Grupul Frieze

Un grup de frize , în matematică , este un subgrup al grupului de izometrii afine ale planului euclidian, astfel încât mulțimea traducerilor pe care le conține formează un grup izomorf al grupului ℤ al numerelor întregi relative . O friză este apoi o parte a planului astfel încât setul de izometrii care o lasă invariantă la nivel global este un grup de friză. De obicei, o friză este reprezentată de un model care se repetă periodic într-o direcție dată. Acest concept modelează frizele utilizate în arhitectură sau decorare.

Grupurile de friză sunt similare cu grupurile punctuale de simetrie , utilizate pentru placări ale planului sau în cristalografie . Putem arăta că există exact șapte grupuri de frize, până la izomorfism.

Posibile izometrii

Dacă t este un generator al grupului de traduceri ale grupului de friză considerat, direcția vectorului de traducere constituie o singură direcție privilegiată pentru friză, aceea în care modelul frizei se repetă periodic. Această direcție trebuie păstrată în orice izometrie păstrând friza, astfel încât singurele izometrii posibile să fie:

traducerile paralele cu această direcție
o singură axă reflectă această direcție. Dacă ar exista două astfel de simetrii, compusul lor ar fi o traducere a direcției ortogonale către direcția inițială, care este exclusă prin ipoteză. $\ Sigma$
alunecat reflecții , compuse din reflecția anterioară cu o traducere.
reflexiile axei ortogonale la direcția frizei
a rotațiile plane ale unei jumătate de tură (sau simetriile centrale ). Centrele acestor rotații sunt aliniate pe o linie paralelă cu direcția frizei. Într-adevăr, compusul a două astfel de rotații distincte este o translație a cărei direcție este cea a unei linii drepte care leagă centrele celor două rotații.

Cele șapte grupuri de frize

Cu excepția izomorfismului, există doar șapte grupuri de frize. Le putem determina luând în considerare părțile generatoare ale acestor grupuri de cardinalitate crescândă.

Notațiile pentru a le desemna sunt cele utilizate în cristalografie, unde sunt luate în considerare izometriile spațiului ( notația Hermann-Mauguin ). Patru litere sunt folosite pentru aceasta. Friza se presupune că este conținută în planul xy ortogonal față de axa z , iar direcția traducerilor care lasă frisa invariantă se presupune a fi x . Prima literă, p , desemnează traducerile de-a lungul axei x . Fiecare dintre următoarele trei litere indică natura izometriilor utilizate în raport cu axa x , y și respectiv z . Această literă este m dacă grupul are o reflecție inversând axa considerată (care poate fi x sau y ), a dacă este o reflecție glisantă (inversând axa y ), 1 dacă nu se utilizează nicio izometrie n 'în afară de identitate și 2 dacă este un viraj în U (numai de-a lungul axei z ).

Grupuri de frize generate de o izometrie

Acestea sunt :

1) p111 : grupul generat de traducerea t . Acest grup este izomorf pentru . $\ mathbb {Z}$

2) p1a1 : Grupul generat de reflexia alunecată . Compusul acestei reflecții alunecat cu el însuși dă din nou traducerea t . Acest grup este izomorf pentru . $\ Sigma \ circ t / 2$ $\ mathbb {Z}$

Grupuri generate de două izometrii

Acestea sunt :

3) p1m1 : grupul generat de traducerea t și de reflecție . Aceste două izometrii fac naveta. Grupul este izomorf pentru produsul direct , traducerile jucând rolul elementelor și generând un grup cu două elemente izomorf . $\ Sigma$ ${\ mathbb Z} \ times {\ mathbb Z} / 2 {\ mathbb Z}$ $\ mathbb {Z}$ $\ Sigma$ ${\ mathbb Z} / 2 {\ mathbb Z}$

4) pm11 : Grupul generat de traducerea t și o reflecție ortogonală către direcția frizei. Compozitul acestor două izometrii este o reflexie a cărei axă este tradusă de t / 2 în comparație cu axa inițială. Acest grup este izomorf pentru produsul semidirect . Este alcătuit, pentru n și p numere întregi relative, din traducerile vectorului nt pe care le vom nota prin cuplu și din reflexiile față de o axă tradusă de pt / 2 față de o axă de referință și pe care le vom reprezintă prin cuplu . Regula compoziție izometrie este apoi scris sub forma , , și care este rezumată prin formula unică , sau r și s sunt 1 sau -1. ${\ mathbb Z} \ rtimes {\ mathbb Z} / 2 {\ mathbb Z}$ $(n, 1)$ $(p, -1)$ $(n, 1) (p, 1) = (n + p, 1)$ $(n, 1) (p, -1) = (n + p, -1)$ $(n, -1) (p, 1) = (np, -1)$ $(n, -1) (p, -1) = (np, 1)$ $(n, r) (p, s) = (n + rp, rs)$

5) p112 : grupul generat de traducerea t și o jumătate de tură. Acest grup este, de asemenea, izomorf pentru produsul semi-direct . Avem aceleași reguli ca mai sus, dar de data aceasta notând virajul în U al cărui centru este tradus prin pt / 2 în raport cu un centru de referință. ${\ mathbb Z} \ rtimes {\ mathbb Z} / 2 {\ mathbb Z}$ $(p, -1)$

6) pma2 : grupul generat de o reflecție ortogonală către direcția frizei și reflexia alunecată . Combinația celor două dă o întoarcere în U, dar centrul căruia se traduce prin - t / 4 în raport cu intersecția axelor celor două simetrii. Acest grup este, de asemenea, izomorf pentru produsul semi-direct . Avem aceeași regulă ca mai sus, dar de data aceasta menționând traducerile nt , compusul , jumătățile de rotație al căror centru este tradus de la un centru O de referință și reflexiile axei ortogonale la direcția frisei și trecând prin punct . $\ Sigma \ circ t / 2$ ${\ mathbb Z} \ rtimes {\ mathbb Z} / 2 {\ mathbb Z}$ $(n, r) (p, s) = (n + rp, rs)$ $(2n, 1)$ $(2n + 1.1)$ $\ Sigma \ circ (n + 1/2) t$ $(2p + 1, -1)$ ${\ frac {2p + 1} {4}} t$ $(2p, -1)$ $O + {\ frac {p} {2}} t$

Putem verifica dacă orice alt grup de friză generat de două izometrii dă din nou grupurilor anterioare.

Grup generat de trei izometrii

7) pmm2 : Grupul generat de translația t , o reflecție ortogonală către direcția frizei și reflexia , aceasta din urmă permutând cu cele două precedente. Compusul celor două reflexii dă o jumătate de rotație a centrului intersecția celor două axe de simetrie. Acest grup este izomorf pentru . Un triplet ( s , n , r ) permite să reprezinte o izometrie a acestui grup, elementul e al dacă reflecția a fost aplicată sau nu, iar perechea ( n , r ) elemente care să indice orice traducere și reflecție ortogonale sunt utilizate . $\ Sigma$ ${\ mathbb Z} / 2 \ times ({\ mathbb Z} \ rtimes {\ mathbb Z} / 2 {\ mathbb Z})$ ${\ mathbb Z} / 2$ $\ Sigma$ ${\ mathbb Z} \ rtimes {\ mathbb Z} / 2 {\ mathbb Z})$

Grupuri de frize din istoria artei

Găsim apariții ale celor șapte grupuri de frize din Antichitate, în special pe ceramica mesopotamiană și greacă.

Grupuri de panglici

Grupurile de panglici sunt o generalizare a grupurilor de frize. O panglică este o friză imprimată pe ambele fețe. În raport cu izometriile care apar în grupurile de friză, sunt autorizate și următoarele izometrii:

O reflecție față de planul xy , posibil compusă dintr-o traducere a vectorului t / 2 pentru a obține o reflexie alunecată. Aceste izometrii inversează axa z .
O jumătate de rotație a axei x , posibil compusă dintr-o translație a vectorului t / 2 pentru a obține o strângere . În notațiile care urmează, o astfel de înșurubare va fi desemnată prin simbolul 2 1 .
Simetriile centrale, compuse dintr-o reflecție și o jumătate de rotație a axei ortogonale față de planul reflecției. Aceste simetrii centrale sunt desemnate prin simbol . $\ overline {1}$

Există apoi exact 31 de grupuri de panglici. Tabelul de mai jos le clasifică ca o funcție a grupului liniar format din izometriile vectoriale asociate cu izometriile afine ale grupului de benzi considerat. Folosim convențiile notaționale utilizate pentru grupuri de frize. Atunci când o întoarcere în U și o reflexie sunt utilizate simultan în raport cu aceeași axă, acestea sunt simbolizate prin notația 2 / m (sau 2 / a dacă este o reflexie alunecată sau 2 1 / m s 'este o înșurubare).

Se pare că în aceste grupuri axele y și z joacă roluri similare. Găsim în special grupurile de frize ale planului xy și grupurile de frize ale planului xz .

Grupuri de panglici

Grup liniar asociat	Nume grup panglică	Izometrii particulare ale grupului de panglici
1 (sau Id)	p111	numai traduceri
$\ overline {1}$ (Da D)	p $\ overline {1}$	simetrii centrale
2 (grup generat de un viraj invers)	p211 sau p2 1 11 sau p121 sau p112	înșurubare la jumătate de rotație sau axa x
m (grup generat de o reflecție)	pm11 sau p1m1 sau p1a1 sau p11m sau p11a	reflexiile sau reflexia au alunecat din plan ortogonal spre y sau z
2 / m (grup generat de o jumătate de tură și reflexia în raport cu planul ortogonal față de axa acestei jumătăți de tură)	p2 / m11 sau p2 1 / m11 sau p12 / m1 sau p12 / a1 sau p112 / m sau p112 / a	Întoarcerile și reflecțiile în U sau întoarcerile în U și reflexia au alunecat din planul ortogonal către axa y sau z a acestor întoarceri în U
222 (grup generat de semiroturi în raport cu fiecare axă)	p222 sau p2 1 22	jumătăți de rotație față de fiecare axă sau jumătăți de viraj ale axei y și z și înșurubarea axei x
2mm (grup generat de reflexii comparativ cu planurile ortogonale cu două axe și jumătate de rotație a axei intersecția celor două planuri)	p2mm sau p2 1 am sau p2 1 ma sau p2aa sau pm2m sau pm2a sau pmm2 sau pma2	reflexii cu privire la planurile ortogonale cu două axe și jumătate de rotație a axei intersecția celor două planuri, sau reflexie glisantă și înșurubare corespunzătoare
mmm (grup generat de reflecții față de planurile ortogonale cu trei axe. Acest grup conține, de asemenea, jumătăți de rotație față de trei axe. Acestea sunt omise în notație pentru a nu o cântări	pmmm sau pmam sau pmma sau pmaa	reflecții din planuri ortogonale pe trei axe sau reflecții de alunecare; jumătăți de rotație corespunzătoare sau conexiuni cu șurub.

Articole similare

Bibliografie

(ro) HSM Coxeter , Introducere în geometrie [ detaliile edițiilor ]
Jean Sivardière , Simetrie în matematică, fizică, chimie , Grenoble, PUG , col. „Științe Grenoble”,1 st aprilie 1995, 880 p. ( ISBN 2-7061-0606-9 și 978-2-7061-0606-4 , OCLC 32619833 , notificare BnF n o FRBNF35779988 )
Henri Bacry ( pref. Alain Connes), Simetrie în toate statele sale , Paris, Vuibert ,2000, 447 p. ( ISBN 2-7117-5267-4 și 978-2-7117-5267-6 , OCLC 45969756 , notificare BnF n o FRBNF37218851 )Această carte are un capitol despre cele șapte tipuri de frize (dar fără grupuri).

Referințe

Mickaël Launay , Marele roman matematic , Paris, Flammarion,2016, 316 p. ( ISBN 978-2-290-14180-9 ) , cap. 1 („Matematicieni în ciuda lor”), p. 16-20.