În matematică , ipoteza H a lui Schinzel este o generalizare foarte largă a conjecturilor, cum ar fi conjectura primă twin . Obiectivul său este de a da o condiție suficientă cât mai slabă posibilă asupra naturii unei familii de polinoame ireductibile f i ( x ) astfel încât să ia ca valori f i ( n ) numere prime simultan, pentru un număr întreg n arbitrar mare ; cu alte cuvinte, astfel încât să existe o infinitate de numere întregi n astfel încât pentru fiecare dintre ele, toate f i ( n ) să fie numere prime. Este o generalizare a conjecturii lui Bouniakovski , care privește o familie redusă la un singur polinom. Există o generalizare cantitativă, conjectura Bateman-Horn .
O astfel de presupunere trebuie să ia în considerare anumite condiții necesare . De exemplu, dacă luăm cele două polinoame x + 4 și x + 7, nu există n > 0 pentru care n + 4 și n + 7 sunt ambii primi. Acest lucru se datorează faptului că unul dintre cei doi va fi un număr par > 2, iar celălalt un număr impar . Problema principală în formularea conjecturii este evitarea acestui fenomen.
Acest lucru se poate face grație noțiunii de polinom întreg : spunem că un polinom cu valori întregi Q ( x ) are un divizor fix m dacă există un număr întreg m > 0 astfel încât Q ( x ) / m este, de asemenea, un număr întreg -polinom evaluat.
De exemplu, ( x + 4) ( x + 7) are un divizor fix egal cu 2.
Pentru Q ( x ) = Π f i ( x ), astfel de divizoare fixe trebuie evitate pentru orice presupunere, deoarece prezența lor contrazice posibilitatea ca f i ( n ) să fie toate numere prime, atunci când n ia valori mari.
Prin urmare, forma standard a Ipotezei H este:
Fie f i ( x ) o familie finită de polinoame cu coeficienți întregi, ireductibili și cu coeficienți dominanți pozitivi. Dacă produsul lor nu are un divizor prim fix, atunci există o infinitate de numere întregi n astfel încât toate f i ( n ) să fie simultane prime.Să menționăm exemplul simplu de x 2 + 1 care nu are divizor prim fix. Prin urmare, ne putem aștepta să existe o infinitate de numere prime de forma n 2 + 1. Dar această conjectură în sine, care face parte din problemele lui Landau , nu a fost dovedită.
Conjectura nu este probabil accesibilă cu metodele actuale ale teoriei numerelor analitice , dar acum este relativ utilizată pentru a dovedi rezultate condiționale (în) , de exemplu în geometria diofantină . Rezultatul conjectural pare atât de puternic în natură încât se poate dovedi a fi prea optimist.
Conjectura Goldbach nu este implicat de aceasta, ci printr - o variantă, H N ipoteza , citată în ciuruire Metode , de Halberstam și Richert (ro) . Acest lucru necesită un polinom suplimentar F ( x ), care în problema lui Goldbach ar fi pur și simplu x , pentru care cerem ca N - F ( n ) să fie și un număr prim.
Afirmația conjecturii este: dacă N este suficient de mare și dacă Q ( x ) ( N - F ( x )) nu are divizor fix > 1, atunci există n astfel încât N - F ( n ) să fie atât pozitiv, cât și prime și astfel încât f i ( n ) să fie toate prime.
Nu există multe cazuri rezolvate ale acestor presupuneri; dar există o teorie cantitativă detaliată ( conjectura Bateman-Horn ).
Conjectura analogă cu inelul de numere întregi înlocuită de inelul de polinoame cu o variabilă pe un câmp finit este falsă .
De exemplu, Richard Swan a observat în 1962 (din motive care nu au legătură cu ipoteza H) că polinomul x 8 + u 3 de pe inelul F 2 [ u ] este ireductibil și nu are un divizor prim (polinom) fix (valorile sale) În x = 0 și x = 1 sunt polinoame prime între ele), dar toate valorile sale când x traversează F 2 [ u ] sunt compuse.
Exemple similare pot fi găsite cu F 2 înlocuit cu orice câmp finit ; obstacolele într-o formulare corectă a Ipotezei H pe F [ u ], unde F este un câmp finit, nu mai sunt pur și simplu locale și apare o nouă obstrucție, fără paralelă clasică (dacă conjectura este adevărată în cazul clasic).
Andrzej Schinzel și Wacław Sierpiński , „ Despre anumite ipoteze referitoare la numerele prime ”, în Acta Arith. , zbor. 4, 1958, p. 185-208