Scara lui Cantor

Funcția Cantor , sau scara diavolului este graficul unei funcții $f$ continuă să crească pe $[0, 1]$ , astfel încât $f (0) = 0$ și $f (1) = 1$ , care este diferențiat aproape peste tot , derivata fiind aproape peste tot zero. Cu toate acestea, aceasta este o funcție continuă , dar nu absolut continuă .

Câteva memento-uri de analiză de bază

Să $f să fie$ o funcție continuă pe un interval $I$ ⊂ ℝ, cu derivatul $f '$ . Dacă $f '$ este zero peste $I$ , atunci $f$ este constantă . Aceasta este o consecință imediată a teoremei incrementului finit .

Scara lui Cantor arată că concluzia este falsă dacă presupunem doar că $f '$ dispare aproape peste tot.

Cu toate acestea, sunt disponibile următoarele rezultate:

dacă $f$ este continuu și dacă derivata sa există și dispare pe complementul unei mulțimi numărabile , atunci $f$ este constantă (conform lemei Cousin sau inegalității incrementelor finite );
dacă $f$ este Lipschitzian (sau mai general: absolut continuu ) și dacă derivata sa există și dispare aproape peste tot, atunci $f$ este constantă (cf. § „Funcția Lipschitziană cu derivată zero aproape peste tot” a articolului despre lema Cousin).

Constructie

Urmăm pas cu pas construcția setului Cantor K 3 .

Luăm $f 0 ( x ) = x$ . Funcția $f 1$ este funcția continuă afină în bucăți, care este egală cu 0 în 0, 1 în 1 și $1 / 2$ pe $[1 / 3, 2 / 3]$ .

Trecem în același mod de la $f n$ la $f n +1$ prin înlocuirea $f n$ , pe fiecare interval $[ u , v ]$ unde nu este constant, prin funcția continuă afină de bucăți care este valabilă pe treimea centrală a intervalului $[$ $u$ $,$ $v$ $]$ . ${\ displaystyle {\ frac {f_ {n} (u) + f_ {n} (v)} {2}}}$

Apoi verificăm asta pentru orice , ceea ce arată că seria funcțiilor converge uniform și, prin urmare, că secvența $f$ $n$ converge uniform. Funcția limită $f$ este continuă, monotonă și avem $f$ $(0) = 0$ și $f$ $(1) = 1$ așa cum sa menționat. Mai mult, $f$ are o derivată zero pe complementul setului Cantor K 3 , deoarece acest complement este o uniune de intervale pe care $f$ , prin construcție, este constantă (de unde și numele de scară!) ${\ displaystyle x, \ vert f_ {n + 1} (x) -f_ {n} (x) \ vert \ leq 2 ^ {- n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} (f_ {n + 1} -f_ {n})}$

Ce ne învață acest exemplu?

Este adevărat (cf. „Generalizarea primei teoreme fundamentale a analizei ”) că dacă $f$ este o funcție măsurabilă mărginită de ℝ, funcția este aproape oriunde diferențiată și derivată $f$ . Dar este greșit că orice funcție diferențiată aproape oriunde este egală cu integrala derivatei sale, chiar dacă aceasta din urmă este integrabilă . Iată ce ne învață scara Cantor. Pentru a obține rezultate satisfăcătoare la această întrebare, este necesar să se introducă noțiunea de continuitate absolută (cf. „ A doua teoremă fundamentală a analizei ”). ${\ displaystyle x \ mapsto \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, {\ rm {d}} t}$
Scara lui Cantor este un exemplu de funcție continuă a cărei derivată există aproape peste tot, dar nu coincide cu derivata în sensul distribuțiilor . Acest fenomen binecunoscut în cazul funcțiilor discontinue (funcții indicator de exemplu) este mai puțin intuitiv în cazul continuu.
Scara lui Cantor este funcția de distribuție a unei variabile reale aleatorii a legii difuze , legea lui Cantor , care nu este densitatea și care este chiar străină de măsura lui Lebesgue . În acest asemenea, acesta este un interesant (contra) exemplu . Putem arăta pur și simplu o variabilă reală aleatorie X luată la întâmplare între 0 și 1 a cărei funcție de distribuție este scara Cantor: este suficient să trasăm la întâmplare cifrele succesive (0, 1 sau 2) ale expansiunii de bază a lui X într-o oarecum mod special, și anume prin extrageri independente echipabile, restricționate la 0 sau 2, numărul 1 fiind exclus.

Note și referințe

Contrar a ceea ce se credea demonstrează Harnack vezi (în) Thomas Hawkins , Teoria integrării lui Lebesgue : originile și dezvoltarea sa , AMS ,2001, A 2 -a ed. ( 1 st ed. 1970) ( citit on - line ) , „Dezvoltarea Cantor a Teoria mulțimilor și aplicarea sa la teoria integrării “ , pag. 71-79și p. 60 și Axel Harnack, „ Fourier Series Theory ”, Buletin de științe matematice și astronomice , vol. 6, n o 1,1882, p. 242-260 ( citește online ), Teorema III p. 247 .

Vezi și tu

Articole similare

Link extern

Scara Diavolului pe mathcurve.com

Bibliografie

G. Cantor, „ Despre puterea seturilor perfecte de puncte ”, Acta Math. , vol. 4,1884, p. 381-392 ( DOI 10.1007 / BF02418423 )
(de) Ludwig Scheeffer (de) , „ Allgemeine Untersuchungen über Rectification der Curven ” , Acta Math. , vol. 5,1884, p. 49-82 ( DOI 10.1007 / BF02421552 )