Cartea I a Elementelor lui Euclid

Cartea I a elementelor de Euclid pune bazele pentru restul cărții. Contine :

• 35 definiții de vocabular;
• 5 cereri (sau postulate conform lui Proclos ) plus un apocrif  ;
• 5 noțiuni comune (sau axiome conform Proclos) plus patru apocrife;
• 48 de propuneri.

Definițiile

Y sunt definite punctul , linia (care pentru Euclid este doar un segment al unei drepte), unghiurile , cercul , triunghiul , pătratul , dreptunghiul , paralelele . Iată câteva dintre aceste definiții:

• Definiția 1 , punctul este ceea ce partea este zero.
• Definiția 2 , o linie este o lungime fără lățime.
• Definiția 4 , linia dreaptă este cea care este plasată și între punctele sale.
• Definiția 8 , un unghi plan este înclinația reciprocă a două linii care se ating într-un plan și care nu sunt plasate în aceeași direcție.
• Definiția 9 , când liniile care includ un unghi sunt drepte, unghiul se numește rectiliniu.
• Definiția 10 , atunci când o linie care cade pe o linie face două unghiuri egale consecutive, fiecare dintre unghiurile egale este dreaptă, iar linia plasată deasupra se spune că este perpendiculară pe cea pe care este așezată.
• Definiția 11 , unghiul obtuz este cel care este mai mare decât o linie dreaptă.
• Definiția 12 , unghiul acut este acela care este mai mic decât o linie dreaptă.
• Definiția 15 , un cerc este o figură plană formată dintr-o singură linie numită circumferință, toate liniile drepte care conduc la circumferința unuia dintre punctele plasate în această figură fiind egale una cu cealaltă.
• Definiția 16 , acest punct este numit centrul cercului.
• Definiția 17 , diametrul cercului este o linie dreaptă condusă de centru și terminată de ambele părți de circumferința cercului, diametrul împarte cercul în două părți egale.
• Definiția 24 , Dintre figurile trilaterale, triunghiul echilateral este unul care are cele trei laturi egale.
• Definiția 25 , triunghiul isoscel, unul care are doar două laturi egale.
• Definiția 27 , [...], triunghiul dreptunghiular este unul care are un unghi drept.
• Definiția 30 , Dintre figurile patrulatere, pătratul este acela care este echilateral și dreptunghiular.
• Definiția 31 , dreptunghiul, ceea ce este dreptunghiular și nu echilateral.
• Definiția 35 , paralelele sunt linii drepte care, fiind situate în același plan și fiind extinse la infinit de ambele părți, nu se întâlnesc pe ambele părți.

Cereri

Acestea sunt celebrele postulate ale lui Euclid, dintre care al cincilea este cel mai faimos. (Vorbim cu ea despre postulatul lui Euclid , despre axioma lui Euclid , despre postulatul etc. Este echivalent cu axioma paralelelor .)

• Cererea 1 , între două puncte putem trage întotdeauna o linie.
• Cererea 2 , putem întinde întotdeauna la infinit o linie trasată între două puncte.
• Cererea 3 , pornind de la un anumit punct și lungime, putem desena întotdeauna un cerc.
• Solicitați 4 , toate unghiurile drepte sunt egale una cu cealaltă.
• Întrebați-l pe 5 , dacă o linie, care cade pe două linii, face unghiurile interioare ale aceleiași părți mai mici decât două linii, aceste linii, extinse până la infinit, se vor întâlni pe latura în care unghiurile sunt mai mici decât două drepturi.

Definițiile și conceptele comune favorizează cercul și linia dreaptă. Prin urmare, geometria lui Euclid va fi atașată în mod esențial la construcțiile riglei și compasului .

Noțiuni comune

Aceștia afirmă tranzitivitatea egalității, faptul că se păstrează o egalitate sau o inegalitate dacă adăugăm sau scădem aceeași cantitate celor doi membri ai egalității sau inegalității. Ultima noțiune comună afirmă că întregul este mai mare decât partea .

Propuneri

Aceste propuneri vizează următoarele puncte:

• Construcții elementare. Primele trei propoziții descriu câteva construcții elementare: construcția unui triunghi echilateral de latură dată (prop. 1), construcția unui cerc cu centrul dat și raza dată (prop. 2), scăderea dintr-un segment dat CD a unui segment dat AB ( prop. 3)
• De cazuri de egalitate de triunghiuri sunt tratate în prop 4 (primul caz de egalitate de triunghiuri: două laturi și unghiul dintre cele două laturi, egale în cele două triunghiuri)., Prop 7 și 8 ( a doua egalitate caz de triunghiuri:. Trei laturi de aceeași lungime în cele două triunghiuri), prop. 26 (al treilea caz de egalitate a triunghiurilor: două unghiuri și o latură egală).
• Triunghi isoscel  :. Elemente de recuzită 5 și 6 arată că un triunghi are două laturi egale , dacă și numai dacă are două unghiuri egale.
• Diverse construcții. Un anumit număr de propoziții explică modul de procedare la construcția obiectelor geometrice: bisectoarea unui unghi (prop. 9), punctul mijlociu al unui segment (prop. 10), perpendiculară pe o linie care trece printr-un punct dat, o triunghi ale cărui lungimi laterale sunt date (prop. 22), un unghi egal cu un unghi dat (prop. 23).
• Cele unghiuri . Propunerile 13-19 se referă la unghiuri, de exemplu: două unghiuri ale unui triunghi sunt mai mici decât două linii drepte (prop. 17); într-un triunghi, o latură mai mare este opusă unui unghi mai mare (prop. 18); două triunghiuri având două laturi egale, baza unuia este mai mare decât baza celeilalte dacă și numai dacă unghiul din partea de sus a primului este mai mare decât unghiul din partea de sus a celuilalt (prop. 24 și 25).
• Inegalitatea triunghiulară  : prop. 20 demonstrează inegalitatea triunghiulară

Aceste prime 26 de propoziții nu fac apel la cel de - al cincilea postulat al lui Euclid pe paralele. Nu același lucru este valabil și pentru propozițiile care urmează și care utilizează acest postulat.

• Proprietățile paralelelor . Dacă o linie care cade pe două linii face unghiuri alternative egale una cu cealaltă, aceste două linii vor fi paralele (prop. 27 și 28) și, invers, o linie care cade pe două paralele face ca unghiurile alternative să fie egale între ele (prop. 29). ). Liniile paralele cu aceeași linie sunt paralele între ele (prop. 30). Prop. 31 explică cum se construiește o paralelă cu o linie dată care trece printr-un punct dat.
• Suma unghiurilor unui triunghi. În Prop. 32 demonstrăm că suma unghiurilor unui triunghi este egală cu două drepturi.
• Proprietăți paralelogramă . Segmentele care unesc vârfurile a două segmente paralele de aceeași lungime sunt ele însele paralele și de aceeași lungime (prop. 33); laturile și unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt egale între ele și o diagonală îl împarte în două părți egale (prop. 34); două paralelograme, construite pe baze de aceeași lungime și între aceleași paralele, au aceeași zonă (prop. 35 și 36). Propunerile de la 42 la 45 explică cum se construiește un paralelogram cu o zonă egală cu cea a unui triunghi dat sau cu o zonă egală cu cea a unui poligon dat.
• Proprietățile triunghiurilor. Două triunghiuri cu aceeași bază au aceeași zonă dacă și numai dacă au aceeași înălțime (prop. 37 până la 40). Această zonă este la jumătate din paralelogramul corespunzător (prop. 41).
• Construirea unui pătrat . Este dat de prop. 46.
• Teorema lui Pitagora . Cartea I se încheie cu dovada acestei teoreme (prop. 47) și invers (prop. 48).

Bibliografie

• Les Œuvres d'Euclide , traducere de F. Peyrard, Paris (1819), nou tipărit de Jean Itard, Éditions Albert Blanchard (1993)
• Euclide ( trad.  Bernard Vitrac), Elementele [ detaliile edițiilor ]

linkuri externe

Documente online pe site-ul Gallica al BNF

• Cele cincisprezece cărți ale elementelor geometrice ale traducerii euclide a lui D. Henrion, 1632
• Elementele traducerii euclide a lui F. Peyrard, 1804