Fibra lui Clifford

În matematică, pachetul Clifford este un concept de geometrie diferențială care face posibilă extinderea noțiunii de algebră Clifford la cadrul varietăților Riemanniene orientate , deci a spațiilor „curbate” prevăzute cu o metrică. La fel ca algebra Clifford, pachetul Clifford oferă un cadru de calcul util pentru introducerea conceptelor de geometrie a spinorului .

Un concept înrudit are un nume foarte asemănător: un pachet de modul Clifford este un pachet vector ale cărui fibre poartă o structură de modul Clifford, adică formează un spațiu de reprezentare al pachetului Clifford. Aceasta include pachetul Clifford în sine, posibilele pachete de spinori și acest lucru oferă un cadru adecvat pentru a defini conceptul general de operator Dirac .

General

Definiții posibile

Fie X o varietate Riemanniană orientată. Putem considera fibra p - multivectori , adică tensorul de ordine ( p , 0) . Putem defini pachetul Clifford exact așa cum definim algebra, adică spațiul obținut considerând o lege a produsului pe multivectori de toate ordinele astfel încât toate expresiile să fie zero. ${\ displaystyle \ bigotimes ^ {p} TX}$ ${\ displaystyle v \ times v + \ | v \ | ^ {2}}$

În mod formal, pachetul este, prin urmare, un spațiu coeficient al pachetului de tensori de către pachetul de idealuri generate de elementele formei : ${\ displaystyle I (TX)}$ ${\ displaystyle v \ otimes v + \ | v \ | ^ {2}}$

{\ displaystyle \ mathrm {C} \ ell (X) = \ left (\ sum _ {r = 0} ^ {+ \ infty} \ bigotimes ^ {p} TX \ right) / I (TX)}

Și mai în general, vorbim despre un pachet Clifford al unui pachet Riemannian orientat către E : luăm aceeași definiție cu puteri tensoriale E în loc de TM .

O altă posibilă definiție a pachetului Clifford este aceea de a spune că este pachetul asociat cu reprezentarea obișnuită a grupului ortogonal special în algebra Clifford . ${\ displaystyle SO (n)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {C} \ ell (\ mathbb {R} ^ {n})}$

Extinderea rezultatelor asupra algebrelor Clifford

Pachetul de fibre astfel construit are, fibră cu fibră, o structură de algebră Clifford . Rămâne gradul ℤ 2 , ceea ce face posibilă descompunerea pachetului în funcție de paritate

{\ displaystyle \ mathrm {C} \ ell (E) = \ mathrm {C} \ ell ^ {0} (E) \ oplus \ mathrm {C} \ ell ^ {1} (E)}

De asemenea, găsim un izomorfism canonic cu algebra exterioară și, prin urmare, o ℤ-gradare ca pachet de vectori.

Conexiunea Levi-Civita asociată cu metrica oferă o modalitate canonică de derivare a vectorilor și tensorilor: este asociată cu o conexiune canonică pe pachetul Clifford, care respectă ℤ-gradare și ℤ 2- gradare . Forma volumului are o derivată covariantă zero (se numește „paralelă”). Avem o regulă Leibniz pentru secțiunile pachetului Clifford și legea produsului Clifford:

{\ displaystyle \ nabla (\ phi \ times \ psi) = \ phi \ times (\ nabla \ psi) + (\ nabla \ phi) \ times \ psi}

Fibre complexe

Putem introduce algebre complexe și pachete Clifford prin complexificarea algebrelor reale. Au un operator de chiralitate care se exprimă într-o bază ortonormală directă după cum urmează

{\ displaystyle \ Gamma = i ^ {\ lceil n / 2 \ rceil} e_ {1} \ times \ dots \ times e_ {n},}

calcul care este de fapt independent de baza aleasă și care dă o secțiune din pachetul Clifford.

Reprezentări: pachete în modulele Clifford

Un pachet de modul Clifford S pe X este format fibră de fibră, modulele stângi pe algebra Clifford. Astfel putem înmulți o secțiune a lui S cu o secțiune a algebrei Clifford, de exemplu un câmp vector: acest lucru este apoi notat . ${\ displaystyle X \ cdot \ sigma}$

Fibre și operatori Dirac

Cele mai interesante pachete sunt pachetele Dirac pentru care avem o structură riemanniană și o conexiune adaptată în sensul că

- înmulțirea cu un vector tangent unitate e al lui X constituie o izometrie a fibrei lui S

{\ displaystyle <e \ cdot \ sigma _ {1}, e \ cdot \ sigma _ {2}> = <\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}>}

- conexiunea este compatibilă cu structura modulului

{\ displaystyle \ nabla (\ phi \ cdot \ sigma) = (\ nabla \ phi) \ cdot \ sigma + \ phi \ cdot \ nabla \ sigma}

Un astfel de pachet are apoi un operator definit în mod natural, operatorul Dirac . Putem da expresia pe o bază ortonormală (chiar dacă nu depinde de alegerea acestei baze)

{\ displaystyle D \ sigma = \ sum _ {i = 1} ^ {n} e_ {i} \ cdot \ nabla _ {e_ {i}} (\ sigma)}

Calculul simbol principale arată că pătratul operatorului Dirac poate fi clasificat ca Laplace operator de acțiune pe pachet S . Acesta este interesul unor astfel de construcții: obținerea unui operator de tip laplacian și punerea acestuia sub forma unui pătrat al unui operator auto-adăugat, ceea ce face ca determinarea nucleului să fie deosebit de bogată în informații.

Fibrele spinoriale

Pachetele de spinori pot fi considerate ca cazuri speciale ale pachetelor de Dirac, dar sunt definite numai dacă soiul X are o structură de spinor : Spin sau cel puțin Spin c .

Note și referințe

Lawson și Michelsohn 1989 , p. 95
Lawson și Michelsohn 1989 , p. 107
Jost 2002 , p. 64 și 76
Lawson și Michelsohn 1989 , p. 113

Bibliografie

(ro) Jürgen Jost , Riemannian Geometry and Geometric Analysis ,2002[ detaliu ediții ]
(ro) H. Blaine Lawson (ro) și Marie-Louise Michelsohn , Spin Geometry , PUP ,1989( ISBN 978-0-691-08542-5 )