Dualitate Hodge

În algebra liniară , operatorul Hodge , introdus de William Vallance Douglas Hodge , este un operator pe algebra exterioară a unui spațiu vectorial euclidian orientat . De obicei este notat cu o stea care precede elementul la care se aplică operatorul. Vorbim astfel de steaua lui Hodge . Dacă dimensiunea spațiului este n , operatorul stabilește o corespondență între vectorii k și vectorii ( n - k ), numită dualitatea Hodge .

În geometria diferențială , operatorul Hodge poate fi extins la pachete vectoriale Riemanniene direcționate. Aplicat spațiului cotangent al varietăților Riemanniene orientate, operatorul Hodge permite definirea unei norme L 2 pe spațiul formelor diferențiale. Codifferențialul este apoi definit ca forma adjuvantă a derivatului extern . Această codiferență intervine în special în definirea formelor armonice .

Definiție

Operator Hodge pe k -vectori

Fie E un spațiu vectorial euclidian orientat de dimensiune finită n . Subspațiile și ale k -vectors și ale nk vectorii sunt de aceeași dimensiune, și anume coeficientul binomial . Este posibil să se definească un izomorfism liniar notat * între aceste două spații și numit operator Hodge . ∧kE{\ displaystyle \ wedge ^ {k} E}∧nu-kE{\ displaystyle \ wedge ^ {nk} E} (nuk){\ displaystyle n \ alege k}

Pentru orice bază ortonormală directă , e1,e2,...,enu{\ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, \ ldots, e_ {n}}

∗(e1∧e2∧...∧ek)=ek+1∧ek+2∧⋯∧enu.{\ displaystyle * (e_ {1} \ wedge e_ {2} \ wedge \ ldots \ wedge e_ {k}) = e_ {k + 1} \ wedge e_ {k + 2} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {n }.}

Apoi se extinde prin liniaritate la toată algebra exterioară. Această definiție nu este foarte satisfăcătoare deoarece implică baze, chiar dacă se poate arăta că definiția nu depinde de baza ortonormală directă aleasă. Cu toate acestea, are avantajul de a descrie bine comportamentul operatorului Hodge sub forma completării ortonormale a bazei directe.

O definiție mai potrivită constă în provocarea formei de volum ω a spațiului euclidian E orientat spre vector . Dualul Hodge este obținut prin efectuarea contracției

∗X=⟨ω,X⟩{\ displaystyle \; * \; X = \ langle \ omega, X \ rangle}

Dualitate

Pentru un k -vector al spațiului E de dimensiunea n , aplicarea operatorului Hodge de două ori dă identitatea, până la semn η∈Λk(E){\ displaystyle \ eta \ in \ Lambda ^ {k} (E)}

∗∗η=(-1)k(nu-k)η{\ displaystyle ** \ eta = (- 1) ^ {k (nk)} \; \ eta}

Aplicații

Produs punctat pe algebra exterioară

Operatorul Hodge permite definirea unui produs scalar pe algebra exterioară prin relație

ζ∧∗η=⟨ζ|η⟩∗1=⟨ζ|η⟩ω¯{\ displaystyle \ zeta \ wedge * \ eta = \ langle \ zeta | \ eta \ rangle \; * 1 = \ langle \ zeta | \ eta \ rangle \; {\ overline {\ omega}}}

Produs scalar, k -vecteurs obținute de produs exterior de la bază ortonormală E este o bază ortonormală de Λ E .

Codifferențial

Extindere la spații pătratice

Este posibil să se definească un operator Hodge pentru un spațiu pătratic . Dualitatea formulei este apoi modificat în contul pentru semnarea a formei pătratice pe E . Tocmai, înmulțim al doilea membru cu discriminantul acestei forme pătratice. Deci, dacă n = 4 și dacă semnătura este (+, -, -, -) sau (-, +, +, +), exponentul este k (nk) +1 .

Bibliografie

• (ro) Jürgen Jost , Riemannian Geometry and Geometric Analysis ,2002[ detaliu ediții ]
• (ro) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin și Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [ detaliu ediție ]
• (ro) Marcel Berger , A Panoramic View of Riemannian Geometry ,2003[ detaliul ediției ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">