În matematică și mai precis în analiză , definim, pentru funcții definite pe un interval mărginit, noțiunea de funcție absolut continuă , puțin mai puternică decât noțiunea de funcție uniformă continuă și care garantează proprietăți bune de integrare; este asociat și cu noțiunea de măsurare absolut continuă .
Primul Teorema fundamentală a analizei are drept consecință faptul că orice continuu funcție f peste un interval real , este egală cu derivata funcției sale integrale F (în sensul de Riemann ) definit de . În cadrul mai general al integralei Lebesgue , o funcție L 1 este aproape peste tot egală cu derivata integralei sale.
Pe de altă parte, o funcție F continuă și aproape oriunde diferențiată poate să nu fie egală cu integrala derivatei sale, chiar dacă această derivată este L 1 . Luați în considerare, de exemplu, scara Cantor sau funcția Minkowski : aceste două funcții sunt derivabile aproape peste tot, cu derivate aproape peste tot zero; deci integralul derivatei lor este zero. Acest fenomen a fost bine cunoscut în cazul funcțiilor discontinue (funcții indicator de exemplu), dar mai puțin intuitiv în cazul continuu, ceea ce a condus la noțiunea de continuitate absolută: o funcție absolut continuă este continuă și, în plus, egală cu integrala derivatei sale.
Să fiu eu un interval real. Spunem că o funcție F : I → ℝ este absolut continuă dacă, pentru orice ε> 0 real , există un δ> 0 astfel încât, pentru orice secvență finită de subintervaluri ale lui I cu interioare disjuncte,
Pentru o funcție a mai multor variabile , există diverse noțiuni de continuitate absolută.
Orice funcție Lipschitziană pe [ a , b ] este absolut continuă.
Funcția continuă care are pentru grafic scara diavolului nu este absolut continuă: imaginea setului Cantor , care este de măsură zero, este în totalitate [0,1] .
Nici funcția semnului întrebării nu este absolut continuă, deoarece are o derivată zero aproape peste tot. De asemenea, putem arăta că trimite un set de măsuri 0 pe un set de măsuri 1.
Fie μ și ν două măsuri complexe pe un spațiu măsurabil .
Spunem că ν este absolut continuu față de μ dacă pentru orice set măsurabil A :
ce notăm .
Radon-Nikodym teorema dă o altă caracterizare în cazul în care μ este pozitivă și σ -finite , iar ν este complex și σ -finite: atunci există f o funcție măsurabilă astfel încât dν = f dμ . Funcția f se numește densitatea măsurii ν față de măsura μ .
O funcție F este locală absolut continuă dacă și numai dacă distribuția sa derivată este o măsură absolut continuă față de măsura Lebesgue. De exemplu, o măsură μ mărginită de setul de borelieni ai liniei reale este absolut continuă în raport cu măsura Lebesgue dacă și numai dacă funcția de distribuție asociată
este local o funcție absolut continuă.
Teorema diferențierii Lebesgue
Walter Rudin , Analiza reală și complexă [ detaliile edițiilor ]
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">