Fereastra Viviani
Fereastra Viviani este o curbă algebrică la stânga și o curbă închisă , definită ca intersecția unei sfere și a unui cilindru circular cu jumătate de rază a sferei și care trece prin centrul sferei.
Vincenzo Viviani a propus în 1692 următoarea problemă arhitecturală: era vorba de găurirea unei cupole emisferice cu patru ferestre în așa fel încât suprafața rămasă a cupolei să poată fi sfâșiată . John Wallis , Gottfried Wilhelm Leibniz și Jean Bernoulli au studiat în mod natural cazul simplu al ferestrelor circulare și au fost nevoiți să studieze curba de intersecție a cilindrului și a emisferei, dând acestei curbe numele de „fereastra Viviani”.
Arhitectul Paul Andreu a proiectat cupola Muzeului Maritim din Osaka , aranjând cadrele în funcție de o rețea de curbe paralele Viviani.
Ecuațiile ferestrei Viviani
Avem următoarele reprezentări (pentru o sferă de rază R ):
Sistemul de ecuații carteziană: și , expresia din urmă de cea a unui centru de cilindru , raza și axa paralelă cu axa : .
X2+y2+z2=R2{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = R ^ {2}}X2+y2=RX{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = Rx}(X,y)=(R2,0){\ displaystyle (x, y) = \ left ({\ frac {R} {2}}, 0 \ right)}R2{\ displaystyle {\ frac {R} {2}}}z{\ displaystyle z}(X-R2)2+y2=(R2)2{\ displaystyle \ left (x - {\ frac {R} {2}} \ right) ^ {2} + y ^ {2} = \ left ({\ frac {R} {2}} \ right) ^ { 2}}
Parametrizarea cartesiană:
Sfera poate fi parametrizată de
unde
{X=Rcosθcosφy=Rpăcatθcosφz=Rpăcatφ{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {rcl} x & = & R \ cos \ theta \ cos \ varphi \\ y & = & R \ sin \ theta \ cos \ varphi \\ z & = & R \ sin \ varphi \ end {array}} \ right.}-π<θ<π,-π2<φ<π2.{\ displaystyle - \ pi <\ theta <\ pi, - {\ frac {\ pi} {2}} <\ varphi <{\ frac {\ pi} {2}}.}
Transferând în ecuația cilindrului, obținem:
X2+y2-RX=R2cosφ(cosφ-cosθ)=0.{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -Rx = R ^ {2} \ cos \ varphi (\ cos \ varphi - \ cos \ theta) = 0.}
Deci și configurația curbei Viviani:
cosφ=cosθ{\ displaystyle \ cos \ varphi = \ cos \ theta}
{X=Rcos2θy=Rpăcatθcosθz=Rpăcatθ{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {rcl} x & = & R \ cos ^ {2} \ theta \\ y & = & R \ sin \ theta \ cos \ theta \\ z & = & R \ sin \ theta \ end {array}} \ right.} cu -π<θ≤π{\ displaystyle - \ pi <\ theta \ leq \ pi}
Note și referințe
Referințe
-
Declarația completă a problemei este dată în articolul de D. Lanier, cf. infra .
-
Cf. Chasles, p. 141.
-
Fereastra lui Viviani, pe Mathcurve.com
-
Michel Chasles , Prezentare istorică asupra originii și dezvoltării metodelor în geometrie (1837), impr. Hayez, Bruxelles
-
Michel Serres , sistemul lui Leibnitz și modelele sale matematice (1968, reeditare 2007) ed. PUF, col. Epimetheus ( ISBN 2130433898 )
-
(fr) Denis Lanier, „ Leibniz, noua analiză și geometrie sau investigație a ferestrei lui Viviani ” , pe NUMDAM , Cahiers du seminaire d'histoire des mathematiques, vol. 8,1987(accesat la 28 octombrie 2007 ) ,p. 203-227