Formula lui Moivre

Formula Moivre prevede că pentru orice număr real $x$ și orice număr întreg relativ $n$ :

\ left (\ cos x + {\ mathrm i} \ sin x \ right) ^ {n} = \ cos (nx) + {\ mathrm i} \ sin (nx) \ quad (1)

Numărul i denotă unitatea imaginară , adică alegerea unei rădăcini pătrate de –1. Este numit după matematicianul francez Abraham de Moivre , care a folosit o formulă relativ similară în scrierile sale.

Această formulă raportează numere complexe și funcțiile trigonometrice ale cosinusului și sinusului . Uneori formula este rescrisă prin înlocuirea „ $cos ( x ) + i sin ( x )$ ” cu „ $exp (i x )$ ”. Aceasta este formula lui Euler . Ridicând cei doi membri ai acestei formule la puterea lui $n$ , dovedim direct formula lui Moivre. Prin urmare, este o dovadă mult mai simplă decât proba prin inducție dată mai jos.

Interpretarea geometrică

Pentru $x$ real, egalitatea „ $cos 2 x + sin 2 x = 1$ ” implică faptul că numărul complex „ $z = cos ( x ) + i sin ( x )$ ” are un modul egal cu 1 . În planul Argand , numerele complexe ale modulului 1 formează cercul C cu centrul O și raza 1 (cercul unitar). În special, punctul M al afix $z$ aparține C . Dacă M este punctul afixului 1 , unghiul (OI, OM) măsoară $x$ radiani . Formula lui Moivre afirmă că $z n$ este afixul punctului N al lui C astfel încât unghiul orientat (OI, ON) măsoară $nx$ radiani .

Formula lui Moivre se bazează pe un rezultat mai general privind interpretarea geometrică a produsului numerelor complexe: dacă $z$ și $w$ sunt două numere complexe ale modulului 1 , plasăm punctele M și N cu afixele respective $z$ și $w$ și obținem $zw$ ca afixul punctului P al lui C astfel încât (OI, OP) = (OI, OM) + (OI, ON) . Apoi avem formula generală:

\ left (\ cos x + {\ mathrm i} \ sin x \ right) \ left (\ cos y + {\ mathrm i} \ sin y \ right) = \ left (\ cos (x + y) + {\ mathrm i} \ sin (x + y) \ right) \ quad (2)

Istoric

Forma comună a formulei apare în Introducerea analizei infinitezimale a lui Euler care demonstrează, pentru orice număr natural $n$ , în 1748. Dar apare atât de implicit în Abraham de Moivre în mod repetat din 1707 în lucrarea sa despre $n$ -a rădăcinile numerelor complexe . Cele două probleme sunt legate efectiv: scris ca $(cos x + i sin x ) n = cos ( nx ) + sin i ( nx )$ este echivalent cu a spune că $cos x + sin i x$ este una dintre cele $n$ -lea rădăcinile din cele complex $cos ( nx ) + i sin ( nx )$ .

Demonstrație...

din formula (2)

Pentru toate $x$ și $y$ reale, avem:

\ left (\ cos x + {\ mathrm i} \ sin x \ right) \ left (\ cos y + {\ mathrm i} \ sin y \ right) = \ left (\ cos x \ cos y- \ sin x \ sin y \ right) + {\ mathrm i} \ left (\ sin x \ cos y + \ cos x \ sin y \ right)

Aur,

{\ displaystyle \ cos (x + y) = \ left (\ cos x \ cos y- \ sin x \ sin y \ right) \ quad \ mathrm {et} \ quad \ sin (x + y) = \ left ( \ sin x \ cos y + \ cos x \ sin y \ right)}

Prin urmare,

\ left (\ cos x + {\ mathrm i} \ sin x \ right) \ left (\ cos y + {\ mathrm i} \ sin y \ right) = \ cos (x + y) + {\ mathrm i} \ sin (x + y)

Formula (2) este deci stabilită.

din formula (1)

Mai întâi dovedim (1) pentru $n > 0$ prin inducție pe $n$ .

Pentru $n = 1$ , formula este adevărată.
Fie $k$ un număr întreg diferit de zero. Să presupunem că formula este adevărată pentru $k$ . Asa de,

\ left (\ cos x + {\ mathrm i} \ sin x \ right) ^ {k} = \ cos (kx) + {\ mathrm i} \ sin (kx)

Care dau:

{\ begin {alignat} {2} \ left (\ cos x + {\ mathrm i} \ sin x \ right) ^ {{k + 1}} & = \ left (\ cos x + {\ mathrm i} \ sin x \ right) ^ {{k}} \ left (\ cos x + {\ mathrm i} \ sin x \ right) \\ & = \ left [\ cos \ left (kx \ right) + {\ mathrm i } \ sin \ left (kx \ right) \ right] \ left (\ cos x + {\ mathrm i} \ sin x \ right) \ end {alignat}}

Prin formula (2), vine:

\ left (\ cos x + {\ mathrm i} \ sin x \ right) ^ {{k + 1}} = \ cos ((k + 1) x) + {\ mathrm i} \ sin ((k + 1 ) x)

Deducem că formula este adevărată la rangul $k + 1$ .

Din principiul inducției, rezultă că formula este adevărată pentru toate numerele întregi naturale care nu sunt zero.

Când $n = 0$ , formula este adevărată deoarece $cos (0 x ) + i sin (0 x ) = 1 + i \times 0 = 1$ și, prin convenție, $z 0 = 1$ .

Când $n <0$ , considerăm un număr natural strict pozitiv $m$ astfel încât $n = - m$ . Asa de

{\ begin {alignat} {2} \ left (\ cos x + i \ sin x \ right) ^ {{n}} & = \ left (\ cos x + {\ mathrm i} \ sin x \ right) ^ {{-m}} \\ & = {\ frac {1} {\ left (\ cos x + {\ mathrm i} \ sin x \ right) ^ {{m}}}} \\ & = {\ frac {1} {\ left (\ cos mx + {\ mathrm i} \ sin mx \ right)}} \\ & = \ cos \ left (mx \ right) - {\ mathrm i} \ sin \ left (mx \ dreapta) \ \ & = \ cos \ left (-mx \ right) + {\ mathrm i} \ sin \ left (-mx \ right) \\ & = \ cos \ left (nx \ right) + {\ mathrm i } \ sin \ left (nx \ right). \ end {alignat}}

Astfel teorema este adevărată pentru toate numerele întregi relative $n$ , cqfd .

Utilizările formulei lui Moivre

Această formulă este folosită pentru a găsi puterile n - lea de numere complexe în formă trigonometrice:

z ^ {n} = r ^ {n} (\ cos (nx) + {\ mathrm i} \ sin (nx) \,)

precum și pentru a obține formele $cos ( nx )$ și $sin ( nx )$ în funcție de $sin ( x )$ și $cos ( x )$ .

De exemplu, pentru a avea $cos (2 x )$ și $sin (2 x )$ , suntem egali:

(\ cos (x) + {\ mathrm i} \ sin (x)) ^ {2} = \ cos (2x) + {\ mathrm i} \ sin (2x) \

Avem :

\ cos ^ {2} (x) +2 \ cos (x) \ sin (x) {\ mathrm i} - \ sin ^ {2} (x) \,

= \ cos (2x) + {\ mathrm i} \ sin (2x) \,

Identificăm părțile reale și imaginare, pentru a obține următoarele două egalități:

\ cos (2x) = \ cos ^ {2} (x) - \ sin ^ {2} (x) \,

\ sin (2x) = 2 \ cos (x) \ sin (x) \,

Avem astfel formule trigonometrice pentru duplicare.

Polinoame Chebyshev

Formula lui Moivre oferă:

{\ displaystyle \ cos (nx) + \ mathrm {i} \ sin (nx) = {\ left (\ cos x + \ mathrm {i} \ sin x \ right)} ^ {n} = \ sum _ {p = 0} ^ {n} {n \ alege p} \ cos ^ {np} (x) \ mathrm {i} ^ {p} \ sin ^ {p} (x)}

Luând partea reală și setând $p = 2 k$ , se obține:

\ cos (nx) = T_ {n} (\ cos x)

unde $T n$ este un polinom de grad $n$ , numit polinom Chebyshev.

T_ {n} (X) = \ sum _ {{0 \ leq 2k \ leq n}} {n \ alege 2k} (- 1) ^ {k} X ^ {{n-2k}} (1-X ^ {2}) ^ {k}

Note și referințe

Note

Se numește uneori „formula lui Moivre” pentru a te apropia de Formula engleză a lui De Moivre sau de formula consacrată a lui De Moivre . Pe de altă parte, utilizarea în mod clar predominantă în Franța și în țările vorbitoare de franceză, în special în educație, este „formula Moivre”, deoarece nicio constrângere tipografică nu necesită ca particula să apară „în fața numelor unei silabe, a numelor a două silabe cu un sfârșit silențios și nume care încep cu o vocală sau un h tăcut ”, după cum amintesc recomandările pentru convențiile tipografice derivate din Lexiconul regulilor tipografice utilizate la Imprimerie Națională la p. 137 ; un extras din acestea poate fi găsit pe pagina de discuții a acestui articol .

Referințe

Leonhard Euler , Introductio in analysin infinitorum , vol. 1 , cap. 8 („De quantitatibus transcendentibus ex circulo ortis”), § 133.
Declarație mai mult decât demonstrată conform Flament 2003 , p. 61.
Schneider 1968 , p. 250.
Din 1707 în Tranzacțiile filozofice , nr . 309, art. 3, Soluții analitice ale unor ecuații ale puterii a 3- a , a 5- a , a 7- a și a puterii superioare ( previzualizare pe Google Books ) și în 1730 în Miscellanea Analytica , Londra, p. 1-2 și în Tranzacțiile filozofice din 1738, nr . 451, numărul III ( previzualizare pe Google Books ).

Bibliografie

Dominique Flament , Istoria numerelor complexe: între algebră și geometrie , CNRS Édition,2003
David E. Smith , O carte sursă în matematică , vol. 3, publicația Courier Dover,1959
Ivo Schneider , „ Der Mathematiker Abraham de Moivre (1667 - 1754) ”, Arhiva pentru Istoria Științelor Exacte ,31 decembrie 1968, p. 177-317