Funcția hipergeometrică confluentă

Funcția hipergeometrică confluentă (sau funcția lui Kummer ) este: unde denotă simbolul Pochhammer . ${\ displaystyle _ {1} F_ {1} (a; c; z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {n}} {(c) _ { n}}} {\ frac {z ^ {n}} {n!}}}$ ${\ displaystyle (a) _ {n}}$

Este soluția ecuației diferențiale de ordinul doi :

{\ displaystyle z {\ frac {d ^ {2} u (z)} {dz ^ {2}}} + (cz) {\ frac {du (z)} {dz}} - to (z) = 0 }

Funcțiile Bessel , funcția gamma incompletă , funcțiile cilindrului parabolic (în) sau polinoamele Hermite și polinomii Laguerre pot fi reprezentate folosind funcții hipergeometrice confluente (cf. Slater). Whittaker a introdus funcții și care sunt, de asemenea, legate de funcții hipergeometrice confluente. ${\ displaystyle M _ {\ mu, \ nu} (z)}$ ${\ displaystyle W _ {\ mu, \ nu} (z)}$

Rezolvarea ecuației diferențiale

Ecuația poate fi rezolvată folosind metoda Frobenius , alegem ansatz: ${\ displaystyle z {\ frac {d ^ {2} u (z)} {dz ^ {2}}} + (cz) {\ frac {du (z)} {dz}} - to (z) = 0 }$

{\ displaystyle u (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {a_ {n} z ^ {n + r}}, \ qquad (a_ {0} \ neq 0), r \ în \ mathbb {R}.}

Urmează ecuația:

{\ displaystyle z ^ {r} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} [\ left ((n + r) (n + r-1) + c (n + r) \ dreapta) z ^ {n-1} - \ left ((n + r) + a \ right) z ^ {n}] = 0}

cine devine

{\ displaystyle z ^ {r-1} a_ {0} rc + z ^ {r} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n + 1} [\ left ((n + r + 1) (n + r) + c (n + r + 1) \ right) z ^ {n}] - a_ {n} \ left ((n + r) + a \ right) z ^ {n} = 0 }

Deoarece coeficientul din față nu poate fi anulat de un membru al sumei, acesta trebuie să fie zero, deci constatăm că . Prin urmare, putem găsi o relație de recurență între coeficienți: ${\ displaystyle z ^ {r-1}}$ ${\ displaystyle r = 0}$

{\ displaystyle a_ {n + 1} = {\ frac {a_ {n} (n + a)} {(n + 1) (n + c)}}}

Alegem și găsim de exemplu: ${\ displaystyle a_ {0} = 1}$

{\ displaystyle a_ {1} = {\ frac {a} {c}} \ quad a_ {2} = {\ frac {a (a + 1)} {2c (c + 1)}} \ quad a_ {3 } = {\ frac {a (a + 1) (a + 2)} {6c (c + 1) (c + 2)}} \ quad ... \ quad a_ {n} = {\ frac {(a ) _ {n}} {(c) _ {n} n!}}}

și în cele din urmă care este funcția hipergeometrică. ${\ displaystyle u (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {n}} {(c) _ {n}}} {\ frac {z ^ { n}} {n!}}}$

Bibliografie

Edmund Taylor Whittaker , O expresie a anumitor funcții cunoscute ca funcții hipergeometrice generalizate , Bull. Amar. Matematica. Soc. Volumul 10, numărul 3 (1903), 125-134.
Lucy Joan Slater , Funcții hipergeometrice confluente în Manualul funcțiilor matematice , M. Abramowitz și I. Stegun (eds.) P. 503 (Biroul de tipărire al guvernului SUA, Washington, 1964)
Francesco Giacomo Tricomi (ro) , Funcții hipergeometrice confluente , Memorialul științelor matematice, nr. 140 (Gauthier-Villars, 1960)

Vezi și tu