Formă diferențială exactă

În analiză , se spune că o formă diferențială este exactă (sau totală) dacă există o formă diferențială a cărei derivată externă , adică dacă este posibilă integrarea acesteia . În rezumat, o formă diferențială $ω$ este exactă dacă există o formă Q astfel încât

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ omega = Q (b) -Q (a)}

, independent de calea de integrare de la

a

b

Conform teoremei lui Schwarz , orice formă exactă a clasei C 1 este închisă . Lema de Poincaré oferă o reciprocă parțială.

Caz de 1-forme

A 1-formă $ω$ definită pe un deschis $U$ este exact dacă există un diferențiabilă funcția $F$ pe $U$ astfel încât $ω = d F în$ alte cuvinte: în cazul în care câmpul vectorial prin care $ω$ este produsul scalar este un gradient de câmp .

În termodinamică, când o diferențială 1-formă $ω$ este exactă, deci de forma $d F$ , funcția $F$ este o funcție de stare a sistemului. Funcțiile termodinamice energia internă $U$ , entropia $S$ , entalpia $H$ , energia liberă $F$ sau $A$ și entalpia liberă $G$ sunt funcții de stare . De obicei , nici de lucru $W$ , nici căldură $Q$ sunt funcții de stat.

Conform lemei lui Poincaré , pe o deschidere conectată pur și simplu , o formă diferențială 1 a clasei C 1 este exactă dacă (și numai dacă) este închisă.

Referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Exact diferențial ” ( vezi lista autorilor ) .
(ro) P. Perrot, A to Z of Thermodynamics , New York, Oxford University Press , 1998
(in) D. Zill, un prim curs în Ecuații diferențiale , 5 th ed., Boston, PWS-Kent Publishing 1993

linkuri externe

(ro) Eric W. Weisstein , „ Exact Differential ” , pe MathWorld
(ro) Eric W. Weisstein , „ Inexact Differential ” , pe MathWorld
(ro) Diferențiale exacte și inexacte pe site-ul WR Salzman, în Departamentul de Chimie, Universitatea din Arizona
( fr ) Diferențiale exacte și inexacte pe site-ul lui Richard Fitzpatrick, profesor de fizică la Universitatea Texas din Austin