Localizare (matematică)

În algebră , localizarea este una dintre operațiile de bază ale algebrei comutative . Este o metodă care construiește un inel nou dintr-un inel comutativ . Construcția câmpului fracțiunilor este un caz special de localizare.

Concept intuitiv

Localizarea constă în transformarea elementelor unei părți („parte multiplicativă”) a inelului inversabile . Cel mai cunoscut exemplu este câmpul fracțiunilor unui inel integral care este construit prin transformarea tuturor elementelor diferite de zero ale inelului. Putem vedea, de asemenea, localizarea ca o modalitate de a trimite inelul într-un inel „mai mare” în care diviziunile au fost permise de elemente care anterior nu erau inversabile. De exemplu, localizat de en este inelul , în care orice număr întreg care nu este multiplu are un invers. Acest inel corespunde unei structuri discrete de evaluare , deoarece este, de asemenea, principal . $\ mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ setminus 7 \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {5}}, {\ frac {1} {11}}, {\ frac {1} {13}} ... \ right]}$ $7$

Definiție

Fie A un inel comutativ (unitar). Încercăm să facem elementele unei părți S a A inversabile . Dacă a și b în S devin inversabile, va fi același pentru produsul lor al cărui invers este apoi a -1 b -1 . Prin urmare, lucrăm cu o parte multiplicativă , adică un set stabil prin multiplicare, care nu conține zero și conține 1. $S \ subset A$

Amplasarea inelului A din partea S este apoi datele unui inel, notat S -1 A și a unui morfism , cum ar fi: ${\ displaystyle l_ {S} \ ,: \, A \ rightarrow S ^ {- 1} A}$

{\ displaystyle l_ {S} (S) \ subset (S ^ {- 1} A) ^ {*} \ quad \ quad (l_ {S} (s) {\ text {este inversabil pentru tot}} s \ in S),}

și care satisfac următoarea proprietate universală : pentru orice morfism inelar , dacă $f: A \ rightarrow B$

{\ displaystyle f (S) \ subset B ^ {*} \ quad \ quad (f (s) {\ text {este inversabil pentru toate}} s \ în S),}

atunci există un morfism unic astfel încât . ${\ displaystyle g \ ,: \, S ^ {- 1} A \ rightarrow B}$ ${\ displaystyle f = g \ circ l_ {S}}$

Inelul S -1 A este , de asemenea , notat A S sau A [ S -1 ] și se numește inelul fracțiunilor de A asociate cu S , sau cu numitorul în S , sau inelul fractiunile A cu privire la S .

Constructie

Pentru a construi inelul localizat, se procedează ca în construcția câmpului fracțiilor, dar cu o precauție suplimentară pentru a lua în considerare faptul că inelul nu este întotdeauna integral. Pe produsul cartezian , relația de echivalență este următoarea: dacă și numai dacă există un element astfel încât . Restul construcției este același cu cel al corpului fracției . Utilizarea elementului este crucială pentru tranzitivitate. ${\ displaystyle A \ times S}$ ${\ displaystyle (a, s) \ sim (a ', s')}$ ${\ displaystyle t \ in S}$ ${\ displaystyle t (s'-sa ') = 0}$ $t$

Exemple importante

Elementele regulate (adică nedivizorii de zero ) formează o parte multiplicativă notată ; inelul este inelul total al fracțiilor de ; homomorfismul de localizare în acest caz este injectiv. ${\ displaystyle A ^ {\ times}}$ ${\ displaystyle (A ^ {\ times}) ^ {- 1} A}$ $LA$
Complementul unui prim ideală este o parte multiplicativ, și , prin urmare , pot fi folosite pentru a localiza inelul. În acest caz, observăm . Este un inel local numit localizat din en . Mai general, se poate lua la o parte multiplicativ complementul unirea oricărei familii de idealuri prime de A . Pentru o familie finită, obținem apoi un inel semi-local . ${\ displaystyle A \ setminus p}$ $p$ ${\ displaystyle A_ {p} = (A \ setminus p) ^ {- 1} A}$ $LA$ $p$
Când este un inel integral, primul exemplu este un caz special al celui de-al doilea. Într-adevăr, idealul nul este prim și complementul său este . În acest caz, este un câmp numit câmpul fracțiilor de . $LA$ ${\ displaystyle A ^ {\ times}}$ ${\ displaystyle (A ^ {\ times}) ^ {- 1} A}$ $LA$
Când este integritate, este egal cu intersecția, în corpul său de fracții, a localizat în idealurile sale maxime. $LA$
Când nu este un inel integral, complementul unui ideal prim poate conține divizori ai zero. Homomorfismul de localizare nu este atunci injectiv. De exemplu, luați în considerare inelul produs atunci când este un câmp. Are două idealuri maxime și . Cele două locații sunt apoi izomorfe și cele două hărți canonice sunt de fapt cele două proiecții. În acest caz, vedem că elementele inversoare nu măresc numărul acestora, ci dimpotrivă îl scade. $LA$ $p$ ${\ displaystyle A \ to A_ {p}}$ ${\ displaystyle A = K ^ {2}}$ $K$ ${\ displaystyle M_ {1} = K \ times 0}$ ${\ displaystyle M_ {2} = 0 \ ori K}$ ${\ displaystyle A_ {M_ {i}}}$ $K$
Să fie un element al . Setul uniunii de {1} și puteri pozitive ( n > 0) este o parte multiplicativă a . Se notează locația față de această parte multiplicativă . Observați că este inelul nul dacă și numai dacă este nilpotent. Când este integral, este mulțimea fracțiilor care pot fi exprimate ca coeficientul unui element al unei puteri pozitive de . $f$ $LA$ $S$ $f ^ {n}$ $LA$ $LA$ $A_ {f}$ $A_ {f}$ $f$ $LA$ $A_ {f}$ $LA$ $f$

Explicația termenului localizare

Să luăm inelul polinoamelor ℂ [X]. Deoarece ℂ este închis algebric , spectrul prim al lui ℂ [X] se identifică cu ℂ în sine (cu un punct suplimentar corespunzător idealului nul). Localizat în idealul maxim generat de X, (X) = Xℂ [X], se numește localizat în și este tocmai inelul de polinoame în care am autorizat toate diviziunile, cu excepția celor de polinoamii de dispariție în 0. Acest nou inelul este ansamblul fracțiilor raționale fără pol la 0 (deci holomorf în vecinătatea lui 0). Ne permite să fim interesați de proprietățile polinoamelor din vecinătatea , de unde și termenul inel localizat . ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$

Spectrul principal al unei localizări

Fie o parte multiplicativă a . Atunci setul idealurilor prime ale poate fi identificat cu partea idealurilor prime ale disjunctiunii lui . Mai precis, să fie morfismul canonic. Pentru fiecare ideal prim al lui , este un ideal prim din care este disjunct și această corespondență este unu-la-unu, corespondența reciprocă asociind un ideal prim al idealului de . Mai mult, morfismul canonic dintre inelele integrale induce un izomorfism între câmpurile lor de fracțiuni. $S$ $LA$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $LA$ $S$ ${\ displaystyle l_ {S}: A \ to S ^ {- 1} A}$ $Î$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ ${\ displaystyle l_ {S} ^ {- 1} (Q)}$ $LA$ $S$ $P$ $LA$ ${\ displaystyle l_ {S} (P) S ^ {- 1} A}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ ${\ displaystyle A / l_ {S} ^ {- 1} (Q) \ to S ^ {- 1} A / Q}$

Rețineți că, în general, această corespondență nu există pentru idealuri maxime (luați în considerare exemplul egal cu inelul numerelor întregi și câmpul său de fracții). $LA$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$

Localizarea modulelor

Să și ca mai sus . Să fie un -modul. Atunci localizat este un -modul înzestrat cu un morfism -liniar astfel încât orice morfism -liniar dintr-un -modul să fie luat în considerare în mod unic în compus din un morfism -liniar . Concret, modulul set este relația de echivalență: dacă și numai dacă există în așa fel încât . Aplicația canonică constă în trimiterea clasei de . Nucleul său este sub-modulul anulat de un element de . Această localizare este izomorfă pentru produsul tensorial al și pe . $LA$ $S$ $M$ $LA$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $LA$ ${\ displaystyle f: M \ to S ^ {- 1} M}$ $LA$ ${\ displaystyle M \ to N}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $NU$ $f$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M \ to N}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M}$ ${\ displaystyle M \ times S}$ ${\ displaystyle (x, s) \ sim (x ', s')}$ $t$ $S$ ${\ displaystyle t (s'x-sx ') = 0}$ ${\ displaystyle M \ to S ^ {- 1} M}$ $X$ $(x, 1)$ $X$ $S$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M}$ $M$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $LA$

În teoria categoriilor , operația a notat că un obiect din clasa -Mod (categorie -module ) asociază categoria subiect -Mod, este un functor exact . $S ^ {{- 1}}$ $M$ $LA$ $LA$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} M}$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$

Note și referințe

N. Bourbaki , Elements of matematic , Algebra comutativă , capitolul II.
N. Bourbaki, Algebra , capitolul I, p. 107.
N. Bourbaki, Algebra , capitolul I, p. 108.
M.-P. Malliavin , Algebra comutativă, Aplicații în geometrie și teoria numerelor , p. 27-28.
N. Bourbaki, Elemente de matematică , AC II.3.3.
(în) Algebra comutativă de bază Balwant Singh , p. 32, previzualizare pe Google Cărți .