și Pierre Vernotte. Sistemul către care conduce este de tipul ecuațiilor operatorilor de telegraf . Rețineți că în acest sistem de ecuații diferențiale parțiale hiperbolice viteza de propagare a informației este c m / √ 3 și nu c m .
Scară nanoscopică: cuantumul căldurii
Considerăm un ghid de undă virtual de dimensiuni nanoscopice. Rolf Landauer a arătat că fluxul de căldură pentru modul de propagare α între un mediu 1 și un mediu 2 la echilibru termodinamic este
φα=∫0∞ℏωα(k)vs.m(k)(nu2-nu1)Tαdk2π{\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ hbar \ omega _ {\ alpha} (k) c_ {m} (k) (n_ {2} -n_ {1 }) {\ mathcal {T}} _ {\ alpha} {\ frac {\ mathrm {d} k} {2 \ pi}}}sau
Ghidul este limitată de două suprafețe de schimb perfectă: . La capetele sale aplicăm două medii cu o diferență de temperatură și luăm în considerare limita . Se presupune că aceste temperaturi sunt suficient de scăzute pentru a avea dreptul să ia în considerare doar numărul de undă k = 0 pentru fiecare mod.
Tα=1{\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {\ alpha} = 1}ΔT=T2-T1{\ displaystyle \ Delta T = T_ {2} -T_ {1}}ΔT→0{\ displaystyle \ Delta T \ to 0}
Cu aceste ipoteze arătăm că cuantumul conductanței pe mod este
qα=φαΔT=πk23hT1+T22{\ displaystyle q _ {\ alpha} = {\ frac {\ varphi _ {\ alpha}} {\ Delta T}} = {\ frac {\ pi k ^ {2}} {3h}} {\ frac {T_ {1} + T_ {2}} {2}}}Această valoare a fost măsurată experimental.
Conducerea stării de echilibru
O stare stabilă este definită de independența față de timp a oricărei cantități, inclusiv a temperaturii.
Notă: Starea de echilibru este uneori confundată cu starea de echilibru , în timp ce o stare de echilibru poate depinde de timp (exemplu: un regim periodic).
Suprafață plană simplă
Materialul este un mediu limitat de două planuri paralele (carcasa unui perete). Fiecare plan are o temperatură omogenă T pe întreaga sa suprafață. Se consideră că avioanele au dimensiuni infinite pentru a fi libere de efecte de margine. În consecință, mediul este unidimensional, iar densitatea fluxului este aceeași în toate punctele. Se presupune în continuare că conductivitatea este constantă.
Să notăm cu T 1 temperatura planului situat la abscisa x 1 , iar T 2 temperatura planului situat la abscisa x 2 . Notați cu e = x 2 - x 1 grosimea peretelui. În stare de echilibru, T este o funcție afină a lui x , prin urmare:
T=T1+X-X1e(T2-T1){\ displaystyle T = T_ {1} + {\ frac {x-x_ {1}} {e}} (T_ {2} -T_ {1})}Densitatea fluxului de căldură de suprafață este scrisă:
φ=-λdTdX=λe(T1-T2){\ displaystyle \ varphi = - \ lambda {\ frac {dT} {dx}} = {\ frac {\ lambda} {e}} (T_ {1} -T_ {2})}Debitul termic printr-o suprafață S merită:
Φ=λSe(T1-T2)=T1-T2eλS{\ displaystyle \ Phi = {\ frac {\ lambda S} {e}} (T_ {1} -T_ {2}) = {\ frac {T_ {1} -T_ {2}} {\ frac {e} {\ lambda S}}}}
Analogie electrică
Prin analogie cu electricitatea ( legea lui Ohm ) putem paralela cele două expresii:
U1-U2=REu{\ displaystyle U_ {1} -U_ {2} = RI}
T1-T2=eλSΦ{\ displaystyle T_ {1} -T_ {2} = {\ frac {e} {\ lambda S}} \ Phi}
Putem pune în paralel, pe de o parte, tensiunea și temperatura, pe de altă parte, intensitatea și fluxul de căldură:
U↔T,Eu↔Φ{\ displaystyle U \ leftrightarrow T \ ,, \ qquad I \ leftrightarrow \ Phi}Putem apoi defini o rezistență termică , jucând în transferul de căldură un rol comparabil cu rezistența electrică.
R↔Rthvs.=eλS{\ displaystyle R \ leftrightarrow R_ {thc} = {\ frac {e} {\ lambda S}}}unde S este suprafața materialului și e grosimea acestuia. Rezistența termică R thc este omogenă la K W −1
Suprafețe plane în serie
Considerăm materiale A , B și C , cu grosimi respective e A , e B și e C și conductivități respectiv X A , λ B și λ C .
Ipotezele sunt aceleași ca și pentru o suprafață plană simplă. Se consideră că contactul dintre fiecare strat este perfect, ceea ce înseamnă că temperatura la interfața dintre 2 materiale este identică în fiecare material (fără sărituri de temperatură la trecerea unei interfețe).
Rezistențele termice se adaugă:
T1-T4=(eLAλLAS+eBλBS+eVSλVSS)Φ =(RthLA+RthB+RthVS)Φ{\ displaystyle T_ {1} -T_ {4} = \ left ({\ frac {e_ {A}} {\ lambda _ {A} S}} + {\ frac {e_ {B}} {\ lambda _ { B} S}} + {\ frac {e_ {C}} {\ lambda _ {C} S}} \ right) \ Phi \ = (R_ {thA} + R_ {thB} + R_ {thC}) \ Phi }
Demonstrație
În general avem
T1-T4=eλSΦ{\ displaystyle T_ {1} -T_ {4} = {\ frac {e} {\ lambda S}} \ Phi}Dacă ne descompunem
Pentru stratul A :
T1-T2=eLAλLASΦ{\ displaystyle T_ {1} -T_ {2} = {\ frac {e_ {A}} {\ lambda _ {A} S}} \ Phi}
pentru stratul B :
T2-T3=eBλBSΦ{\ displaystyle T_ {2} -T_ {3} = {\ frac {e_ {B}} {\ lambda _ {B} S}} \ Phi}
pentru stratul C :
T3-T4=eVSλVSSΦ{\ displaystyle T_ {3} -T_ {4} = {\ frac {e_ {C}} {\ lambda _ {C} S}} \ Phi}
Notă: Prin presupunere, fluxul (sau densitatea fluxului) este constant.
Cu:
T1-T4=(T1-T2)+(T2-T3)+(T3-T4){\ displaystyle T_ {1} -T_ {4} = (T_ {1} -T_ {2}) + (T_ {2} -T_ {3}) + (T_ {3} -T_ {4}) \, }Prin urmare
T1-T4=(eLAλLAS+eBλBS+eVSλVSS)Φ{\ displaystyle T_ {1} -T_ {4} = \ left ({\ frac {e_ {A}} {\ lambda _ {A} S}} + {\ frac {e_ {B}} {\ lambda _ { B} S}} + {\ frac {e_ {C}} {\ lambda _ {C} S}} \ right) \ Phi \,}
T1-T4=(RthLA+RthB+RthVS)Φ{\ displaystyle T_ {1} -T_ {4} = (R_ {thA} + R_ {thB} + R_ {thC}) \ Phi \,}
Profilul temperaturii
Pentru fiecare material, variația temperaturii urmează o lege de tipul:
T=T1-eXλXSΦ{\ displaystyle T = T_ {1} - {\ frac {e_ {X}} {\ lambda _ {X} S}} \ Phi \,}Variația temperaturii este, prin urmare, liniară în grosimea materialului luat în considerare. Panta depinde de caracteristica λ ( conductivitate termică ) a fiecărui material. Cu cât conductivitatea termică este mai mică (deci materialul este mai izolat), cu atât panta va fi mai abruptă.
Analogie electrică
În același mod în care se adaugă rezistențele electrice în serie, se adaugă rezistențele termice în serie.
Suprafețe plane în paralel
Considerăm materiale plane juxtapuse. Fiecare material este omogen și limitat de două planuri paralele. Acesta este de exemplu cazul unui perete cu fereastră.
Ipotezele sunt aceleași ca și pentru o suprafață plană simplă. În plus, se consideră că temperatura este uniformă la suprafața fiecărui element (T 1 și T 2 ).
Fie S A , S B și S C suprafețele respective ale elementelor A, B și C.
Ulterior, presupunem că fluxul este întotdeauna perpendicular pe peretele compus; acest lucru nu este realist, deoarece temperatura suprafeței fiecărui element care îl compune este diferită și, în consecință, există un gradient de temperatură lateral (la originea podurilor termice). De asemenea, este necesar să se corecteze fluxul de căldură calculat în peretele compozit utilizând coeficienți de pierdere liniară, specifici fiecărei joncțiuni de perete (și care poate fi neglijabil, a se vedea regulamentul termic TH 2000).
Conductanțele termice se adaugă:
VSth=1Rth=1eLAλLASLA+1eBλBSB+1eVSλVSSVS=1RthLA+1RthB+1RthVS{\ displaystyle C_ {th} = {\ frac {1} {R_ {th}}} = {\ frac {1} {\ frac {e_ {A}} {\ lambda _ {A} S_ {A}}} } + {\ frac {1} {\ frac {e_ {B}} {\ lambda _ {B} S_ {B}}}} + {\ frac {1} {\ frac {e_ {C}} {\ lambda _ {C} S_ {C}}}} = {\ frac {1} {R_ {thA}}} + {\ frac {1} {R_ {thB}}} + {\ frac {1} {R_ {thC }}}}
Demonstrație
Pentru fiecare element, fluxul este exprimat în funcție de relație
T1-T2=eXλXSΦ{\ displaystyle T_ {1} -T_ {2} = {\ frac {e_ {X}} {\ lambda _ {X} S}} \ Phi \,}Prin luarea analogiei electrice
RX=eXλXSX{\ displaystyle R_ {X} = {\ frac {e_ {X}} {\ lambda _ {X} S_ {X}}} \,}unde este egal cu , sau
prin urmare avem
X{\ displaystyle X}LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}
ΦLA=T1-T2RLA{\ displaystyle \ Phi _ {A} = {\ frac {T_ {1} -T_ {2}} {R_ {A}}} \,}
ΦB=T1-T2RB{\ displaystyle \ Phi _ {B} = {\ frac {T_ {1} -T_ {2}} {R_ {B}}} \,}
ΦVS=T1-T2RVS{\ displaystyle \ Phi _ {C} = {\ frac {T_ {1} -T_ {2}} {R_ {C}}} \,
Debitul total este egal cu suma fluxurilor din fiecare element
Φ=ΦLA+ΦB+ΦVS{\ displaystyle \ Phi = \ Phi _ {A} + \ Phi _ {B} + \ Phi _ {C} \,}
Φ=(T1-T2)(1RLA+1RB+1RVS){\ displaystyle \ Phi = (T_ {1} -T_ {2}) \ left ({\ frac {1} {R_ {A}}} + {\ frac {1} {R_ {B}}} + {\ frac {1} {R_ {C}}} \ right) \,}
Fie S suprafața totală
S=SLA+SB+SVS{\ displaystyle S = S_ {A} + S_ {B} + S_ {C} \,}Fluxul de suprafață este apoi scris
φ=ΦS{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {\ Phi} {S}} \,}Tot prin analogie cu legile electrice, inversul rezistenței termice este uneori numit conductanța termică.
VSth=1Rth=1eLAλLASLA+1eBλBSB+1eVSλVSSVS=1RthLA+1RthB+1RthVS{\ displaystyle C_ {th} = {\ frac {1} {R_ {th}}} = {\ frac {1} {\ frac {e_ {A}} {\ lambda _ {A} S_ {A}}} } + {\ frac {1} {\ frac {e_ {B}} {\ lambda _ {B} S_ {B}}}} + {\ frac {1} {\ frac {e_ {C}} {\ lambda _ {C} S_ {C}}}} = {\ frac {1} {R_ {thA}}} + {\ frac {1} {R_ {thB}}} + {\ frac {1} {R_ {thC }}}}
Analogie electrică
Prin urmare, este, de asemenea, posibil să se facă o analogie între o conexiune electrică a rezistențelor în paralel.
|
|
Eu=(1R1+1R2+1R3)ΔU{\ displaystyle I = \ left ({\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1} {R_ {2}}} + {\ frac {1} {R_ {3}}} \ dreapta) \ Delta U \,}
|
Φ=(1Rth1+1Rth2+1Rth3)ΔT{\ displaystyle \ Phi = \ left ({\ frac {1} {R_ {th1}}} + {\ frac {1} {R_ {th2}}} + {\ frac {1} {R_ {th3}}} \ dreapta) \ Delta T \,}
|
Suprafață cilindrică simplă
Tubul unic este fabricat dintr-un singur material omogen. Temperatura este omogenă pe fiecare suprafață a tubului. Se consideră că tubul are o lungime infinită pentru a fi lipsit de efecte de margine.
Variația temperaturii este scrisă:
T1-T2=Φ2πλLln(R2R1){\ displaystyle \ T_ {1} -T_ {2} = {\ frac {\ Phi} {2 \ pi \, \ lambda \, L}} \ ln \ left ({\ frac {R_ {2}} {R_ {1}}} \ dreapta)}
Demonstrație
Dacă luăm în considerare o variație dR în interiorul materialului care constituie tubul, legea lui Fourier este atunci exprimată:
Φ=-λSdTdR{\ displaystyle \ Phi = - \ lambda \, S \, {\ frac {\ mathrm {d} T} {\ mathrm {d} R}}}(ipoteza stării de echilibru asigură de fapt că debitul de căldură este constant în cilindru și, prin urmare, este independent de locația aleasă)
Φ{\ displaystyle \ Phi}
Variația temperaturii în grosimea tubului
Fie S suprafața unui cilindru:
S=2πRL{\ displaystyle S = 2 \ pi RL \,}Putem scrie legea lui Fourier sub forma:
Φ=-λ2πRLdTdR{\ displaystyle \ Phi = - \ lambda 2 \ pi RL {\ frac {\ mathrm {d} T} {\ mathrm {d} R}} \,}dRR=-2πλLdTΦ{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} R} {R}} = - {\ frac {2 \ pi \ lambda L \ mathrm {d} T} {\ Phi}} \,}∫R1R2dRR=-2πλLΦ∫T1TdT{\ displaystyle \ int _ {R_ {1}} ^ {R_ {2}} {\ frac {\ mathrm {d} R} {R}} = - {\ frac {2 \ pi \ lambda L} {\ Phi }} \ int _ {T_ {1}} ^ {T} \ mathrm {d} T \,}lnR2R1=2πλLΦ(T1-T){\ displaystyle \ ln {\ frac {R_ {2}} {R_ {1}}} = {\ frac {2 \ pi \ lambda L} {\ Phi}} (T_ {1} -T) \,}Variația de temperatură a materialului este deci
T=T1-Φ2πλLlnRR1{\ displaystyle \ T = T_ {1} - {\ frac {\ Phi} {2 \ pi \ lambda L}} \ ln {\ frac {R} {R_ {1}}} \,}Pe întreaga grosime a tubului, variația este
T1-T2=Φ2πλLlnR2R1{\ displaystyle \ T_ {1} -T_ {2} = {\ frac {\ Phi} {2 \ pi \ lambda L}} \ ln {\ frac {R_ {2}} {R_ {1}}} \, }
Suprafețe cilindrice concentrice
Tubul concentric este format din tuburi dispuse în straturi concentrice. Se consideră că contactul este perfect între tuburi. Temperatura este omogenă pe fiecare suprafață a tubului. Tubul este considerat a avea o lungime infinită L pentru a fi lipsit de efecte de margine.
Rezistența totală a tubului este exprimată conform unei legi de tip „serie”, ca peretele format din serie:
RthT=RthLA+RthB{\ displaystyle \ R_ {thT} = R_ {thA} + R_ {thB}}
Demonstrație
Evoluția temperaturii în primul strat:
T1-T2=Φ2πλLALlnR2R1{\ displaystyle \ T_ {1} -T_ {2} = {\ frac {\ Phi} {2 \ pi \ lambda _ {A} L}} \ ln {\ frac {R_ {2}} {R_ {1} }} \,}Evoluția temperaturii în al doilea strat:
T2-T3=Φ2πλBLlnR3R2{\ displaystyle \ T_ {2} -T_ {3} = {\ frac {\ Phi} {2 \ pi \ lambda _ {B} L}} \ ln {\ frac {R_ {3}} {R_ {2} }} \,}Pe întreaga grosime a tubului:
T1-T3=Φ2πL(lnR2R1λLA+lnR3R2λB){\ displaystyle \ T_ {1} -T_ {3} = {\ frac {\ Phi} {2 \ pi L}} \ left ({\ frac {\ ln {\ frac {R_ {2}} {R_ {1 }}}} {\ lambda _ {A}}} + {\ frac {\ ln {\ frac {R_ {3}} {R_ {2}}}} {\ lambda _ {B}}} \ right) \ ,}Rezistența termică a stratului A
RthLA=lnR2R1λLA2πL{\ displaystyle \ R_ {thA} = {\ frac {\ ln {\ frac {R_ {2}} {R_ {1}}}} {\ lambda _ {A} {2 \ pi L}}} \,}Rezistența termică a stratului B
RthB=lnR3R2λB2πL{\ displaystyle \ R_ {thB} = {\ frac {\ ln {\ frac {R_ {3}} {R_ {2}}}} {\ lambda _ {B} {2 \ pi L}}} \,}Rezistența totală a tubului este exprimată conform unei legi de tip „serie”, ca peretele format din serie:
RthT=RthLA+RthB{\ displaystyle \ R_ {thT} = R_ {thA} + R_ {thB} \,}
Conducerea în regim dinamic
Rezoluția ecuației căldurii în regim dinamic este mult mai delicată. Folosește noțiunile de transformate Fourier , produs de convoluție și distribuții . Dăm câteva exemple de rezoluție.
Cazul unui domeniu nelimitat
Principiu general
Să scriem ecuația căldurii sub forma:
∂T∂t-D∇2T=P{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial t}} - D \ nabla ^ {2} T = P}unde D este coeficientul de difuzivitate termică și P reprezintă aici încălzirea (în K / s) din surse de căldură. P poate fi o funcție a timpului și a poziției sursei de căldură, dar și o distribuție . De exemplu, injecția instantanee și punctuală a unei cantități de căldură poate fi reprezentată de produsul unei distribuții Dirac la momentul t = 0 printr-o distribuție Dirac la x = 0, x fiind abscisa în cazul unei probleme unidimensionale sau vectorul de poziție în cazul general.
δ(t)δ(X){\ displaystyle \ delta (t) \ delta (x)}
De asemenea, ne oferim starea inițială a domeniului , care poate fi, de asemenea, o funcție a lui x sau o distribuție.
T0=T(0,X){\ displaystyle T_ {0} = T (0, x)}
Metoda de rezoluție constă din:
- aplicați o transformată Fourier relativă la variabila x, la toți termenii ecuației diferențiale. Aceasta transformă derivarea față de x de un produs. Dacă luăm , atunci ecuația devine:F(T)(p,t)=∫T(X,t)exp(-2euπpX)dX{\ displaystyle F (T) (p, t) = \ int T (x, t) \ exp (-2i \ pi px) dx}
∂F(T)∂t+D4π2p2F(T)=F(P){\ displaystyle {\ frac {\ partial F (T)} {\ partial t}} + D4 \ pi ^ {2} p ^ {2} F (T) = F (P)}
sau mai bine zis, în sensul distribuțiilor, să se ia în considerare condiția inițială:
∂F(T)∂t+D4π2p2F(T)=F(P)+F(T0)δ(t){\ displaystyle {\ frac {\ partial F (T)} {\ partial t}} + D4 \ pi ^ {2} p ^ {2} F (T) = F (P) + F (T_ {0}) \ delta (t)}
(∂δ(t)∂t+4π2Dp2δ(t))∗F(T)=F(P)+F(T0)δ(t){\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial \ delta (t)} {\ partial t}} + 4 \ pi ^ {2} Dp ^ {2} \ delta (t) \ right) * F (T) = F (P) + F (T_ {0}) \ delta (t)}
Operatorul pe care îl aplicăm lui F este un produs de convoluție relativ la variabila t ;
- aplicați reciprocitatea operatorului a cărei valoare este afișată , unde H este funcția Heaviside , pentru a termina cu:H(t)exp(-4π2Dp2t){\ displaystyle H (t) \ exp (-4 \ pi ^ {2} Dp ^ {2} t)}
F(T)=F(P)∗H(t)exp(-4π2Dp2t)+F(T0)H(t)exp(-4π2Dp2t).{\ displaystyle F (T) = F (P) * H (t) \ exp (-4 \ pi ^ {2} Dp ^ {2} t) + F (T_ {0}) H (t) \ exp ( -4 \ pi ^ {2} Dp ^ {2} t).}Dacă F ( P ) este o funcție și nu o distribuție, această relație devine, pentru t > 0:
F(T)=∫0tF(P)(τ)exp(-4π2Dp2(t-τ))dτ+F(T0)exp(-4π2Dp2t){\ displaystyle F (T) = \ int _ {0} ^ {t} F (P) (\ tau) \ exp (-4 \ pi ^ {2} Dp ^ {2} (t- \ tau)) d \ tau + F (T_ {0}) \ exp (-4 \ pi ^ {2} Dp ^ {2} t)}- luând inversul transformata Fourier pentru a obține T .
Caz particular
Dacă luăm și (injectarea instantanee de căldură într-un punct dat), metoda descrisă mai sus duce la:
T0=0{\ displaystyle T_ {0} = 0}P=δ(t)δ(X){\ displaystyle P = \ delta (t) \ delta (x)}
F(P)=δ(t){\ displaystyle F (P) = \ delta (t)}prin urmare, pentru t> 0:
F(T)=exp(-4π2Dp2t){\ displaystyle F (T) = \ exp (-4 \ pi ^ {2} Dp ^ {2} t)}a cărei transformată Fourier inversă este, pentru t> 0:
T=exp(-X24Dt)2πtD{\ displaystyle T = {\ frac {\ exp \ left (- {\ frac {x ^ {2}} {4Dt}} \ right)} {2 {\ sqrt {\ pi tD}}}} în cazul unidimensional;
T=exp(-r24Dt)8πtD3{\ displaystyle T = {\ frac {\ exp \ left (- {\ frac {r ^ {2}} {4Dt}} \ right)} {8 {\ sqrt {\ pi tD}} ^ {3}}} } în cazul tridimensional.
Domeniu nelimitat fără sursă de căldură
Dacă ne oferim doar temperatura inițială a mediului fără sursă de căldură (P = 0), atunci constatăm că:
T0{\ displaystyle T_ {0}}
T=12πtD∫-∞+∞exp(-(X-tu)24tD)T0(tu)dtu{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {\ pi tD}}}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ exp \ left (- {\ frac {(xu ) ^ {2}} {4tD}} \ right) T_ {0} (u) \, du} în cazul unidimensional.
T=18πtD3∫R3exp(-(r-s)24tD)T0(r)dXsdysdzs{\ displaystyle T = {\ frac {1} {8 {\ sqrt {\ pi tD}} ^ {3}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ exp \ left (- {\ frac {(rs) ^ {2}} {4tD}} \ right) T_ {0} (r) \, dx_ {s} dy_ {s} dz_ {s}} în cazul tridimensional.
Caz de zone limitate, fără sursă de căldură
Cazul unui domeniu limitat de un avion. Problema lui Kelvin
Să presupunem domeniul limitat de planul x = 0. Dacă ne oferim ca condiție de graniță suplimentară T (0, t) = 0 pentru toate t, atunci este suficient să extindem distribuția inițială a temperaturii printr-o funcție impar în x și aplicați rezultatul anterior.
T0{\ displaystyle T_ {0}}
Cel mai faimos caz este cel al problemei Kelvin . Acesta din urmă a considerat în anii 1860 că Pământul se afla inițial la o temperatură constantă de ordinul a 3000 ° C și că s-a răcit printr-o conducție simplă. Folosind valoarea actuală a gradientului de temperatură în funcție de adâncime, a obținut o estimare a vârstei Pământului . Putem aplica metoda de rezoluție anterioară considerând Pământul ca fiind plat și infinit de adânc, limitat de planul suprafeței sale. Calculul conduce la:
T0{\ displaystyle T_ {0}}
T=T0πtD∫0Xexp(-tu24tD)dtu=T0erf(X2Dt){\ displaystyle T = {\ frac {T_ {0}} {\ sqrt {\ pi tD}}} \ int _ {0} ^ {x} \ exp \ left (- {\ frac {u ^ {2}} {4tD}} \ right) \, du = T_ {0} \, {\ rm {erf}} \ left ({\ frac {x} {2 {\ sqrt {Dt}}}} \ right)}unde se spune că erf este funcția de eroare gaussiană .
Gradientul de temperatură la suprafață este:
∂T∂X=T0πtD{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial x}} = {\ frac {T_ {0}} {\ sqrt {\ pi tD}}}}:
Știind aproximativ 3 ° C pentru 100 de metri adâncime și D estimat la 10 −6 m 2 s −1 , constatăm că valorează 100 de milioane de ani. Acest rezultat este în mare parte subestimat deoarece Kelvin a ignorat fenomenele de convecție din mantaua Pământului .
∂T∂X{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial x}}} t{\ displaystyle t}
Cazul unui domeniu delimitat de două planuri paralele
Luați în considerare un domeniu limitat de cele două planuri x = 0 și x = L. Să presupunem că ne oferim ca condiții de graniță T (0, t) = T (L, t) = 0. Folosim o metodă de rezoluție bazată pe seria Fourier , căutând T sub forma:
T=∑nu=1∞bnupăcat(nuπXL)exp(-Dnu2π2tL2){\ displaystyle T = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ sin \ left (n \ pi {\ frac {x} {L}} \ right) \ exp \ left (- { \ frac {Dn ^ {2} \ pi ^ {2} t} {L ^ {2}}} \ right)}Această expresie verifică atât ecuația căldurii, cât și condițiile limită. Dacă ne oferim distribuția inițială a temperaturii , este suficient să o dezvoltăm în seria Fourier pentru a le determina .
T0{\ displaystyle T_ {0}}bnu{\ displaystyle b_ {n}}
De exemplu, dacă luăm constantă, obținem:
T0{\ displaystyle T_ {0}}
T=4T0π∑nu=0∞12nu+1păcat((2nu+1)πXL)exp(-D(2nu+1)2π2tL2){\ displaystyle T = {\ frac {4T_ {0}} {\ pi}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2n + 1}} \ sin \ left ({ \ frac {(2n + 1) \ pi x} {L}} \ right) \ exp \ left (- {\ frac {D (2n + 1) ^ {2} \ pi ^ {2} t} {L ^ {2}}} \ dreapta)}Făcând L tinde spre infinit, găsim soluția Kelvin a paragrafului anterior , suma anterioară fiind considerată ca o sumă Riemann care converge la integral.
Cazul unui domeniu cu geometrie sferică
În cazul în care propagarea se face într-un domeniu sferic și în care temperatura depinde doar de distanța r la centru, ecuația căldurii devine, luând în considerare expresia laplacianului în sferic :
∂T∂t=D(2r∂T∂r+∂2T∂r2){\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial t}} = D \ left ({\ frac {2} {r}} {\ frac {\ partial T} {\ partial r}} + {\ frac {\ partial ^ {2} T} {\ partial r ^ {2}}} \ right)}Dacă pozăm , ecuația devine:
F=rT{\ displaystyle F = rT}
∂F∂t=D∂2F∂r2{\ displaystyle {\ frac {\ partial F} {\ partial t}} = D {\ frac {\ partial ^ {2} F} {\ partial r ^ {2}}}}Putem aplica metodele anterioare pentru a determina F, apoi deducem T împărțind la r .
Astfel, rezoluția problemei Kelvin în cazul unei bile cu rază R (temperatura inițială uniformă egală cu suprafața menținută la o temperatură zero) conduce la următoarea expresie a lui T:
T0{\ displaystyle T_ {0}}
T(r,t)=2T0∑nu=1∞(-1)nu+1seunuvs.(nuπrR)exp(-Dnu2π2tR2){\ displaystyle T (r, t) = 2T_ {0} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + 1} \, {\ rm {sinc}} \ left (n \ pi {\ frac {r} {R}} \ right) \ exp \ left (- {\ frac {Dn ^ {2} \ pi ^ {2} t} {R ^ {2}}} \ right)}unde sinc este funcția de sine cardinal .
Caz de zone limitate, cu sursă de căldură
Considerăm ecuația:
∂T∂t-D∇2T=P{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial t}} - D \ nabla ^ {2} T = P}cu P nu zero. În general, căutăm o soluție specială la această ecuație, astfel încât, odată scăzută din T, să ne putem reduce la o ecuație fără un al doilea membru. Iată câteva exemple, în cazul în care P reprezintă o densitate constantă a sursei de căldură, independent de poziție și timp.
Domeniu delimitat de două planuri paralele
Luați în considerare un domeniu limitat de cele două planuri x = 0 și x = L. Se presupune că, la momentul inițial, temperatura câmpului este egală cu o temperatură de referință zero și că marginile câmpului vor rămâne permanent la această temperatură zero. Prin urmare, T verifică:
∂T∂t-D∂2T∂X2=P{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial t}} - D {\ frac {\ partial ^ {2} T} {\ partial x ^ {2}}} = P}
T (0, t ) = T (L, t ) = 0 pentru orice t pozitiv.
T ( x , 0) = 0 pentru toate x între 0 și L.
Funcția independentă a lui t satisface primele două relații, astfel încât, dacă stabilim , atunci G satisface:
PX(L-X)2D{\ displaystyle {\ frac {Px (Lx)} {2D}}}G=T-PX(L-X)2D{\ displaystyle G = T - {\ frac {Px (Lx)} {2D}}}
∂G∂t-D∂2G∂X2=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial G} {\ partial t}} - D {\ frac {\ partial ^ {2} G} {\ partial x ^ {2}}} = 0}
G(0,t)=G(L,t)=0{\ displaystyle G (0, t) = G (L, t) = 0}
G(X,0)=-PX(L-X)2D{\ displaystyle G (x, 0) = - {\ frac {Px (Lx)} {2D}}}
Putem aplica metoda văzută mai sus căutând G sub forma unei serii:
G=∑nu=1∞bnupăcat(nuπXL)exp(-nu2π2DtL2){\ displaystyle G = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ sin \ left ({\ frac {n \ pi x} {L}} \ right) \ exp \ left (- { \ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2} Dt} {L ^ {2}}} \ right)}care verifică primele două relații. Deoarece, din motive de simetrie, ne așteptăm că , putem presupune că coeficienții sunt zero atunci când n este egal, astfel încât:
G(X)=G(L-X){\ displaystyle G (x) = G (Lx)}bnu{\ displaystyle b_ {n}}
G=∑nu=0∞b2nu+1păcat((2nu+1)πXL)exp(-(2nu+1)2π2DtL2){\ displaystyle G = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {2n + 1} \ sin \ left ({\ frac {(2n + 1) \ pi x} {L}} \ right) \ exp \ left (- {\ frac {(2n + 1) ^ {2} \ pi ^ {2} Dt} {L ^ {2}}} \ right)}:
Pentru t = 0, avem:
-PX(L-X)2D=∑nu=0∞b2nu+1păcat((2nu+1)πXL){\ displaystyle - {\ frac {Px (Lx)} {2D}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {2n + 1} \ sin \ left ({\ frac {(2n + 1 ) \ pi x} {L}} \ dreapta)}:
Le găsim dezvoltându-ne în seria Fourier . Găsim :
b2nu+1{\ displaystyle b_ {2n + 1}}-PX(L-X)2D{\ displaystyle - {\ frac {Px (Lx)} {2D}}}
b2nu+1=-4PL2(2nu+1)3π3D{\ displaystyle b_ {2n + 1} = - {\ frac {4PL ^ {2}} {(2n + 1) ^ {3} \ pi ^ {3} D}}}De aici G, apoi în cele din urmă:
T=PX(L-X)2D-4PL2Dπ3∑nu=0∞1(2nu+1)3păcat((2nu+1)πXL)exp(-(2nu+1)2π2DtL2){\ displaystyle T = {\ frac {Px (Lx)} {2D}} - {\ frac {4PL ^ {2}} {D \ pi ^ {3}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n + 1) ^ {3}}} \ sin \ left ({\ frac {(2n + 1) \ pi x} {L}} \ right) \ exp \ left ( - {\ frac {(2n + 1) ^ {2} \ pi ^ {2} Dt} {L ^ {2}}} \ right)}Când t tinde spre infinit, temperatura domeniului tinde spre , încălzirea termică în mediu fiind apoi în echilibru cu evacuarea căldurii de către cele două margini.
PX(L-X)2D{\ displaystyle {\ frac {Px (Lx)} {2D}}}
Domeniu limitat de un plan
Rezolvarea aceleiași probleme în cazul în care x > 0 constă în determinarea T astfel încât:
∂T∂t-D∂2T∂X2=P{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial t}} - D {\ frac {\ partial ^ {2} T} {\ partial x ^ {2}}} = P}
T (0, t ) = 0 pentru orice t pozitiv.
T ( x , 0) = 0 pentru toate x > 0.
Putem obține soluția făcând ca L să tindă spre infinit în expresia dată în paragraful anterior , prin asimilarea seriei la o sumă Riemann . Apoi obținem următoarea expresie:
T=-PX22D+PX22Derf(X2Dt)+PXtDπexp(-X24Dt)+Pterf(X2Dt){\ displaystyle T = - {\ frac {Px ^ {2}} {2D}} + {\ frac {Px ^ {2}} {2D}} \, {\ rm {erf}} \ left ({\ frac {x} {2 {\ sqrt {Dt}}}} \ right) + {\ frac {Px {\ sqrt {t}}} {\ sqrt {D \ pi}}} \ exp \ left (- {\ frac {x ^ {2}} {4Dt}} \ right) + Pt \, {\ rm {erf}} \ left ({\ frac {x} {2 {\ sqrt {Dt}}}} \ right)}erf este funcția cunoscută sub numele de funcție de eroare Gaussiană . Putem găsi această expresie și prin aplicarea metodei rezultate din principiul general referitor la un domeniu nelimitat, după ce am extins la întregul spațiu funcțiile T și P în funcții impare la x , astfel încât T dispare la x = 0.
Când t tinde spre infinit, T este aproximativ P t , analog cu cel al unui domeniu infinit. Singura margine nu este suficientă pentru a disipa căldura.
Domeniul geometriei sferice
În cazul unui domeniu a cărui margine este o sferă de rază R, se folosește expresia laplacianului în sferic și este adus să se rezolve:
∂T∂t=D(2r∂T∂r+∂2T∂r2)+P{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial t}} = D \ left ({\ frac {2} {r}} {\ frac {\ partial T} {\ partial r}} + {\ frac {\ partial ^ {2} T} {\ partial r ^ {2}}} \ right) + P}
Pentru toate t , T (R, t ) = 0
Pentru toate r , T ( r , 0) = 0
Poziționând , G verifică sistemul:
G=rT+r3P-rR2P6D{\ displaystyle G = rT + {\ frac {r ^ {3} P-rR ^ {2} P} {6D}}}
∂G∂t=D∂2G∂r2{\ displaystyle {\ frac {\ partial G} {\ partial t}} = D {\ frac {\ partial ^ {2} G} {\ partial r ^ {2}}}}
Pentru toate t , G (R, t ) = 0
Pentru toate r ,
G(r,0)=r3P-rR2P6D{\ displaystyle G (r, 0) = {\ frac {r ^ {3} P-rR ^ {2} P} {6D}}}
Metoda seriei Fourier sugerează căutarea lui G sub forma unei serii , unde se găsesc prin extinderea într-o serie Fourier. Noi obținem :
∑nu=1∞bnupăcat(nuπrR)exp(-nu2π2DtR2){\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ sin \ left ({\ frac {n \ pi r} {R}} \ right) \ exp \ left (- {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2} Dt} {R ^ {2}}} \ right)}bnu{\ displaystyle b_ {n}}r3P-rR2P6D{\ displaystyle {\ frac {r ^ {3} P-rR ^ {2} P} {6D}}}
G=2PR3Dπ3∑nu=1∞(-1)nunu3păcat(nuπrR)exp(-nu2π2DtR2){\ displaystyle G = {\ frac {2PR ^ {3}} {D \ pi ^ {3}}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} } {n ^ {3}}} \ sin \ left ({\ frac {n \ pi r} {R}} \ right) \ exp \ left (- {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2 } Dt} {R ^ {2}}} \ dreapta)}:
Așadar :
T=R2P-r2P6D+2PR2Dπ2∑nu=1∞(-1)nunu2seunuvs.(nuπrR)exp(-nu2π2DtR2){\ displaystyle T = {\ frac {R ^ {2} Pr ^ {2} P} {6D}} + {\ frac {2PR ^ {2}} {D \ pi ^ {2}}} \ sum _ { n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n ^ {2}}} {\ rm {sinc}} \ left ({\ frac {n \ pi r} { R}} \ right) \ exp \ left (- {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2} Dt} {R ^ {2}}} \ right)}unde sinc este funcția de sine cardinal .
Când t tinde spre infinit, temperatura T tinde spre distribuția limită .
R2P-r2P6D{\ displaystyle {\ frac {R ^ {2} Pr ^ {2} P} {6D}}}
Note și referințe
Note
-
Termenul sistem desemnează un corp sau un set de corpuri în care au loc schimburi de căldură.
-
diamant este o excepție notabilă: zăbrele de cristal rigidă are multe cuantificată modul de vibrație. Drept urmare, diamantul are atât o capacitate termică foarte mică, cât și o conductivitate termică ridicată .
-
Este adesea zero (în cazul depunerilor de căldură de pe suprafața pereților, de exemplu), dar putem cita multe cazuri în care nu este; includ, printre altele, studiul transferului de căldură prin conducție în combustibilul nuclear sau absorbția luminii sau a microundelor în materiale semitransparente etc.
-
Convecția care aduce materiale fierbinți în apropierea suprafeței, gradientul de temperatură în vecinătatea acesteia din urmă după un anumit timp este mai mare în cazul convecției decât în cel al conducției. În consecință, timpul de răcire care conduce la un gradient dat va fi estimat a fi mai scurt în cazul conducției decât în cel al convecției. Vezi England P, Molnar P, Richter F, Kelvin, Perry and the Age of the Earth , Pour la Science , februarie 2008, p. 32-37 , tradus dintr-un articol de cercetător american . O a doua sursă de eroare și mai marginală vine din faptul că Kelvin neglijează și termenul de sursă de energie din cauza radioactivității.
Referințe
-
José-Philippe Pérez și AM Romulus, Termodinamică. Fundații și aplicații , Paris, Masson ,1993, p. 153.
-
Pérez și Romulus 1993 , p. 158
-
Pérez și Romulus 1993 , p. 160
-
A se vedea Wiedemann și Franz Law .
-
Joseph Fourier , Teoria analitică a căldurii ,1822[ detaliu ediții ], Edward Leroy, „ Despre integrarea ecuațiilor de căldură ” Asens , seria 3 E , t. 14,1897, p. 379-465 ( citește online )și linkuri externe ( vezi mai jos ).
-
Fluxuri de căldură care scapă de Fourier, Pour la Science n o 494 decembrie 2018 p. 63 .
-
(în) Yuan Dong Analiza dinamică a conducerii non-Fourier a căldurii în nanosisteme , Springer ,2016( citește online )
-
O. Bourgeois, D. Tainoff, N. Mingo, B. Vermeersch și J.-L. Barrat, " Des fluxes de solidarité which escape Fourier ", Pour la Science , n o 494,2008, p. 58-65.
-
(De) RE Peierls , " Zur kinetischen Theorie der Wärmeleitung in Kristallen " , Annalen der Physik , vol. 3,1929, p. 1055–1101
-
(în) Ingo Müller și Tommaso Ruggeri, Rational Extended Thermodynamics , vol. 37, Springer , col. „Springer Tracts in Natural Philosophy”,1998( ISBN 978-1-4612-7460-5 )
-
(în) Michael M. Modest , Radiative Heat Transfer , Academic Press ,2003( ISBN 0-12-503163-7 )
-
(it) Carlo Cattaneo , " Sulla conduzione del calore " , Atti del Seminario Matematico e Fisico dell 'Universita di Modena e Reggio Emilia , vol. 3,1948, p. 83–101
-
P. Vernotte, „ Paradoxurile teoriei continue a ecuației căldurii ”, Proceedings of the Academy of Sciences , vol. 246, 1958 1958, p. 3154-3155
-
(în) Yoseph Imry, Introducere în fizica mezoscopică , Oxford University Press ,2002( ISBN 0-19-850738-0 , citit online )
-
(în) JB Pendry , " Limite cuantice la fluxul de informații și entropie " , Jurnalul de fizică A: matematic și general , vol. 16, n o 10,1983, p. 2161-2171 ( citiți online )
-
(în) K. Schwab, EA Enriksen, JM Worlock și ML Roukes, " Măsurarea cantității de conductivitate termică " , Letters to Nature , vol. 404,2000, p. 974-977 ( citește online )
-
Lev Landau și Evgueni Lifchits , Fizică teoretică , t. 6: Mecanica fluidelor [ detaliile edițiilor ].
-
Laurent Schwartz , Metode matematice pentru științele fizice , Hermann , 1965.
-
Jean-Louis Le Mouël, răcirea Pământului , a 196- a Conferință a Universității din Toate Cunoașterile, 14 iulie 2000 [1] sau [2]
-
John Perry, On the age of earth , 51 , Nature (7 februarie 1895), 341-342
Vezi și tu
Articole similare
linkuri externe
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">