Funcția de transfer optic

Funcția de transfer optic sau FTO a unui sistem optic este o funcție complexă care leagă luminanța spațiului obiectului de iluminarea spațiului de imagine. Face posibilă modelarea influenței sistemului optic asupra distribuției energiei luminoase în spațiul imaginii.

Funcția de transfer optic este adesea luată în considerare numai în planurile obiectelor și în imaginile conjugate, dar este tridimensională în cazul general. Această funcție complexă este descompusă într-o amplitudine numită funcția de transfer de modulație și o fază numită funcția de transfer de fază .

Funcția de transfer de modulație sau MTF este o funcție care face posibilă caracterizarea capacității sistemului optic de a restabili contrastul în funcție de finețea detaliilor obiectului; cu alte cuvinte, capacitatea sa de a transmite frecvențele spațiale ale obiectului. Este folosit pentru a evalua calitatea sistemului optic, în special în fotografie și cinematografie .

Funcția de transfer de fază caracterizează schimbările de fază introduse de sistemul optic. Apare mai ales în câmpul apropiat, în ipoteza unei difracții Fresnel.

Noțiunea de funcție de transfer optic are analogi în alte domenii ale fizicii , în special în electronică și acustică .

Definiție

Sistemul optic formează imaginea unui obiect plan în planul imaginii.

Notăm prin:

${\ displaystyle M_ {o} (a, b)}$ distribuirea ieșirii în direcția pupilei de intrare a sistemului optic în planul obiectului;
${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (a, b, x, y)}$ funcția point spread ( „ funcție point spread “ , în limba engleză), sau un răspuns puls spațial, adică distribuția iluminării unui obiect punct luminos situat ; $(a, b)$
${\ displaystyle E_ {i} (x, y)}$ distribuția iluminării primite în planul imaginii.

Prin intermediul câtorva ipoteze, incluzând invarianța sistemului optic și incoerența luminii emise de sursă, le putem raporta după cum urmează și dezvăluie un produs de convoluție :

{\ displaystyle E_ {i} (x, y) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} {\ mathcal {H}} (xa, yb) \, M_ {o} (a, b) \, \ mathrm {d} a \, \ mathrm {d} b}

{\ displaystyle E_ {i} (x, y) = ({\ mathcal {H}} * M_ {o}) (x, y)}

În acest caz, dacă efectuăm o transformare Fourier , putem scrie

{\ displaystyle {\ hat {E}} _ {i} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) \, {\ hat {M}} _ {o} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y})}

${\ displaystyle \ nu _ {x}}$ și sunt frecvențele spațiale verticale și orizontale ale imaginii formate; ${\ displaystyle \ nu _ {y}}$
${\ displaystyle \ nu _ {a}}$ și sunt frecvențele spațiale verticale și orizontale ale obiectului; ${\ displaystyle \ nu _ {b}}$
${\ displaystyle {\ hat {E}} _ {i} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ mathcal {F}} (E_ {i} (x, y))}$ reprezintă distribuția iluminării în funcție de frecvențele spațiale;
${\ displaystyle {\ hat {M}} _ {o} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ mathcal {F}} (M_ {0} (a, b))}$ reprezintă distribuția ieșirii în funcție de frecvențele spațiale;
${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ mathcal {F}} ({\ mathcal {H}} (x, y) )}}$ este funcția de transfer optic (FTO): în acest caz este transformata Fourier a funcției de răspândire punctuală .

Această funcție poate fi rescrisă pentru a implica un termen de amplitudine și un termen de fază în funcție de unde: ${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ mathcal {M}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y }) \, \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {j} \ Phi (\ nu _ {x}, \ nu _ {y})}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = \ left \ vert {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) \ right \ green}$ este funcția de transfer optic (MTF, sau " modularea funcției de transfer " MTF, engleză), modul OTF;
${\ displaystyle \ Phi (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = \ arg \ left ({\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y }) \ dreapta)}$ este funcția de transfer de fază (FTP), argument al FTO.

Funcția de transfer optic normalizat are o valoare unitară pentru zero frecvențe spațiale.

Detalii despre ipotezele utilizate pentru a obține relația

Notăm prin distribuția ieșirii în planul obiectului. Pentru ieșire ca și pentru celelalte cantități din cele ce urmează, poate fi vorba de cantități fotometrice, precum și de cantități de energie. ${\ displaystyle M_ {o} (a, b)}$

Ipoteza 1: obiectul ar trebui să fie o sursă ortotropă, astfel încât ieșirea sa de lumină în direcția pupilei de intrare a sistemului optic să fie proporțională cu luminanța sa, conform legii lui Lambert .

Planul de imagine este descompus în suprafețe elementare care emit în direcția pupilei de intrare a sistemului optic. Unghiul solid elementar este în cazul în care este distanța dintre punctele și și un element de suprafață al elevului. Fluxul elementar emis de un element de suprafață al planului obiectului în unghiul solid elementar este exprimat:

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} S_ {o} = \ mathrm {d} a \, \ mathrm {d} b}

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Omega _ {l} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} S_ {l} \ cos \ theta} {\ delta _ {o} ^ { 2}}}}

{\ displaystyle \ delta _ {o}}

{\ displaystyle (a, b)}

{\ displaystyle (X, Y)}

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} S_ {l}}

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Omega _ {l}}

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {4} \ Phi _ {o} (a, b, X, Y) = \ mathrm {d} ^ {2} I_ {o} (a, b) \, \ mathrm {d} ^ {2} \ Omega _ {l} (a, b, X, Y) = L_ {o} (a, b) \, \ cos \ theta \ \ mathrm {d} ^ {2} S_ { o} \, \ mathrm {d} ^ {2} \ Omega _ {l} (a, b, X, Y) = \ mathrm {d} ^ {2} M_ {o} (a, b, X, Y ) \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {o}}

unde este unghiul dintre raza și normalul față de diferitele planuri studiate. $\ theta$

Ipoteza 2: obiectul și imaginea sunt mici în comparație cu distanța . ${\ displaystyle D_ {o}}$

Se pot neglija variațiile factorului care va fi luat egal cu 1, ceea ce înseamnă a neglija fenomenul vignetării naturale care se manifestă printr-o întunecare a imaginii atunci când se îndepărtează de axa optică. În plus, poate fi luată distanța dintre planul obiectului și pupilă. Deci, unghiul solid care îmbrățișează elevul:

\ cos \ theta

{\ displaystyle \ delta _ {o} \ simeq D_ {o}}

{\ displaystyle \ Omega _ {l} = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {l}} d ^ {2} \ Omega _ {l} (a, b, X, Y) = {\ frac {S_ {l}} {D_ {o} ^ {2}}}}

Astfel, fluxul elementar de la spre deschiderea pupilei de intrare este $(a, b)$

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Phi _ {o} (a, b) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {l}} d ^ {4} \ Phi _ {o} (a, b, X, Y)}

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Phi _ {o} (a, b) = L_ {o} (a, b) \, \ Omega _ {l} \, \ mathrm {d} ^ { 2} S_ {o} = M_ {o} (a, b) \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {o}}

Când trece prin sistemul optic, majoritatea fluxului iese din sistemul optic în direcția punctului de imagine determinat în mod obișnuit în condițiile stigmatismului aproximativ prevăzut de ipoteza 2. Dar o parte din flux nu converge spre acest punct deoarece a difracției (imposibil de corectat) și a aberațiilor sistemului optic. Distribuția iluminării primite de o suprafață elementară a planului de imagine se obține prin intermediul răspunsului la impuls spațial al sistemului optic, adică al comportamentului său în fața unui obiect punct. este numită

și funcția de răspândire a punctelor , care este mai picturală. Fluxul elementar primit de un element de suprafață al planului de imagine provenind de la o suprafață elementară a planului obiect este:

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (a, b, x, y)}

{\ mathcal H}

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {4} \ Phi _ {i} (a, b, x, y) = {\ mathcal {H}} (a, b, x, y) \, \ mathrm {d } ^ {2} \ Phi _ {o} (a, b) = {\ mathcal {H}} (a, b, x, y) \, M_ {o} (a, b) \, \ mathrm {d } ^ {2} S_ {0} \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {i} = \ mathrm {d} ^ {2} E_ {i} (a, b, x, y) \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {i}}

Ipoteza 3: sistemul optic nu absoarbe fluxul luminos : este perfect transparent.

Nu există flux absorbit și

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Phi _ {o} (a, b) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {i}} \ mathrm {d} ^ { 4} \ Phi _ {i} (a, b, x, y) = \ int \! \! \! \! \ Int _ {S_ {i}} \ mathrm {d} ^ {2} E_ {i} (a, b, x, y) \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {i}}

Ipoteza 4: elementele de suprafață ale planului obiect emit lumini incoerente, adică care nu interferează între ele.

Fluxul total primit de un element de suprafață al imaginii este suma fluxurilor elementare:

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Phi _ {i} (x, y) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} \ mathrm {d} ^ { 4} \ Phi _ {i} (a, b, x, y) = \ int \! \! \! \! \ Int _ {S_ {o}} {\ mathcal {H}} (a, b, x , y) \, M_ {o} \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {o} \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {i} = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} \ mathrm {d} ^ {2} E_ {i} (a, b, x, y) \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {i}}

{\ displaystyle E_ {i} (x, y) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} \ mathrm {d} ^ {2} E_ {i} (a, b, x, y) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {4} \ Phi _ {i}} {\ mathrm {d} ^ {2} S_ {i}}} = \ int \! \! \! \! \ Int _ {S_ {o}} {\ mathcal {H}} (a, b, x, y) \, M_ { o} (a, b) \, \ mathrm {d} ^ {2} S_ {o}}

{\ displaystyle E_ {i} (x, y) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} {\ mathcal {H}} (a, b, x, y) \, M_ {o} (a, b) \, \ mathrm {d} a \, \ mathrm {d} b}

Ipoteza 5: sistemul este invariant în spațiu, adică o deplasare a obiectului în planul obiectului are ca rezultat o deplasare a imaginii în planul imaginii.

Apoi, răspunsul la impuls depinde numai de diferența dintre poziția proiectată și poziția centrală a imaginii formate: . De fapt, în cazul unui punct obiect , majoritatea fluxului converge către un punct de imagine în timp ce o parte este răspândită în vecinătatea sa mai mult sau mai puțin apropiată.

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (a, b, x, y) = {\ mathcal {H}} (x + \ gamma _ {t} a, y + \ gamma _ {t} b)}

{\ displaystyle (a, b)}

{\ displaystyle (\ gamma _ {t} a, \ gamma _ {t} b)}

Stabilim și apoi introducem o distribuție fictivă corespunzătoare imaginii ideale (inclusiv fără difracție) . ${\ displaystyle a '= - \ gamma _ {t} a}$ ${\ displaystyle b '= - \ gamma _ {t} b}$ ${\ displaystyle E_ {o} (a ', b') = {\ frac {1} {\ gamma _ {t} ^ {2}}} M_ {o} (a, b)}$

{\ displaystyle E_ {i} (x, y) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} {\ mathcal {H}} (x-a ', y-b') \, E_ {o} (a ', b') \, \ mathrm {d} a '\, \ mathrm {d} b'}

{\ displaystyle E_ {i} (x, y) = ({\ mathcal {H}} * E_ {o}) (x, y)}

Ipoteza 6: mărirea transversală este valabilă . ${\ displaystyle \ gamma _ {t} = - 1}$

Primim și

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (a, b, x, y) = {\ mathcal {H}} (xa, yb)}

{\ displaystyle E_ {i} (x, y) = \ int \! \! \! \! \ int _ {S_ {o}} {\ mathcal {H}} (xa, yb) \, M_ {o} (a, b) \, \ mathrm {d} a \, \ mathrm {d} b}

{\ displaystyle E_ {i} (x, y) = ({\ mathcal {H}} * M_ {o}) (x, y)}

Luând în considerare proprietățile transformării Fourier ,

{\ displaystyle {\ hat {E}} _ {i} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) \, {\ hat {M}} _ {o} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y})}

Extinderea MTF la carcasa tridimensională

Funcția de extindere a punctelor unui sistem optic, adică imaginea unui punct de obiect, este o distribuție tridimensională de iluminare având un maxim în planul conjugat al planului obiectului. Prin urmare, este posibil să se definească o funcție de transfer optic tridimensional și funcția de transfer de modulație asociată.

Sistem optic limitat de difracție

Este util să cunoaștem comportamentul unui sistem optic ideal, în sensul că este lipsit de aberație, pentru a-l compara cu un sistem optic propriu-zis. În practică, se spune că un sistem este limitat de difracție dacă aberațiile care îl afectează au o funcție de răspândire a punctelor mai mică decât punctul Airy creat de difracție. Funcția de împrăștiere a punctelor se obține corespunde, cu excepția unei schimbări de variabilă, transformatei Fourier bidimensionale a formei deschiderii : ${\ displaystyle t (X, Y)}$

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} (x, y) = \ left (- {\ frac {1} {\ lambda ^ {2} D_ {i} D_ {o}}} \ int _ {- \ infty } ^ {\ infty} \! \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} t (X, Y) \ \ mathrm {e} ^ {{frac {- \ mathrm {i} \, 2 \ pi } {\ lambda D_ {i}}} \ left (xX + yY \ right)} \ \ mathrm {d} X \ \ mathrm {d} Y \ right) ^ {2}}

Atunci funcția de transfer optic este exprimată foarte simplu ca produsul autoconvoluției formei deschiderii:

{\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = \ gamma _ {t} ^ {2} \ t (\ lambda D_ {i} \ nu _ {x}, \ lambda D_ {i} \ nu _ {y}) * t (\ lambda D_ {i} \ nu _ {x}, \ lambda D_ {i} \ nu _ {y})}

unde este mărirea transversală . ${\ displaystyle \ gamma _ {t}}$

Frecvențele maxime înregistrate de sistemul de imagine sunt fie limitate de sistemul optic prin efectul de difracție, fie de senzor din cauza dimensiunii pixelilor, de exemplu. În multe cazuri, dacă obiectul este suficient de departe, imaginea se consideră că se formează în vecinătatea planului focal, astfel încât . ${\ displaystyle D_ {i} \ simeq f '}$

Demonstrație

Studiul difracției pentru o lentilă subțire utilizând aproximarea Fresnel are ca rezultat o expresie a funcției de răspândire a amplitudinii punctului care corespunde cifrei difracției Fraunhofer:

{\ displaystyle h (x, y) = - {\ frac {1} {\ lambda ^ {2} D_ {i} D_ {o}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} t (X, Y) \ \ mathrm {e} ^ {{\ frac {- \ mathrm {i} \, 2 \ pi} {\ lambda D_ {i}} } \ left (xX + yY \ right)} \ \ mathrm {d} X \ \ mathrm {d} Y}

Prin introducerea variabilelor reduse și , apoi , și știind asta , se obține: ${\ displaystyle X '= {\ frac {-X} {\ lambda D_ {i}}}}$ ${\ displaystyle Y '= {\ frac {-Y} {\ lambda D_ {i}}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} X = - \ lambda D_ {i} X '}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {t} = - D_ {i} / D_ {o}}$

{\ displaystyle h (x, y) = \ gamma _ {t} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} t \ left (- \ lambda D_ {i} X ', - \ lambda D_ {i} Y' \ right) \ \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \, 2 \ pi \ left (xX '+ yY' \ right)} \ \ mathrm {d} X '\ \ mathrm {d} Y'}

{\ displaystyle h (x, y) = \ gamma _ {t} \ {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ left \ {t (- \ lambda D_ {i} X ', - \ lambda D_ { i} Y ') \ right \}}

Funcția punct de răspândire este dată de: . ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (x, y) = | h (x, y) | ^ {2}}$

{\ displaystyle E_ {i} (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} E_ {o} (a, b) \, {\ mathcal {H}} (xa ', y-b') \ \ mathrm {d} a '\ \ mathrm {d} b'}

{\ displaystyle E_ {i} (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} E_ {o} (a, b) \, | h (xa ', y-b') | ^ {2} \ \ mathrm {d} a '\ \ mathrm {d} b'}

Funcția de transfer optic este:

{\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ mathcal {F}} \ left \ {| h (x, y) | ^ {2} \ right \} = {\ mathcal {F}} \ left \ {h (x, y) \ right \} * {\ mathcal {F}} \ left \ {h (x, y) \ right \ } = {\ hat {h}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) * {\ hat {h}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y})}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = \ gamma _ {t} ^ {2} \ t (- \ lambda D_ {i} \ nu _ {x}, - \ lambda D_ {i} \ nu _ {y}) * t (- \ lambda D_ {i} \ nu _ {x}, - \ lambda D_ {i} \ nu _ {y })}

Ținând cont de simetria sistemelor studiate, semnele - pot fi suprimate (toate funcțiile sunt egale).

{\ displaystyle {\ hat {h}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = \ gamma _ {t} \ t (\ lambda D_ {i} \ nu _ {x}, \ lambda D_ {i} \ nu _ {y})}

Funcția standardizată de transfer optic este:

{\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} _ {1} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = {\ frac {{\ mathcal {F}} \ left \ {| h (x, y) | ^ {2} \ right \}} {\ int \! \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | h (x, y) | ^ {2} \ mathrm {d } x \ mathrm {d} y}}}

Deschidere circulară

În cazul unui sistem optic cu o distanță focală a imaginii și prevăzut cu o pupilă de intrare cu diafragmă circulară în diametru , se notează numărul diafragmei . De asemenea , se consideră că imaginea este formată în apropierea planului focal: . Simetria problemei face posibilă exprimarea funcției de transfer optic normalizat ca o funcție a frecvențelor spațiale de-a lungul oricărei axe radiale a deschiderii: $f '$ $d$ ${\ displaystyle N = f '/ d}$ ${\ displaystyle D_ {i} \ simeq f '}$

{\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} _ {1} (\ nu) = {\ frac {2} {\ pi}} \ left (\ arccos \ left ({\ frac {\ nu} { \ nu _ {c}}} \ right) - {{\ frac {\ nu} {\ nu _ {c}}} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {\ nu} {\ nu _ { c}}} \ right) ^ {2}}}} \ right)}

în cazul în care frecvența de întrerupere, dincolo de care nu mai există nici un contrast, este dată de: . ${\ displaystyle \ nu _ {c} = {\ frac {1} {\ lambda N}}}$

Demonstrație

Factorul de transmisie corespunde formei deschiderii:

{\ displaystyle t (X, Y) = {\ begin {cases} 1 și {\ text {si}} {\ sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}} \ leq {\ frac {d } {2}} \\ 0 și {\ text {în caz contrar}} \ end {cases}}}

Știind asta , observăm că funcția de transfer va fi zero dacă . Având în vedere simetria revoluției, cineva poate fi mulțumit cu studierea pe orice axă. ${\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = \ gamma _ {t} ^ {2} \ t (\ lambda D_ {i} \ nu _ {x}, \ lambda D_ {i} \ nu _ {y}) * t (\ lambda D_ {i} \ nu _ {x}, \ lambda D_ {i} \ nu _ {y})}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ nu _ {x} ^ {2} + \ nu _ {y} ^ {2}}} \ leq \ nu _ {c} = {\ frac {d} {\ lambda f} } = {\ frac {1} {\ lambda N}}}$

Auto-convoluția poate fi calculată prin determinarea ariei de intersecție a două discuri de raze . frecvența de întrerupere corespunde frecvenței dincolo de care cele două discuri nu se mai interceptează reciproc. Mai întâi ne interesează doar frecvențele pozitive. ${\ displaystyle {\ frac {\ nu _ {c}} {2}} = {\ frac {d} {\ lambda f}} = {\ frac {1} {2 \ lambda N}}}$ ${\ displaystyle \ nu _ {c}}$

{\ displaystyle A = 2 \ left ({\ frac {\ theta \ nu _ {c} ^ {2}} {2}} - \ nu _ {c} \ cos \ theta \, \ nu _ {c} \ sin \ theta \ right)}

{\ displaystyle A = 2 \, \ nu _ {c} ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} - {\ frac {\ sin 2 \ theta} {2}} \ right) }

{\ displaystyle A = 2 \, \ nu _ {c} ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} - {\ cos \ theta \ sin \ theta} \ right)}

Cel mult, zona este . ${\ displaystyle A _ {\ mathrm {max}} = \ pi \, \ nu _ {c} ^ {2}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ nu} {\ nu _ {c}}} = \ cos \ theta}

și

{\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta = 1- \ left ({\ frac {\ nu} {\ nu _ {c}}} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle A = 2 \, \ nu _ {c} ^ {2} \ left ({\ frac {\ arccos (\ nu / \ nu _ {c})} {2}} - {{\ frac {\ nu} {\ nu _ {c}}} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {\ nu} {\ nu _ {c}}} \ right) ^ {2}}}} \ right)}

Împărțind la pentru a obține o valoare maximă de 1 = 100% și observând simetria care impune că funcția este uniformă, obținem: ${\ displaystyle A _ {\ mathrm {max}}}$

{\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {H}}} _ {1} (\ nu) = {\ frac {2} {\ pi}} \ left ({\ frac {\ arccos (| \ nu | / \ nu _ {c})} {2}} - {{\ frac {| \ nu |} {\ nu _ {c}}} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {\ nu} {\ nu _ {c}}} \ right) ^ {2}}}} \ right)}

Deschidere pătrată

În cazul unei deschideri pătrate din lateral , factorul de transmisie este: $d$

{\ displaystyle t (X, Y) = \ Pi _ {{d} / 2, d / 2} (X, Y) = {\ begin {cases} 1 și {\ text {si}} - {\ frac {d} {2}} \ leq X \ leq {\ frac {d} {2}} {\ text {what if}} - {\ frac {d} {2}} \ leq Y \ leq {\ frac { d} {2}} \\ 0 și {\ text {în caz contrar}} \ end {cases}}}

unde reprezintă funcția de poartă . Numărul diafragmei fiind încă definit ca , frecvența de tăiere păstrează aceeași expresie, dar funcția de transfer optic este modificată: $\ Pi$ ${\ displaystyle N = f '/ D}$

{\ displaystyle H_ {1} (\ nu _ {x}, \ nu _ {y}) = \ Lambda \! \ left ({\ frac {\ nu _ {x}} {\ nu _ {c}}} \ right) \ Lambda \! \ left ({\ frac {\ nu _ {y}} {\ nu _ {c}}} \ right)}

unde este funcția triunghi . ${\ displaystyle \ Lambda \! \ left (x \ right)}$

Sistem optic real

Un sistem real suferă de aberații optice . Efectul acestor aberații este de a reduce raportul de contrast în funcție de frecvențele spațiale, ceea ce duce la o scădere a MTF în comparație cu cazul limitat de difracție. Această scădere a contrastului poate fi însoțită de o scădere a frecvenței de întrerupere a sistemului optic, informații esențiale făcând posibilă determinarea capacității unui sistem de a transmite detaliile fine ale unei imagini. Aberațiile optice care degradează performanța sistemelor nu sunt invariante spațial, ceea ce împiedică utilizarea produsului de convoluție și reduce posibilitățile de calcule simple. În plus, nu toate sunt simetrică prin rotație. Apoi, funcția de transfer optic nu este simetrică rotațional și în special MTF variază în funcție de poziția studiată în planul imaginii. Pentru a cunoaște MTF, este necesar să luați măsurători.

Măsurarea MTF

Metode care utilizează modele de testare

Funcția de transfer de modulație poate fi măsurată folosind modele de testare alcătuite din benzi alb-negru alternante la diferite frecvențe spațiale. Pentru fiecare frecvență spațială, contrastul este măsurat pe imagine și împărțit la contrastul modelului de testare. ${\ displaystyle C (f)}$

{\ displaystyle C (f) = {\ frac {L_ {max} -L_ {min}} {L_ {max} + L_ {min}}}}

cu și luminanțele minime și maxime măsurate pe imaginea modelului de testare. Acest raport este valoarea funcției de transfer de modulație pentru această frecvență spațială. ${\ displaystyle L_ {min}}$ ${\ displaystyle L_ {max}}$

Metode care utilizează funcția spread spread

Metode de măsurare directă

Dacă detectorul are o rezoluție suficientă și poate fi utilizată o sursă de lumină de dimensiuni suficient de mici, este posibil să se măsoare direct funcția de răspândire punctuală a sistemului optic. Funcția de răspândire a punctelor face posibilă calcularea funcției de transfer de modulație printr-o transformare Fourier .

Alternativ, în absența unui detector, o măsurare a scăderii intensității luminii în prezența unui cuțit turbionar face posibilă calcularea funcției de transfer de modulație. Această metodă este adesea utilizată în zone în care senzorii nu au rezoluție suficientă, cum ar fi infraroșu .

Metode care utilizează analizoare de front de undă

Utilizarea unui analizor de front de undă face posibilă analiza deformării frontului de undă de către un sistem optic. În special, astfel de sisteme permit măsurarea răspunsului la impuls al unui sistem optic. Funcția de transfer optic fiind transformata Fourier a acestui răspuns de impuls, este astfel posibilă obținerea funcției de transfer de modulație.

Factori care influențează MTF

MTF-ul unui sistem optic depinde în mod evident de deschidere și forma acestuia, precum și de lungimea de undă datorată difracției, dar alte fenomene intervin pentru a-l degrada.

Majoritatea aberațiilor geometrice și cromatice care afectează sistemul optic, pe lângă defectele de fabricație sau de îngrijire, reduc valorile MTF: aberație sferică, aberație de comă, astigmatism, curbură de câmp , trifoi. Reflecțiile interne ale sistemului optic pot reduce MTF pe întreaga imagine prin reducerea contrastului prin efectul de flare . Vignetare și distorsiunea nu au nici o influență asupra FTM. Aberatiile cromatice nu influențează în lumina aproape monocromatica. Distanța față de obiect poate modifica aberațiile optice prezente în sistemul optic și poate modifica MTF-ul asociat acestuia. Polarizarea luminii incidente poate, mai rar, au o influență.

Utilizare în fotografie și cinema

Funcția de transfer de modulație face posibilă caracterizarea calității unui obiectiv .

Curba FTM în fotografie

Curbele MTF care caracterizează un obiectiv fotografic includ cel puțin două curbe:

Curba superioară corespunde evoluției contrastului unei frecvențe spațiale reduse (adesea 10 cicluri pe milimetru) în funcție de distanța de la centrul imaginii.
Curba inferioară corespunde evoluției contrastului unei frecvențe spațiale mai mari (adesea 30 de cicluri pe milimetru) în funcție de distanța de la centrul imaginii.

Aceste curbe sunt împărțite în funcție de orientarea sagitală sau tangențială , făcând posibilă luarea în considerare a aberațiilor care nu au simetrie de rotație.

Lentilele fotografice prezintă un MTF maxim pentru diafragme medii (f / 5.6). MTF este mai scăzut pentru deschiderile mari (f / 1.4, f / 2) datorate aberațiilor și pentru deschiderile mici datorate difracției. Producătorii de lentile limitează în general diafragma la f / 16 sau f / 22 (f / 32 pentru formate mari). Difracția afectează mai puțin senzorii mari (cu definiție egală) mai puțin, deoarece pixelii sunt mai mari, iar dimensiunea punctului de difracție depinde doar de diafragmă.

Concepte similare cu funcția de transfer optic

În electronică

În electronică , noțiunea de funcție de transfer a unui circuit electric este utilizată în special pentru a analiza răspunsul în frecvență al sistemului, care corespunde câștigului sistemului în funcție de frecvența semnalului electric de intrare. Este posibil să se facă analogia între funcția de transfer optic și funcția de transfer pe de o parte și între funcția de transfer de modulație și răspunsul de frecvență pe de altă parte.

În acustică

În acustică , funcția de transfer de modulație este utilizată pentru a evalua modul în care sunt afectate modulațiile de amplitudine ale semnalului în timpul difuzării unui semnal. Funcția de transfer de modulație pentru un semnal de bandă îngustă este calculată de raportul de contrast (semnal modificat - semnal original) pentru modulații de amplitudine cuprinse între 1 și 12 Hz. MTF este baza mai multor măsurători inteligibilitatea vorbirii și în special Indicele de transmisie a vorbirii (STI) .

Vezi și tu

Lentile fotografice

Note și referințe

Câmpul optic apropiat: Teorie și aplicații pe Google Books - Daniel Courjon și Claudine Bainier (2001)
Eugene Hecht , Optică , Pearson,19 septembrie 2005, 724 p. ( ISBN 978-2-7440-7063-1 , citit online ) , p. 571
Teză: Analiza și modelarea funcției de transfer de modulație a senzorilor de imagine cu pixeli activi CMOS - Magali Estribeau (2004)
Standard ISO 15529 revizuire 2010
Calcul rapid vectorial al distribuției volumetrice a câmpului focalizat utilizând o transformată Fourier tridimensională - J. Lin, OG Rodríguez-Herrera, F. Kenny, D. Lara și JC Dainty, Optics Express (2012)
Elemente de design optic ( citiți online ) , p. 8
Pregătirea, captarea și restituirea imaginilor p. 78 - Jean-Louis Meyzonnette, Școala Superioară de Optică
(în) Glenn D. Boreman, Modulation Transfer Function in Optical and Electro-Optical Systems , SPIE Press,1 st ianuarie 2001, 110 p. ( ISBN 978-0-8194-4143-0 , citit online ) , p. 16
Introducere în testarea optică pe Google Books - Joseph M. Geary
Documentație MTF - Imatest
Măsurarea funcției de transfer de modulație a unui sistem optic - Lucrare practică, Institut d'Optique
Senzor de undă HASO - Imagine Optic
Analizator de undă Shack-Hartmann - OptoPhase
Interpretarea fișelor de date optice - Carl Zeiss
Înțelegerea funcției de transfer de modulație - Focus digital
Cum se citesc curbele MTF - Sigma France
Introducerea inteligibilității vorbirii nti-audio.com