Derivată direcțională

În analiza matematică , noțiunea de derivată direcțională face posibilă cuantificarea variației locale a unei funcții în funcție de mai multe variabile, la un punct dat și de -a lungul unei direcții date în spațiul acestor variabile. În cea mai simplă versiune, derivata direcțională generalizează noțiunea de derivate parțiale , în sensul că o găsim pe aceasta din urmă luând axele de coordonate ca direcții de derivare.

Conceptul de derivată direcțională este fundamental în analiză . Uneori este punctul de plecare pentru definirea derivatei unei funcții, care descrie modul în care valoarea acesteia este modificată atunci când argumentele sale variază infinit, dar în mod arbitrar (și nu mai de-a lungul unei direcții prefixate): derivatul în sensul lui Gateaux este definit în acest fel , dar și sub-diferențialul unei funcții convexe și sub-diferențialul Clarke al unei funcții Lipschitz. Este, de asemenea, un concept valoros pentru obținerea condițiilor necesare optimizării în optimizare .

Înțelegem apoi de ce am introdus noțiuni multiple de derivată direcțională, care sunt mai mult sau mai puțin potrivite pentru regularitatea (adică pentru netezimea) funcției studiate și a căror utilitate și câmp de aplicare depind de proprietățile lor. Dezvoltările sunt foarte rafinate și continuă; studiul legăturilor dintre ele ar merita o monografie. Ne vom mulțumi aici cu oferirea principalelor definiții, începând cu cele mai familiare și cele mai simple.

Funcție definită pe un spațiu vectorial

Derivată parțială în urma unui vector

Definiție

Să Fie E un spațiu vectorial normat, U o una deschisă de E , $f$ o funcție definită pe U cu valori într - un spațiu vectorial normat F (sau mai general, un separat spațiu vectorial topologic ). Dăm calificarea punctelor elementelor U și vectorilor elementelor E , motivele vor fi detaliate mai jos. Fi , de asemenea , $u$ un punct U și $h$ un vector de E .

Derivata lui f la punctul u care urmează vectorului h este, dacă există, derivata la 0 a funcției variabilei reale : ${\ displaystyle t \ mapsto f (u + th)}$

{\ displaystyle D_ {h} f (u) = \ lim \ limits _ {t \ to 0} {\ frac {f (u + th) -f (u)} {t}}.}

Dacă $h$ este vectorul zero, această limită există în continuare și are o valoare zero. Putem presupune că $h$ nu este vectorul zero în cele ce urmează.

Când spațiul E este de dimensiune finită n și prevăzut cu o bază, funcția $f$ poate fi văzută ca o funcție a n variabile reale, iar calculul derivatelor direcționale în funcție de vectorii de bază corespunde calculului derivatelor parțiale ale $f$ :

{\ displaystyle D_ {e_ {i}} f (u) = {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (u).}

Dacă înlocuim $h$ cu un vector coliniar $α h$ , calculul derivatului este identic cu înmulțirea cu factorul $α$ închis:

{\ displaystyle D _ {\ alpha h} f (u) = \ alpha D_ {h} f (u).}

Astfel, atunci când există la un moment dat o derivată care urmează unui vector, există una conform oricărui vector de aceeași direcție, dar valoarea acestei derivate direcționale depinde de alegerea vectorului. Vom vorbi despre o derivată direcțională a lui $f$ în punctul $u$ în direcția lui $h$ când vectorul $h$ este unitar .

Pe de altă parte, nu există nici un motiv a priori pentru a observa un anumit rezultat atunci când însumăm doi vectori $h$ și $h '$ .

Definiție alternativă

Definiția de mai sus definește derivata în direcția $h$ când vectorul $h$ este unitar .

Unii autori definesc derivata în direcția oricărui vector prin: ${\ displaystyle v \ neq 0}$

{\ displaystyle \ nabla _ {v} f (u): = \ lim _ {s \ to 0} {\ frac {f (u + sv) -f (u)} {s \ left \ | v \ right \ |}}.}

Prin urmare, legătura cu definiția anterioară este: pentru . ${\ displaystyle \ nabla _ {v} f (u) = D_ {h} f (u)}$ ${\ displaystyle h = {\ frac {v} {\ left \ | v \ right \ |}}}$

Intuitiv, derivata direcțională a punctului u reprezintă rata de schimbare a , măsurată de-a lungul direcției , în raport cu timpul, pe măsură ce trecem prin punctul u . $f$ $f$ $v$

Cazul unei funcții diferențiabile

Dacă funcția $f$ este diferențiată în punctul $u$ , atunci admite derivate în acest punct în direcția oricărui vector. Această derivată este calculată din harta diferențială la $u$ (notată cu $d f ( u )$ ) prin aplicarea formulei

{\ displaystyle D_ {h} f (u) = ({\ rm {d}} f (u)) (h),}

astfel încât de data aceasta, rezultatul este liniar în $h$ . In mod deosebit,

{\ displaystyle D_ {h + h '} f (u) = D_ {h} f (u) + D_ {h'} ​​f (u).}

În cele din urmă, dacă $E$ este un spațiu vectorial dimensional finit $n$ cu o bază, este posibil să se calculeze toate derivatele direcționale în termeni de derivate parțiale

{\ displaystyle D_ {h} f (u) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} h_ {i} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (u).}

În general, inversul este fals: faptul că o aplicație prezintă derivate în $u$ în toate direcțiile nu îi asigură diferențialitatea, nici măcar continuitatea. Cu toate acestea, inversul este adevărat dacă funcția este definită pe un spațiu vectorial de dimensiune finită $n$ , are valori reale și este convexă : este suficient să aibă derivate parțiale care urmează $n$ vectori liniar independenți pentru a fi diferențiată (la sensul Fréchet).

Dacă E este un spațiu vectorial euclidian și $f$ o hartă diferențiată cu valoare reală, este posibil să se utilizeze gradientul lui $f$ pentru a exprima derivata direcțională

{\ displaystyle D_ {h} f (u) = \ langle \ nabla f (u) | h \ rangle.}

Când $f$ prezintă o extremitate locală într-un punct deschis, gradientul este zero în acest moment (pentru un studiu mai detaliat vezi punctul critic ), precum și toate derivatele direcționale.

Interpretarea geometrică

Derivata funcției $f$ în punctul $u$ în direcția vectorului $h$ se calculează ca derivată la 0 a funcției unei singure variabile reale $g ( t ) = f ( u + th )$ . Aceasta din urmă este interpretată ca restrângerea lui $f$ la linia afină care trece prin $u$ și direcționată de $h$ .

Dacă asociem cu funcția suprafața (S) a carteziene ecuației $z = f$ $($ $x$ $,$ $y$ $)$ , noțiunea de derivat în direcția unei unități de vector la un punct de U poate fi interpretat după cum urmează: planul vertical care conține linia care trece prin A și direcționată de h intersectează suprafața (S) în conformitate cu curba parametrizată (C) : $f: U \ subset \ R ^ 2 \ to \ R$ $h = (h_1, h_2) ~$ $A = (x_0, y_0) ~$

{\ displaystyle t \ mapsto M (t) = {\ begin {cases} x_ {0} + th_ {1} \\ y_ {0} + th_ {2} \\ f (x_ {0} + th_ {1} , y_ {0} + th_ {2}). \ end {cases}}}

Funcția M este diferențiată la 0 dacă și numai dacă $f$ admite la A o derivată în direcția $h$ ; în acest caz, există o tangentă la punctul - care este punctul (S) vertical față de A - și este componenta verticală a vectorului director al acestei tangente. $A '= M (0)$ ${\ displaystyle D_ {h} f (A)}$

Dacă $f$ este diferențiat la A , inegalitatea Cauchy-Schwarz face posibilă scrierea (cu întotdeauna $h$ unitate)

- \ | \ nabla f (A) \ | \ leqslant D_h f (A) = \ langle \ nabla f (A) | h \ rangle \ leqslant \ | \ nabla f (A) \ |

cu egalitate dacă (și numai dacă) $h$ este coliniar cu gradientul de $f$ din A .

Panta tangentei este astfel maximă prin alegerea direcției gradientului, care se află la baza metodelor de coborâre în problemele de minimizare .

Derivată direcțională în sensul lui Dini

Definiție

Fie E un spațiu vectorial, F un spațiu vector normalizat și o funcție. Spunem că $f$ este diferențiat direcțional în sensul lui Dini în direcție dacă limita din definiția de mai jos există în F : $f: E \ to F$ $x \ în E$ $d \ în E$ $f '_ {_ D} (x; d)$

${\ displaystyle f '_ {D} (x; d): = \ lim _ {t \ to 0, t> 0} \, {\ frac {f (x + td) -f (x)} {t} }.}$

Torturi-diferențialitate

Fie E și F două spații vectoriale normalizate. Se spune că o funcție poate fi diferențiată de Gateaux în si $f: E \ to F$ $x \ în E$

derivatul direcțional există orice , $f '_ {D} (x; d)$ $d \ în E$
aplicația este continuă liniară. $D_Gf (x): d \ in E \ mapsto f '_ {_ D} (x; d) \ in F$

Spunem că $f$ este continuu diferențiat Gateaux în si $f$ este diferențiat Gateaux într-un vecinătate $V$ al lui $x$ și este continuu în $x$ ; denotăm setul de operatori lineari continui de la E la F , înzestrați cu norma sa canonică. $x \ în E$ $D_Gf: V \ to \ mathcal {L} (E, F)$ ${\ mathcal {L}} (E, F)$

Funcționează cu valori infinite

În analiza convexă sau non-lină , folosim o noțiune de derivată direcțională, care este în esență cea a lui Dini, dar care acceptă că funcțiile își iau valorile în linia reală completată . Derivații direcționali își pot lua ei înșiși valorile . Iată acea definiție. ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}: = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$

Fie E un spațiu vector și o funcție. Spunem că este direcțional diferențiat în direcție dacă limita din definiția de mai jos există în : ${\ displaystyle f: E \ to {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ $f$ $x \ în E$ $d \ în E$ $f '(x; d)$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$

$f '(x; d): = \ lim_ {t \ to 0, t> 0} \, \ frac {f (x + td) -f (x)} {t}.$

Această definiție este motivată de următorul rezultat care asigură diferențialitatea direcțională a funcțiilor convexe, în toate direcțiile. Am notat acolo

${\ displaystyle \ operatorname {dom} \, f: = \ {x \ în E \ mid f (x) <+ \ infty \}}$ domeniului efectiv al ; $f$
${\ displaystyle \ operatorname {aff} {(C)}}$ a rafinează plic a unei părți ; ${\ displaystyle C \ subset E}$
${\ displaystyle \ operatorname {ir} {(C)}}$ interiorul relativ al unei convex . ${\ displaystyle C \ subset E}$

Derivată direcțională a unei funcții convexe - Fie E un spațiu vectorial, o funcție convexă, un punct astfel încât să fie finit și . Asa de ${\ displaystyle f: E \ to {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ $x \ în E$ $f (x)$ $d \ în E$

funcţie ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ mapsto {\ frac {f (x + td) -f (x)} {t}} \ in {\ overline {\ mathbb { R}}}}$ creste;
$f '(x; d)$ există în (este posibil sau ); ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ $- \ infty$ $+ \ infty$
$f '(x; d)$ este valabil dacă și numai dacă pentru toate ; $+ \ infty$ $x + td \ not \ in \ operatorname {dom} \, f$ $t> 0$
$f '(x; d) \ geqslant-f' (x; -d)$ ; în special, dacă merită unul dintre cele două instrumente derivate direcționale sau valorează celălalt ; $f '(x; d)$ $f '(x; -d)$ $- \ infty$ $+ \ infty$
funcția este sub-liniară (în special convexă); ${\ displaystyle \ delta _ {x}: d \ in E \ mapsto f '(x; d) \ in {\ overline {\ mathbb {R}}}}$
dacă , atunci X∈ir(domf){\ displaystyle x \ in \ operatorname {ir} \, (\ operatorname {dom} \, f)} ${\ displaystyle x \ in \ operatorname {ir} \, (\ operatorname {dom} \, f)}$
- domeniul de este subspațiul vectorial al E paralele , $\ delta _ {x}$ $E_0$ $\ operatorname {aff} (\ operatorname {dom} \, f)$
- în cazul în care , în plus, E este un spațiu vectorial normalizat, funcția este Lipschitzian pe . $\ delta _ {x}$ $E_0$

Acest rezultat este utilizat pentru a defini sub-diferențialul unei funcții convexe.

Derivat direcțional în sensul lui Hadamard

Fie E un spațiu vectorial, F un spațiu vector normalizat și o funcție. Noi spunem că $f$ este directional diferențiabilă în sensul Hadamard în în direcția dacă limita în definiția există mai jos în F : $f: E \ to F$ $x \ în E$ $d \ în E$ $f '_ {H} (x; d)$

$f '_ {H} (x; d): = \ lim _ {\ scriptstyle t \ to 0, t> 0 \ atop \ scriptstyle d' \ to d} \, \ frac {f (x + td ') - f (x)} {t}.$

Derivată direcțională în sensul lui Clarke

Prezentarea de mai jos se bazează pe lucrarea lui Clarke (1983).

Definiție

Fie E un spațiu Banach și o funcție. Derivata Clarke a $f$ în $x$ în direcția este notat și definită de $f: E \ to \ R$ $d \ în E$ $f ^ \ circ (x; d)$

$f ^ \ circ (x; d): = \ limsup _ {\ scriptstyle x '\ to x \ atop \ scriptstyle t \ to 0, t> 0} \, \ frac {f (x' + td) -f ( x ')} {t}.$

Acest derivat nu presupune existența unei limite; există încă, dar poate lua totuși o valoare infinită. Utilitatea acestei derivate direcționale se bazează pe următoarele proprietăți.

Proprietăți elementare - Dacă este Lipschitzian cu modul într-un vecinătate de , atunci $f$ $L$ $X$

funcția ia valori finite, este pozitiv omogenă , subadditivă , modul Lipschitzian și avem $d \ in E \ mapsto f ^ \ circ (x; d)$ $L$ $\ forall \, d \ in E: \ quad | f ^ \ circ (x; d) | \ leqslant L \ | d \ |;$
funcția este semi-continuă mai sus ; $(x, d) \ în E ^ 2 \ mapsto f ^ \ circ (x; d)$
pentru toate , avem . $d \ în E$ $f ^ \ circ (x; -d) = (- f) ^ \ circ (x; d)$

Derivata direcțională Clarke este utilizată pentru a defini subdiferențialul Clarke al unei funcții Lipschitzian local.

Diferențialitate strictă

Conceptul de diferențialitate legat în mod natural de derivatul direcțional al lui Clarke este cel de diferențialitate strictă, pe care îl găsim în Bourbaki . Funcția considerată poate fi aici cu valori într-un spațiu vectorial, nu numai în ; am marcat acest fapt desemnându-l cu $F$ , mai degrabă decât cu $f$ . $\ mathbb {R}$

Fie și să fie două spații Banach. O funcție este numită strict diferențiată în cazul în care aplicația $\ mathbb {E}$ $\ mathbb {F}$ $F: \ mathbb {E} \ to \ mathbb {F}$ $x \ in \ mathbb {E}$

$D_sF (x): d \ in \ mathbb {E} \ mapsto \ lim _ {\ scriptstyle x '\ to x \ atop \ scriptstyle t \ to 0, t> 0} \, \ frac {F (x' + td ) -F (x ')} {t} \ in \ mathbb {F}$

este liniar continuu și limita este uniformă pentru $d$ într-un compact arbitrar.

Următorul rezultat oferă două informații: pe de o parte, o funcție strict diferențiată la un punct este neapărat lipischitziană într-un vecinătate a acestui punct și, pe de altă parte, pentru o funcție Lipschitziană, este asigurată diferențierea strictă la un punct. fără a fi nevoie să verificați starea convergenței uniforme pentru direcții într-un compact.

Diferențialitate strictă și lipschitzianitate - Fie o funcție definită în vecinătatea unui punct și un operator liniar continuu în . Apoi următoarele două proprietăți sunt echivalente: $F: \ mathbb {E} \ to \ mathbb {F}$ $x \ in \ mathbb {E}$ $\ delta$ $\ mathbb {E}$ $\ mathbb {F}$

$F$ este strict diferențiat în și ; $X$ $D_sF (x) = \ delta$
$F$ este Lipschitzian într-un cartier al și $X$

$\ forall \, d \ in \ mathbb {E}: \ quad \ lim _ {\ scriptstyle x '\ to x \ atop \ scriptstyle t \ to 0, t> 0} \, \ frac {F (x' + td ) -F (x ')} {t} = \ delta (d).$

O funcție Gateaux diferențiată în mod continuu este strict diferențiată.

Gateaux și diferențialitate strictă - O funcție $F$ continuu Gateaux-diferențiat în $x$ este strict diferențiat în $x$ (prin urmare, lipsiteză în vecinătatea lui $x$ ) și . $D_GF (x) = D_sF (x)$

Funcție definită pe o varietate

Definiție

Să $f$ o funcție reală pe un colector diferențial M . Cu o definiție similară celei anterioare, este posibil să se introducă derivata lui $f$ într-un punct $m$ al lui M și în direcția unui vector tangent $h$ în $m$ la varietate. Deoarece noțiunea de linie dreaptă direcționată de $h$ nu mai are nicio semnificație, trebuie înlocuită de o curbă care trece prin $m$ și de vectorul tangent $h$ în acest punct.

Fie γ o curbă trasată pe M , diferențiată continuu, verificând $γ (0) = m$ și $γ '(0) = h$ . Dacă derivata la 0 a $f \circγ$ există, se numește derivata lui $f$ în punctul $m$ în direcția $h$ . Se arată de fapt că această definiție nu depinde de curba adecvată γ aleasă.

Extensie: derivat al Lie

Dacă $X$ este un câmp vector pe colectorul M și dacă $f$ este o funcție numerică pe M , este posibil să se calculeze derivatele parțiale ale lui $f$ la fiecare punct $p în$ conformitate cu vectorul $X$ $($ $p$ $)$ . Funcția obținută luând în considerare toți acești derivați se înregistrează și se numește derivat Lie de $f$ de $X$ . ${\ mathcal C} ^ \ infty$ ${\ mathcal C} ^ \ infty$ $X \ cdot f = {\ mathcal L} _X f$

Pentru a calcula derivata Lie a lui f , în special este posibil să se ia pentru curbe tangente vectorilor X (p) curbele integrale ale câmpului vectorial. Generalizarea acestui punct de vedere la derivarea câmpurilor vectoriale, a formelor diferențiale și a tensorilor este descrisă în articolul „ Derivată Lie ”.

Note și referințe

F. Reinhardt și H. Soeder ( trad. Din germană), Atlas of Mathematics , Paris, Librairie générale française, col. „ Pochothèque ”, 1997, 502 p. ( ISBN 2-253-13013-3 ) , „Calcul diferențial”, p. 321.
Michel Berliaire, „ Introducere în optimizarea diferențiată ” , PPUR ,2006, p. 35 și următoarele.
René Gateaux folosește acest concept fără a intra cu adevărat în el în Sur les functionelles continues et les functionelles analytiques , CRAS, vol. 157, 1913, p. 325-327 și Despre diverse întrebări de calcul funcțional , Bull. SMF, 50, 1-37, 1922 .
(în) FH Clarke , Optimization and Analysis Nonsmooth , New York, John Wiley & Sons ,1983.

Vezi și tu

Michel Delfour, Introducere în optimizare și calcul semi-diferențial , Dunod ,2012( citiți online ) , p. 88-92 : Exemple și contra-exemple