Funcția H a lui Chandrasekhar

Chandrasekhar Funcția H este utilizată pentru soluționarea problemei unidimensional de transfer radiativ într - un absorbant și difuzând mediu . Este definit de o ecuație integrală stabilită de Viktor Ambartsumian și Subrahmanyan Chandrasekhar .

Definiție

Funcția introdusă de Subrahmanyan Chandrasekhar este în general definită de ecuația integrală stabilită de Viktor Ambartsumian

{\ displaystyle H (\ mu) = 1 + \ mu H (\ mu) \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ Psi (\ mu ')} {\ mu + \ mu'}} H (\ mu ') \, d \ mu'}

unde este o funcție caracteristică care descrie difuzia în mediu. Este un polinom chiar satisfăcător ${\ displaystyle \ Psi (\ mu)}$

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ Psi (\ mu) \, d \ mu \ leq {\ frac {1} {2}}}

Cazul care corespunde limitei superioare se spune că este conservator (conservă densitatea fluxului de energie).

Izotropia corespunde

{\ displaystyle 2 \ Psi = \ omega _ {0}}

unde este albedo , constant. corespunde cazului de difuzie pură. ${\ displaystyle 0 \ leq \ omega _ {0} \ leq 1}$ $\ omega _ {0} = 1$

Se scrie o definiție echivalentă care nu mai este utilizată pentru evaluarea numerică

{\ displaystyle {\ frac {1} {H (\ mu)}} = \ left [1-2 \ int _ {0} ^ {1} \ Psi (\ mu) \, d \ mu \ right] ^ { 1/2} + \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mu '\ Psi (\ mu')} {\ mu + \ mu '}} H (\ mu') \, d \ mu '}

În cazul conservator, primul termen al ecuației de mai sus este anulat.

Proprietăți

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} H (\ mu) \ Psi (\ mu) \, d \ mu = 1- \ left [1-2 \ int _ {0} ^ {1} \ Psi (\ mu) \, d \ mu \ dreapta] ^ {1/2}}$

În cazul conservator, această ecuație se reduce la

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ Psi (\ mu) d \ mu = {\ frac {1} {2}}}

${\ displaystyle \ left [1-2 \ int _ {0} ^ {1} \ Psi (\ mu) \, d \ mu \ right] ^ {1/2} \ int _ {0} ^ {1} H (\ mu) \ Psi (\ mu) \ mu ^ {2} \, d \ mu + {\ frac {1} {2}} \ left [\ int _ {0} ^ {1} H (\ mu) \ Psi (\ mu) \ mu \, d \ mu \ right] ^ {2} = \ int _ {0} ^ {1} \ Psi (\ mu) \ mu ^ {2} \, d \ mu}$

În cazul conservator, această ecuație se reduce la

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} H (\ mu) \ Psi (\ mu) \ mu d \ mu = \ left [2 \ int _ {0} ^ {1} \ Psi (\ mu) \ mu ^ {2} d \ mu \ right] ^ {1/2}}

Pentru o funcție caracteristică corespunzătoare difuziei Thomson sau Rayleigh unde sunt două constante care satisfac și dacă definim momentul de ordine până atunci ${\ displaystyle \ Psi (\ mu) = a + b \ mu ^ {2}}$ ${\ displaystyle a, b}$ ${\ displaystyle a + b / 3 \ leq 1/2}$ $nu$ ${\ displaystyle M_ {n} = \ int _ {0} ^ {1} H (\ mu) \ mu ^ {n} \, d \ mu, \ n \ geq 0}$

{\ displaystyle M_ {0} = 1 + {\ frac {1} {2}} (aM_ {0} ^ {2} + bM_ {1} ^ {2})}

și

{\ displaystyle (a + b \ mu ^ {2}) \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {H (\ mu ')} {\ mu + \ mu'}} \, d \ mu ' = {\ frac {H (\ mu) -1} {\ mu H (\ mu)}} - b (M_ {1} - \ mu M_ {0})}

Soluție în planul complex

Folosind variabila complexă se scrie ecuația de definiție a lui H $z$

{\ displaystyle H (z) = 1- \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {z} {z + \ mu}} H (\ mu) \ Psi (\ mu) \, d \ mu, \ quad \ int _ {0} ^ {1} | \ Psi (\ mu) | \, d \ mu \ leq {\ frac {1} {2}}, \ quad \ lim \ limits _ {\ delta \ to 0} \ int _ {0} ^ {\ delta} | \ Psi (\ mu) | \, d \ mu = 0}

În plan soluția este ${\ displaystyle \ Re (z)> 0}$

{\ displaystyle \ ln H (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {- i \ infty} ^ {+ i \ infty} \ ln T (w) {\ frac {z } {w ^ {2} -z ^ {2}}} \, dw}

unde partea imaginară a dispare dacă este reală, adică dacă . Atunci avem ${\ displaystyle T (z)}$ $z ^ 2$ ${\ displaystyle z ^ {2} = u + iv \ equiv u}$

{\ displaystyle T (z) = 1-2 \ int _ {0} ^ {1} \ Psi (\ mu) \, d \ mu -2 \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mu ^ {2} \ Psi (\ mu)} {u- \ mu ^ {2}}} \, d \ mu}

În cazul conservator, soluția este unică. Altfel admite rădăcinile . Prin urmare, există o soluție dată de ${\ displaystyle 0 \ leq z \ leq 1}$ ${\ displaystyle T (z) = 0}$ ${\ displaystyle \ pm {\ frac {1} {k}}}$

{\ displaystyle H_ {1} (z) = H (z) {\ frac {1 + kz} {1-kz}}}

Apropiere

Următoarea dezvoltare este cunoscută în special deoarece este baza metodei SN

{\ displaystyle H (\ mu) = {\ frac {1} {\ mu _ {1} \ cdots \ mu _ {n}}} {\ frac {\ prod _ {i = 0} ^ {n} (\ mu + \ mu _ {i})} {\ prod _ {\ alpha} (1 + k _ {\ alpha} \ mu)}}}

unde sunt rădăcinile polinoamelor Legendre și soluțiile strict pozitive ale ecuației caracteristice $\ mu _ {i}$ ${\ displaystyle P_ {2n}}$ $k _ {\ alpha}$

{\ displaystyle 2 \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {a_ {j} \ Psi (\ mu _ {j})} {1-k ^ {2} \ mu _ {j} ^ {2}}}}

Sunt greutățile cuadratură date de $a_ {j}$

{\ displaystyle a_ {j} = {\ frac {1} {P_ {2n} '(\ mu _ {j})}} \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {P_ {2n} ( \ mu _ {j})} {\ mu - \ mu _ {j}}} \, d \ mu _ {j}}

În general, există diverse metode pentru calculul numeric al funcțiilor H.

Referințe

(în) Subrahmanyan Chandrasekhar , Transfer radiativ , Dover Publications ,1960( ISBN 0486-6059-06 , citit online )
Rabindra Nath Das și Rasajit Kumar Bera, „ Evaluarea numerică a funcției H a lui Chandrasekhar, primul și al doilea coeficient diferențial, polul și momentele sale din noua formă pentru atmosferă de împrăștiere paralelă plană în transfer radiativ ” , pe ArXiv
(în) PB Bosma și WA de Rooij, „ Metode eficiente de calcul al funcțiilor H ale lui Chandrasekhar ” , Astronomie și astrofizică , vol. 126,1983, p. 283-292 ( citiți online )

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul din Wikipedia engleză intitulat „ Funcția H a lui Chandrasekhar ” ( vezi lista autorilor ) .

Vezi și tu

linkuri externe

Codul de calcul Matlab disponibil pe următorul site: Mike Simcock, „ Funcția H a lui Chandrasekhar ” , pe MathWorks