Deconvoluția Wiener

Wiener deconvoluțiune este o operație matematică aplicarea unui filtru Wiener pentru a elimina sau atenua o parte din zgomot într - un semnal. Funcționează în domeniul frecvenței, încercând să minimizeze impactul zgomotului în cazul în care raportul semnal-zgomot este slab.

Această metodă este potrivită nu numai pentru sunet, ci și pentru imagini , deoarece spectrul de frecvență al majorității imaginilor vizuale este adesea bine condiționat și poate fi estimat cu ușurință.

Își ia numele de la matematicianul Norbert Wiener .

Definiție

Având în vedere un sistem:

{\ displaystyle \ y (t) = h (t) * x (t) + v (t)}

unde denotă convoluția și: $*$

$x ( t )$ este un semnal de intrare (necunoscut) la ora t.
$h ( t )$ este răspunsul de impuls cunoscut al unui sistem liniar invariant în timp.
$v ( t )$ este un zgomot aditiv necunoscut, independent de $x ( t )$ .
$y ( t )$ este semnalul observat.

Scopul este de a găsi un $g ( t )$ astfel încât să putem estima $x ( t )$ după cum urmează:

{\ displaystyle \ {\ hat {x}} (t) = g (t) * y (t)}

unde este o estimare a $x$ $($ $t$ $)$ care minimizează eroarea pătrată medie a rădăcinii . ${\ displaystyle \ {\ hat {x}} (t)}$

Filtrul Wiener furnizează un astfel de $g ( t )$ . Filtrul este mai ușor de descris în domeniul frecvenței :

{\ displaystyle \ G (f) = {\ frac {H ^ {*} (f) S (f)} {| H (f) | ^ {2} S (f) + N (f)}}}

$G ( f )$ și $H ( f )$ sunt transformatele Fourier ale $g$ și $h$ , respectiv la frecvența $f$ .
$S ( f )$ este densitatea spectrală medie a puterii semnalului de intrare $x ( t )$ .
$N ( f )$ este densitatea spectrală medie a puterii zgomotului $v ( t )$
exponentul denotă conjugarea complexă. ${\ displaystyle {} ^ {*}}$

Operația de filtrare poate fi efectuată fie în domeniul orar, ca mai sus, fie în domeniul frecvenței:

{\ displaystyle \ {\ hat {X}} (f) = G (f) Y (f)}

unde este transformata Fourier a . Apoi este suficient să luați transforma Fourier inversă pentru a obține . ${\ displaystyle \ {\ hat {X}} (f)}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}} (t)}$ ${\ displaystyle \ {\ hat {X}} (f)}$ ${\ displaystyle \ {\ hat {x}} (t)}$

Acest lucru se aplică în cazul imaginilor, prin înlocuirea variabilelor $t$ și $f$ cu echivalentul lor bidimensional.

Interpretare

Cum funcționează filtrul Wiener devine evident atunci când ecuația filtrului de mai sus este rescrisă:

{\ displaystyle {\ begin {align} G (f) & = {\ frac {1} {H (f)}} \ left [{\ frac {| H (f) | ^ {2}} {| H ( f) | ^ {2} + {\ frac {N (f)} {S (f)}}} \ right] \\ & = {\ frac {1} {H (f)}} \ left [{ \ frac {| H (f) | ^ {2}} {| H (f) | ^ {2} + {\ frac {1} {\ mathrm {SNR} (f)}}}} \ right] \ end {aliniat}}}

Aici, $1 / H ( f )$ este inversul sistemului original, iar $SNR ( f ) = S ( f ) / N ( f )$ este raportul semnal / zgomot . Când zgomotul este neglijabil, termenul dintre paranteze pătrate este egal cu 1, ceea ce înseamnă că filtrul Wiener este pur și simplu inversul sistemului, așa cum ne-am aștepta. Cu toate acestea, pe măsură ce zgomotul crește la anumite frecvențe, raportul semnal / zgomot scade, deci și termenul dintre paranteze pătrate scade. Aceasta înseamnă că filtrul Wiener atenuează frecvențele în funcție de raportul lor semnal-zgomot.

Ecuația filtrului Wiener de mai sus necesită cunoașterea conținutului spectral al unei imagini tipice și a zgomotului. De multe ori nu avem acces la aceste cantități exacte, dar putem fi într-o situație în care se pot face estimări bune. De exemplu, în cazul imaginilor fotografice, semnalul (imaginea originală) are în general o frecvență joasă puternică și o frecvență înaltă joasă și, în multe cazuri, conținutul de zgomot va fi relativ plat cu frecvența.

Derivare

După cum s-a menționat mai sus, căutăm o estimare a semnalului original care minimizează eroarea pătrată medie a rădăcinii, care poate fi exprimată după cum urmează:

{\ displaystyle \ \ epsilon (f) = \ mathbb {E} \ left | X (f) - {\ hat {X}} (f) \ right | ^ {2}}

unde denotă speranță. ${\ displaystyle \ \ mathbb {E}}$

Dacă înlocuim cu expresia obținută anterior, obținem: ${\ displaystyle \ {\ hat {X}} (f)}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ epsilon (f) & = \ mathbb {E} \ left | X (f) -G (f) Y (f) \ right | ^ {2} \\ & = \ mathbb {E} \ left | X (f) -G (f) \ left [H (f) X (f) + V (f) \ right] \ right | ^ {2} \\ & = \ mathbb {E} \ left | \ left [1-G (f) H (f) \ right] X (f) -G (f) V (f) \ right | ^ {2} \ end {align}}}

de unde :

{\ displaystyle {\ begin {align} \ epsilon (f) & = \ left [1-G (f) H (f) \ right] \ left [1-G (f) H (f) \ right] ^ { *} \, \ mathbb {E} | X (f) | ^ {2} \\ & \ qquad - \ left [1-G (f) H (f) \ right] G ^ {*} (f) \ , \ mathbb {E} \ left \ {X (f) V ^ {*} (f) \ right \} \\ & \ qquad -G (f) \ left [1-G (f) H (f) \ dreapta] ^ {*} \, \ mathbb {E} \ left \ {V (f) X ^ {*} (f) \ right \} \\ & \ qquad + G (f) G ^ {*} (f ) \, \ mathbb {E} | V (f) | ^ {2} \ end {align}}}

Cu toate acestea, se presupune că zgomotul este independent de semnal, deci:

{\ displaystyle \ \ mathbb {E} {\ Big \ {} X (f) V ^ {*} (f) {\ Big \}} = \ mathbb {E} {\ Big \ {} V (f) X ^ {*} (f) {\ Big \}} = 0}

De asemenea, definim densitatea spectrală de putere după cum urmează:

{\ displaystyle {\ begin {align} S (f) & = \ mathbb {E} | X (f) | ^ {2} \\ N (f) & = \ mathbb {E} | V (f) | ^ {2} \ end {align}}}

În consecință, obținem:

{\ displaystyle \ epsilon (f) = \ left [1-G (f) H (f) \ right] \ left [1-G (f) H (f) \ right] ^ {*} S (f) + G (f) G ^ {*} (f) N (f)}

Pentru a cunoaște valoarea minimă a erorilor, încercăm să anulăm derivatul în raport cu $G ( f )$ . Deoarece aceasta este o valoare complexă, $G * ( f )$ acționează ca o constantă.

{\ displaystyle \ {\ frac {\ mathrm {d} \ epsilon (f)} {\ mathrm {d} G (f)}} = G ^ {*} (f) N (f) -H (f) \ stânga [1-G (f) H (f) \ dreapta] ^ {*} S (f) = 0}

Această egalitate finală poate fi rearanjată pentru a da filtrul Wiener.

Referințe

(ro) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul din Wikipedia în engleză intitulat „ Wiener deconvolution ” ( vezi lista autorilor ) .
Rafael Gonzalez, Richard Woods și Eddins Steven, Prelucrarea digitală a imaginii folosind MATLAB , Prentice Hall, 2003

Vezi și tu

Articole similare

linkuri externe

(ro) Deconvoluția oarbă (compararea diferitelor metode de deconvoluție)
(ro) Deconvoluție cu filtre invers și Weiner