În teoria numerelor , funcția Mertens este
unde μ este funcția Möbius .
Mai puțin formal, M ( n ) este numărul de întregi fără pătrat mai mic sau egal cu n și numărul factorilor primi este par , mai mic numărul de numere întregi fără factor pătrat inferior sau egal cu n, iar numărul factorilor primi este impar.
Deoarece funcția Möbius ia doar valorile –1, 0 și +1, este evident că nu există x astfel încât | M ( x ) | > x . Conjectura Mertens (1897) merge chiar mai departe, afirmând că nu ar exista x în cazul în care valoarea absolută a funcției Mertens depășește rădăcina pătrată a x .
Andrew Odlyzko și Herman te Riele au arătat în 1985 că această presupunere era greșită. Dovada lor nu a produs un contraexemplu explicit, dar știm acum că cel mai mic contraexemplu este mai mare de 10 14 și mai mic decât exp (1.59.10 40 ).
Cu toate acestea, ipoteza Riemann este echivalentă cu o presupunere mai slabă asupra creșterii lui M ( x ), în mod explicit: pentru toate ε> 0, M ( x ) = O ( x 1 ⁄ 2 + ε ), unde O denotă notația Landau . Deoarece vârfurile lui M cresc cel puțin la fel de repede ca rădăcina pătrată a lui x , aceasta plasează o limită destul de strânsă asupra ratei de creștere.
Folosind produsul eulerian , constatăm că
unde ζ este funcția zeta Riemann și produsul preluat numerele prime . Deci, folosind această serie Dirichlet cu formula lui Perron , obținem:
unde C este o curbă închisă care înconjoară toate rădăcinile lui ζ .
În schimb, avem transformarea Mellin
care rămâne valabil pentru Re ( s )> 1.
O evaluare bună, cel puțin asimptotic, ar fi obținerea, prin algoritmul de gradient , a unei inegalități:
Funcția Mertens a fost calculată pentru un interval din ce în ce mai mare de n .
Nimeni | An | Limită |
---|---|---|
Mertens | 1897 | 10 4 |
von Sterneck | 1897 | 1,5 × 10 5 |
von Sterneck | 1901 | 5 × 10 5 |
von Sterneck | 1912 | 5 × 10 6 |
Neubauer | 1963 | 10 8 |
Cohen și Dress | 1979 | 7,8 × 10 9 |
Rochie | 1993 | 10 12 |
Lioen și Moon van | 1994 | 10 13 |
Kotnik și Moon van | 2003 | 10 14 |
Crâng | 2016 | 10 16 |