Legea lui Poisson
Legea lui Poisson
|
|
Funcția de masă Funcțiile de masă sunt definite numai pentru numerele întregi k .
|
Funcția de distribuție
|
|
Setări
|
λ∈]0,+∞[{\ displaystyle \ lambda \ in {}] 0, + \ infty [}![\ lambda \ in {}] 0, + \ infty [](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d64752215a3200cc640a035056f6d840f009fe0b) |
---|
A sustine
|
NU{\ displaystyle \ mathbb {N}}
|
---|
Funcția de masă
|
e-λλkk!{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {k}} {k!}} \!}
|
---|
Funcția de distribuție
|
Γ(⌊k+1⌋,λ)⌊k⌋! pentru k≥0{\ displaystyle {\ frac {\ Gamma (\ lfloor k + 1 \ rfloor, \ lambda)} {\ lfloor k \ rfloor!}} \! {\ text {for}} k \ geq 0}
(unde este funcția gamma incompletă ) și unde este partea integrală implicită a lui xΓ(X,y){\ displaystyle \ Gamma (x, y)} ⌊X⌋{\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}
|
---|
Speranţă
|
λ{\ displaystyle \ lambda \,}
|
---|
Median
|
despre ⌊λ+1/3-0,02/λ⌋{\ displaystyle {\ text {aproximativ}} \ lfloor \ lambda + 1 / 3-0.02 / \ lambda \ rfloor}
|
---|
Modă
|
⌊λ⌋{\ displaystyle \ lfloor \ lambda \ rfloor} dacă este un real care nu este întreg,
λ{\ displaystyle \ lambda}![\ lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a) λ{\ displaystyle \ lambda} iar dacă este un număr întreg
λ-1{\ displaystyle \ lambda -1} λ{\ displaystyle \ lambda}![\ lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
|
---|
Varianța
|
λ{\ displaystyle \ lambda \,}
|
---|
Asimetrie
|
λ-1/2{\ displaystyle \ lambda ^ {- 1/2} \,}
|
---|
Curtoză normalizată
|
λ-1{\ displaystyle \ lambda ^ {- 1} \,}
|
---|
Entropie
|
λ[1-Buturuga(λ)]+e-λ∑k=0∞λkButuruga(k!)k!.{\ displaystyle \ lambda [1 \! - \! \ log (\ lambda)] \! + \! \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda ^ {k} \ log (k!)} {k!}}.}
Pentru mari:
λ{\ displaystyle \ lambda}![\ lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
12Buturuga(2πeλ)-112λ-124λ2-19360λ3+O(1λ4){\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {2}} \ log (2 \ pi \ mathrm {e} \ lambda) - {\ frac {1} {12 \ lambda}} - {\ frac {1} { 24 \ lambda ^ {2}}} - {\ frac {19} {360 \ lambda ^ {3}}} + O \ left ({\ frac {1} {\ lambda ^ {4}}} \ right)}
|
---|
Funcție generatoare de momente
|
exp(λ(et-1)){\ displaystyle \ exp (\ lambda (e ^ {t} -1))}
|
---|
Funcția caracteristică
|
exp(λ(eeut-1)){\ displaystyle \ exp (\ lambda (\ mathrm {e} ^ {it} -1)) \,}
|
---|
Funcția generator de probabilități
|
exp(λ(t-1)){\ displaystyle \ exp (\ lambda (t-1))}
|
---|
În teoria probabilității și statisticile , legea lui Poisson este o lege discretă a probabilității care descrie comportamentul numărului de evenimente care apar într-un interval de timp fixat, dacă aceste evenimente apar cu o frecvență sau o așteptare medie cunoscută și indiferent de timpul scurs de la eveniment.
Legea lui Poisson este de asemenea relevantă pentru descrierea numărului de evenimente în alte tipuri de intervale, mai degrabă spațiale decât temporale, cum ar fi segmente, zone sau volume.
Istorie
Legea lui Poisson a fost introdusă în 1838 de Denis Poisson (1781–1840), în lucrarea sa Recherches sur la probability des judments in penal and civil questions . Subiectul principal al acestei cărți constă din anumite variabile aleatorii care contează, printre altele, numărul de apariții (uneori numite „sosiri”) care au loc într-o anumită perioadă de timp.
Definiție
Dacă numărul mediu de apariții într-un interval de timp fixat este λ , atunci probabilitatea ca să existe exact k apariții ( k fiind un număr întreg natural , k = 0, 1, 2 ... ) este
p(k)=P(X=k)=λkk!e-λ{\ displaystyle p (k) = \ mathbb {P} (X = k) = {\ frac {\ lambda ^ {k}} {k!}} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda}}
sau:
Spunem apoi că X urmează legea Poisson a parametrului λ , notat .
X∼Mazăre(λ){\ displaystyle X \ sim \ operatorname {Pois} \ left (\ lambda \ right)}![{\ displaystyle X \ sim \ operatorname {Pois} \ left (\ lambda \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7eba0f4e898a1210851f093d2661a30d42db8d)
De exemplu, dacă un anumit tip de eveniment apare în medie de 4 ori pe minut , pentru a studia numărul de evenimente care au loc într-o perioadă de 10 minute, alegem ca model o distribuție Poisson cu parametrul λ = 10 × 4 = 40 .
Calculul lui p ( k )
Acest calcul se poate face deductiv lucrând la o distribuție binomială a parametrilor ( T ;λ/T). Pentru T large, demonstrăm că legea binomială converge la legea Poisson.
Se poate face și inductiv studiind pe intervalul [0; T ] funcțiile F k ( t ) , care dau probabilitatea ca evenimentul să se producă de k ori în intervalul de timp [0; t ] . Folosind recurența și calculul diferențial, reușim să găsim formulele anterioare.
Proprietăți
De-a lungul acestei secțiuni X este o variabilă aleatorie care urmează o lege Poisson cu parametrul λ .
Momente și funcții generatoare
Momente obișnuite
Primele patru momente obișnuite ale unei distribuții Poisson sunt date de:
E[X]=λE[X2]=λ(1+λ)E[X3]=λ(1+3λ+λ2)E[X4]=λ(1+7λ+6λ2+λ3){\ displaystyle {\ begin {array} {lll} \ mathbb {E} [X] & = & \ lambda \\\ mathbb {E} [X ^ {2}] & = & \ lambda (1+ \ lambda) \\\ mathbb {E} [X ^ {3}] & = & \ lambda (1 + 3 \ lambda + \ lambda ^ {2}) \\\ mathbb {E} [X ^ {4}] & = & \ lambda (1 + 7 \ lambda +6 \ lambda ^ {2} + \ lambda ^ {3}) \ end {array}}}
Deducem varianța și deviația standard :
V(X)=λσ(X)=λ{\ displaystyle {\ begin {array} {lll} V (X) & = & \ lambda \\\ sigma (X) & = & {\ sqrt {\ lambda}} \ end {array}}}
Mai general, n - lea timp obișnuit un parametru Poisson λ esteE(Xnu)=∑k=0nuS(nu,k)λk{\ displaystyle \ mathbb {E} (X ^ {n}) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} S (n, k) \ lambda ^ {k}}
unde S ( n , k ) este numărul Stirling al celui de-al doilea tip de parametri și .
nu{\ displaystyle n}
k{\ displaystyle k}![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
În special atunci când n th momentul X corespunde cu N- lea număr Bell . Într-adevăr, aceasta este o consecință a formulei lui Dobiński .
λ=1{\ displaystyle \ lambda = 1}![\ lambda = 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/543b4490416437b7c80ea473bbcac0e4ab7a7f11)
Următoarea legătură mărește momentele unei distribuții Poisson:E[Xnu]≤kkln(kλ+1)≤λkek2λ{\ displaystyle \ mathbb {E} [X ^ {n}] \ leq {\ frac {k ^ {k}} {\ ln \ left ({\ frac {k} {\ lambda}} + 1 \ right)} } \ leq \ lambda ^ {k} e ^ {\ frac {k} {2 \ lambda}}}
Avem relația de recurență:E[Xnu]=λE[Xnu-1]+λ∂E[Xnu-1]∂λ{\ displaystyle \ mathbb {E} [X ^ {n}] = \ lambda \ mathbb {E} [X ^ {n-1}] + \ lambda {\ frac {\ partial \ mathbb {E} [X ^ { n-1}]} {\ partial \ lambda}}}
Momente centrate
Primele patru momente centrate ale unei distribuții Poisson sunt date de:
E[(X-λ)2]=λE[(X-λ)3]=λE[(X-λ)4]=λ(1+3λ)E[(X-λ)5]=λ(1+10λ){\ displaystyle {\ begin {array} {lll} \ mathbb {E} [(X- \ lambda) ^ {2}] & = & \ lambda \\\ mathbb {E} [(X- \ lambda) ^ { 3}] & = & \ lambda \\\ mathbb {E} [(X- \ lambda) ^ {4}] & = & \ lambda (1 + 3 \ lambda) \\\ mathbb {E} [(X- \ lambda) ^ {5}] & = & \ lambda (1 + 10 \ lambda) \ end {array}}}
Deducem asimetria și curtoza normalizată :
γ1(X)=1/λγ2(X)=1/λ{\ displaystyle {\ begin {array} {lll} \ gamma _ {1} (X) & = & 1 / {\ sqrt {\ lambda}} \\\ gamma _ {2} (X) & = & 1 / \ lambda \ end {array}}}
Avem relația de recurență:E[(X-λ)nu+1]=nuλE[(X-λ)nu-1]+λ∂E[(X-λ)nu]∂λ{\ displaystyle \ mathbb {E} [(X- \ lambda) ^ {n + 1}] = n \ lambda \ mathbb {E} [(X- \ lambda) ^ {n-1}] + \ lambda {\ frac {\ partial \ mathbb {E} [(X- \ lambda) ^ {n}]} {\ partial \ lambda}}}
Momente factoriale
R - lea momentul factorial al unei distribuții Poisson este
E((X)r)=λr{\ displaystyle \ mathbb {E} ((X) _ {r}) = \ lambda ^ {r}}
unde denotă factorialul descrescător .
(X)r=X(X-1)...(X-r+1){\ displaystyle (x) _ {r} = x (x-1) \ dots (x-r + 1)}![{\ displaystyle (x) _ {r} = x (x-1) \ dots (x-r + 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12110c48016a30f118c5afe909d0f5d7da317321)
Funcția generator de probabilități
Funcția de generare a probabilităților unei distribuții Poisson este
GX(t)≡E(tX)=eλ(t-1).{\ displaystyle G_ {X} (t) \ equiv \ mathbb {E} (t ^ {X}) = \ mathrm {e} ^ {\ lambda (t-1)}.}
Funcție generatoare de momente
Funcția generatoare a momentelor unei distribuții Poisson este
MX(t)≡E(etX)=exp(λ(et-1)).{\ displaystyle M_ {X} (t) \ equiv \ mathbb {E} (\ mathrm {e} ^ {tX}) = \ exp \ left (\ lambda (\ mathrm {e} ^ {t} -1) \ dreapta).}
Demonstrație
Fie X o variabilă aleatorie după o distribuție Poisson cu parametrul λ . Amintiți-vă că prin definiție .
P(X=k)=e-λλkk!{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} {\ frac {\ lambda ^ {k}} {k!}}}![{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} {\ frac {\ lambda ^ {k}} {k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326cd51e3c0fcd1d70cfd1e1bbc8488e0e2eacf5)
Speranţă
E(X)=∑k=1∞kP(X=k)=∑k=1∞ke-λλkk!=e-λ∑k=1∞λk(k-1)!=λe-λ∑k=1∞λk-1(k-1)!(recunoaștem întreaga serie de dezvoltare a eλ)=λe-λeλ=λ.{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {E} (X) & = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} k \, \ mathbb {P} (X = k) \\ & = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} k \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} {\ frac {\ lambda ^ {k}} {k!}} \\ & = \ mathrm {e } ^ {- \ lambda} \, \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda ^ {k}} {(k-1)!}} \\ & = \ lambda \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \, \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda ^ {k-1}} {(k-1)!}} \ qquad ({\ text {recunoaștem extinderea în serie a numărului întreg}} \ mathrm {e} ^ {\ lambda}) \\ & = \ lambda \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \, \ mathrm {e } ^ {\ lambda} \\ & = \ lambda. \ end {align}}}![{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {E} (X) & = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} k \, \ mathbb {P} (X = k) \\ & = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} k \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} {\ frac {\ lambda ^ {k}} {k!}} \\ & = \ mathrm {e } ^ {- \ lambda} \, \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda ^ {k}} {(k-1)!}} \\ & = \ lambda \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \, \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda ^ {k-1}} {(k-1)!}} \ qquad ({\ text {recunoaștem extinderea în serie a numărului întreg}} \ mathrm {e} ^ {\ lambda}) \\ & = \ lambda \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \, \ mathrm {e } ^ {\ lambda} \\ & = \ lambda. \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef2d285bd51d4761f405f3fdd6704f90ee635d5d)
Varianța
V(X)=E(X2)-(E(X))2=∑k=1∞k2P(X=k)-λ2=∑k=1∞k2e-λλkk!-λ2=λe-λ∑k=1∞kλk-1(k-1)!-λ2=λe-λ∑k=1∞ddλλk(k-1)!-λ2(întreaga serie având o rază infinită de convergență,=λe-λddλ∑k=1∞λk(k-1)!-λ2putem inversa suma și derivarea)=λe-λddλ[λ∑k=1∞λk-1(k-1)!]-λ2(recunoaștem întreaga serie de dezvoltare a eλ)=λe-λddλ[λeλ]-λ2=λe-λ(λ+1)eλ-λ2=λ(λ+1)-λ2=λ.{\ displaystyle {\ begin {align} V (X) & = \ mathbb {E} (X ^ {2}) - (\ mathbb {E} (X)) ^ {2} & \\ & = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} k ^ {2} \, \ mathbb {P} (X = k) - \ lambda ^ {2} & \\ & = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} k ^ {2} \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} {\ frac {\ lambda ^ {k}} {k!}} - \ lambda ^ {2} & \\ & = \ lambda \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \, {\ frac {k \ lambda ^ {k-1}} {(k-1)!} } - \ lambda ^ {2} & \\ & = \ lambda \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \, {\ frac {d} { d \ lambda}} {\ frac {\ lambda ^ {k}} {(k-1)!}} - \ lambda ^ {2} & \ qquad ({\ text {întreaga serie având o rază de convergență infinită,} } \\ & = \ lambda \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} {\ frac {d} {d \ lambda}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \, {\ frac {\ lambda ^ {k}} {(k-1)!}} - \ lambda ^ {2} & \ qquad {\ text {putem inversa suma și derivarea}}) \\ & = \ lambda \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} {\ frac {d} {d \ lambda}} \ left [\ lambda \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \, {\ frac {\ lambda ^ {k-1}} {(k-1)!}} \ right] - \ lambda ^ {2} & \ qquad ({\ text {recunoaștem expansiunea serială întreagă a}} \ mathrm {e} ^ {\ lambda}) \\ & = \ lambda \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} {\ frac {d} {d \ lambda}} [\ lambda \, \ mathrm {e} ^ {\ lambda}] - \ lambda ^ {2} & \\ & = \ lambda \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} (\ lambda +1) \, \ mathrm {e} ^ {\ lambda} - \ lambda ^ {2} & \\ & = \ lambda \, (\ lambda +1 ) - \ lambda ^ {2} & \\ & = \ lambda. & \ end {align}}}![{\ displaystyle {\ begin {align} V (X) & = \ mathbb {E} (X ^ {2}) - (\ mathbb {E} (X)) ^ {2} & \\ & = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} k ^ {2} \, \ mathbb {P} (X = k) - \ lambda ^ {2} & \\ & = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} k ^ {2} \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} {\ frac {\ lambda ^ {k}} {k!}} - \ lambda ^ {2} & \\ & = \ lambda \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \, {\ frac {k \ lambda ^ {k-1}} {(k-1)!} } - \ lambda ^ {2} & \\ & = \ lambda \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \, {\ frac {d} { d \ lambda}} {\ frac {\ lambda ^ {k}} {(k-1)!}} - \ lambda ^ {2} & \ qquad ({\ text {întreaga serie având o rază de convergență infinită,} } \\ & = \ lambda \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} {\ frac {d} {d \ lambda}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \, {\ frac {\ lambda ^ {k}} {(k-1)!}} - \ lambda ^ {2} & \ qquad {\ text {putem inversa suma și derivarea}}) \\ & = \ lambda \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} {\ frac {d} {d \ lambda}} \ left [\ lambda \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \, {\ frac {\ lambda ^ {k-1}} {(k-1)!}} \ right] - \ lambda ^ {2} & \ qquad ({\ text {recunoaștem expansiunea serială întreagă a}} \ mathrm {e} ^ {\ lambda}) \\ & = \ lambda \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} {\ frac {d} {d \ lambda}} [\ lambda \, \ mathrm {e} ^ {\ lambda}] - \ lambda ^ {2} & \\ & = \ lambda \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} (\ lambda +1) \, \ mathrm {e} ^ {\ lambda} - \ lambda ^ {2} & \\ & = \ lambda \, (\ lambda +1 ) - \ lambda ^ {2} & \\ & = \ lambda. & \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b8c275017a53b44357fe83f517049c0073b4052)
Funcția generator
Amintim că funcția generatoare a lui X este definită de
. Așa că primim:
GX(t)=E(tX){\ displaystyle G_ {X} (t) = \ mathbb {E} (t ^ {X})}![{\ displaystyle G_ {X} (t) = \ mathbb {E} (t ^ {X})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe976abfc0c9ddf6bc17a8ba5587b05761e6c97)
E(tX)=∑k=0∞tkP(X=k)=∑k=0∞tke-λλkk!=e-λ∑k=0∞tkλkk!=e-λ∑k=0∞(tλ)kk!(recunoaștem întreaga serie de dezvoltare a etλ)=e-λetλ=eλ(t-1).{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {E} (t ^ {X}) & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} t ^ {k} \ mathbb {P} (X = k ) \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} t ^ {k} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} {\ frac {\ lambda ^ {k}} {k!}} \\ & = \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} t ^ {k} {\ frac {\ lambda ^ {k}} {k!}} \ \ & = \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(t \ lambda) ^ {k}} {k!}} \ qquad ({ \ text {recunoaștem extinderea serială întreagă a}} \ mathrm {e} ^ {t \ lambda}) \\ & = \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ mathrm {e} ^ {t \ lambda} \\ & = \ mathrm {e} ^ {\ lambda (t-1)}. \ end {align}}}![{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {E} (t ^ {X}) & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} t ^ {k} \ mathbb {P} (X = k ) \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} t ^ {k} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} {\ frac {\ lambda ^ {k}} {k!}} \\ & = \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} t ^ {k} {\ frac {\ lambda ^ {k}} {k!}} \ \ & = \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(t \ lambda) ^ {k}} {k!}} \ qquad ({ \ text {recunoaștem extinderea serială întreagă a}} \ mathrm {e} ^ {t \ lambda}) \\ & = \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ mathrm {e} ^ {t \ lambda} \\ & = \ mathrm {e} ^ {\ lambda (t-1)}. \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2788fbc2951421494c25cc30c72269d2a50be320)
Funcție generatoare de momente
Amintim că funcția generator a momentelor lui X este definită de
. Așa că primim:
MX(t)=E(etX){\ displaystyle M_ {X} (t) = \ mathbb {E} (\ mathrm {e} ^ {tX})}![{\ displaystyle M_ {X} (t) = \ mathbb {E} (\ mathrm {e} ^ {tX})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4632d4bacfde848509262a8667d7cefa000d5bfe)
MX(t)=∑k=0∞etkP(X=k)=∑k=0∞etkλkk!e-λ=e-λ∑k=0∞(λet)kk!(recunoaștem întreaga serie de dezvoltare a eX evaluat în X=λet)=e-λeλet=eλ(et-1).{\ displaystyle {\ begin {align} M_ {X} (t) & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {tk} \ mathbb {P} (X = k) \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {tk} {\ frac {\ lambda ^ {k}} {k!}} \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \\ & = \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(\ lambda \, \ mathrm {e} ^ {t }) ^ {k}} {k!}} \ qquad ({\ text {recunoaștem extinderea întregii serii a}} \ mathrm {e} ^ {x} {\ text {evaluată în}} x = \ lambda \ mathrm {e} ^ {t}) \\ & = \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ mathrm {e} ^ {\ lambda \, \ mathrm {e} ^ {t}} \\ & = \ mathrm {e} ^ {\ lambda (\ mathrm {e} ^ {t} -1)}. \ end {align}}}![{\ displaystyle {\ begin {align} M_ {X} (t) & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {tk} \ mathbb {P} (X = k) \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {tk} {\ frac {\ lambda ^ {k}} {k!}} \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \\ & = \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(\ lambda \, \ mathrm {e} ^ {t }) ^ {k}} {k!}} \ qquad ({\ text {recunoaștem extinderea întregii serii a}} \ mathrm {e} ^ {x} {\ text {evaluată în}} x = \ lambda \ mathrm {e} ^ {t}) \\ & = \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ mathrm {e} ^ {\ lambda \, \ mathrm {e} ^ {t}} \\ & = \ mathrm {e} ^ {\ lambda (\ mathrm {e} ^ {t} -1)}. \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2abda6cde6c2eb4f96ad1548a896c770ae515c25)
Momente factoriale
E((X)r)=e-λ∑k=r∞k!(k-r)!λkk!=λre-λ∑k=r∞λk-r(k-r)!=λre-λ∑k=0∞λkk!=λr.{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {E} ((X) _ {r}) & = \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ sum _ {k = r} ^ {\ infty} { \ frac {k!} {(kr)!}} {\ frac {\ lambda ^ {k}} {k!}} \\ & = \ lambda ^ {r} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ sum _ {k = r} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda ^ {kr}} {(kr)!}} \\ & = \ lambda ^ {r} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda ^ {k}} {k!}} \\ & = \ lambda ^ {r}. \ end {align}}}![{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {E} ((X) _ {r}) & = \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ sum _ {k = r} ^ {\ infty} { \ frac {k!} {(kr)!}} {\ frac {\ lambda ^ {k}} {k!}} \\ & = \ lambda ^ {r} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ sum _ {k = r} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda ^ {kr}} {(kr)!}} \\ & = \ lambda ^ {r} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda ^ {k}} {k!}} \\ & = \ lambda ^ {r}. \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b092a0f5e316a1504b3bafc2a4371e625c8f58)
Momente
Numerele Stirling de al doilea fel verifică relația
Xnu=∑k=0nuS(nu,k)(X)k{\ displaystyle X ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} S (n, k) (X) _ {k}}![{\ displaystyle X ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} S (n, k) (X) _ {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df83fb26c17c918fcc81befc64fd8c7589615bf1)
.
Astfel, utilizând formula momentelor factoriale ale unei legi Poisson, precum și liniaritatea așteptării, concluzionăm că
E(Xnu)=∑k=0nuS(nu,k)λk{\ displaystyle \ mathbb {E} (X ^ {n}) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} S (n, k) \ lambda ^ {k}}![{\ displaystyle \ mathbb {E} (X ^ {n}) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} S (n, k) \ lambda ^ {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f76e70950b719bb85d7755b5c074aaf5f9b07a0)
.
Diagramă cu bare
Ca orice lege discretă a probabilității , o lege Poisson poate fi reprezentată printr-un grafic cu bare. Mai jos sunt prezentate diagramele de bare ale legilor Poisson ale parametrilor 1, 2 și 5.
Când parametrul legii lui Poisson λ devine mare, (practic când este mai mare de 5), diagrama sa de bare este corect aproximată de histograma unei legi normale de așteptare și varianță egală cu λ (intervalul de clasă l fiind egal cu unitate). Această convergență a fost profitată, înainte ca resursele informatice să devină răspândite, pentru a utiliza legea normală în locul legii Poisson în anumite teste.
Stabilitatea distribuției Poisson cu suma
Dacă variabilele { X i } i = 1, ..., n sunt independente și urmează o lege Poisson cu parametrii respectivi λ i , atunci suma lor urmează o lege Poisson cu parametru suma lui λ i :
Da=(∑eu=1nuXeu)∼Mazăre(∑eu=1nuλeu){\ displaystyle Y = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ right) \ sim \ operatorname {Pois} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} \ right)}
Demonstrație
Arătăm cazul n = 2 , cazurile superioare sunt deduse prin inducție.
Sa nu uiti asta
P(X1=nu)=λ1nunu!e-λ1 și P(X2=nu)=λ2nunu!e-λ2.{\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {1} = n) = {\ frac {{\ lambda _ {1}} ^ {n}} {n!}} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {1}} {\ text {și}} \ mathbb {P} (X_ {2} = n) = {\ frac {{\ lambda _ {2}} ^ {n}} {n!}} \ Mathrm { e} ^ {- {\ lambda _ {2}}}.}
Atunci avem
P(X+Da=nu)=∑k=0nuP({X1=k}∩{X2=nu-k})=∑k=0nuP(X1=k)P(X2=nu-k)=∑k=0nuλ1kk!e-λ1⋅λ2nu-k(nu-k)!e-λ2=e-λ1e-λ2nu!∑k=0nunu!k!(nu-k)!λ1kλ2nu-k=e-(λ1+λ2)nu!(λ1+λ2)nu{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {P} (X + Y = n) & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ mathbb {P} (\ {X_ {1} = k \ } \ cap \ {X_ {2} = nk \}) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ mathbb {P} (X_ {1} = k) \ mathbb {P} (X_ {2} = nk) \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {\ lambda _ {1} ^ {k}} {k!}} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {1}} \ cdot {\ frac {\ lambda _ {2} ^ {nk}} {(nk)!}} \ Mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {2}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {1}} \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {2}}} {n!}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} { \ frac {n!} {k! (nk)!}} \ lambda _ {1} ^ {k} \ lambda _ {2} ^ {nk} = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2})}} {n!}} (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}) ^ {n} \ end {align}}}
Independența a fost folosită în 2 e egal. Ultima egalitate este obținută prin formula binomială a lui Newton .
Terminale de coadă
Un argument de tip legat de Chernoff permite deducerea următoarelor limite de coadă
P(X≥X)≤e-λ(eλ)XXX{\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ geq x) \ leq {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- \ lambda} (\ mathrm {e} \ lambda) ^ {x}} {x ^ {x }}}}![{\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ geq x) \ leq {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- \ lambda} (\ mathrm {e} \ lambda) ^ {x}} {x ^ {x }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05147a5e4ad6e7500bd126f1a3c7730eabeea636)
pentru toate
x > λ și
P(X≤X)≤e-λ(eλ)XXX{\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ leq x) \ leq {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- \ lambda} (\ mathrm {e} \ lambda) ^ {x}} {x ^ {x }}}}![{\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ leq x) \ leq {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- \ lambda} (\ mathrm {e} \ lambda) ^ {x}} {x ^ {x }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf1cef17a9499459b33cc4cbf9a42a1b7bf5d17)
pentru toate
x <λ .
Aceste terminale pot fi rescrise după cum urmează
P(X≥X+λ)≤e-X22λh(Xλ){\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ geq x + \ lambda) \ leq \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2 \ lambda}} h \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} \ right)}}![{\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ geq x + \ lambda) \ leq \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2 \ lambda}} h \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} \ right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c40fdccb999802ef0311ee3f9f05088c6fe989)
pentru toate
x > 0 și
P(X≤-X+λ)≤e-X22λh(-Xλ){\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ leq -x + \ lambda) \ leq \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2 \ lambda}} h \ left (- { \ frac {x} {\ lambda}} \ right)}}![{\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ leq -x + \ lambda) \ leq \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2 \ lambda}} h \ left (- { \ frac {x} {\ lambda}} \ right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2d624123507f1094341d0108dd1303dd8daf293)
pentru toate
λ> x > 0
unde pentru tot . Aceste ultime limite implică în special următoarea boră (care este mai slabă, dar mai plăcută de manevrat)
h(tu): =2(1+tu)ln(1+tu)-tutu2{\ displaystyle h (u): = 2 {\ frac {(1 + u) \ ln (1 + u) -u} {u ^ {2}}}}
tu≥-1{\ displaystyle u \ geq -1}![{\ displaystyle u \ geq -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/174333f8a9189692b48f9a690abd6cc6691783d2)
P(|X-λ|≥X)≤2e-X22(λ+X){\ displaystyle \ mathbb {P} (| X- \ lambda | \ geq x) \ leq 2 \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2 (\ lambda + x)}} }}![{\ displaystyle \ mathbb {P} (| X- \ lambda | \ geq x) \ leq 2 \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2 (\ lambda + x)}} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fa0a8ec694bf00b48805d5fff4d31fa9b8fc47c)
.
Limita superioară dată de Chernoff poate fi îmbunătățită cu un factor de cel puțin 2
P(X≥X+λ)≤e-X22λh(Xλ)max{2,2πX2λh(Xλ)}{\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ geq x + \ lambda) \ leq {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2 \ lambda}} h \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} \ right)}} {\ max \ left \ {2, {\ sqrt {{\ frac {2 \ pi x ^ {2}} {\ lambda}} h \ stânga ({\ frac {x} {\ lambda}} \ right)}} \ right \}}}}![{\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ geq x + \ lambda) \ leq {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2 \ lambda}} h \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} \ right)}} {\ max \ left \ {2, {\ sqrt {{\ frac {2 \ pi x ^ {2}} {\ lambda}} h \ stânga ({\ frac {x} {\ lambda}} \ right)}} \ right \}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a97b9c004454599bded65ae97bcdc059121507)
pentru toate
x > 0 .
Trebuie remarcat faptul că funcția h este legată de divergența Kullback-Leibler între o lege Poisson cu parametrul x + λ și o lege Poisson cu parametrul λ . Într-adevăr, avem relația
DKL(X+λ||λ)=(X+λ)ln(Xλ+1)-X=X22λh(Xλ){\ displaystyle D_ {KL} (x + \ lambda || \ lambda) = (x + \ lambda) \ ln \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} + 1 \ right) -x = {\ frac {x ^ {2}} {2 \ lambda}} h \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} \ right)}![{\ displaystyle D_ {KL} (x + \ lambda || \ lambda) = (x + \ lambda) \ ln \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} + 1 \ right) -x = {\ frac {x ^ {2}} {2 \ lambda}} h \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7115b64f15467e473fc39c4bfd64325d200663a7)
.
Simulare
Un algoritm simplu pentru a simula legea lui Poisson este acela de a utiliza următorul rezultat:
Teorema - Fie ( E i ) i ≥ 1 o secvență de variabile aleatoare independente cu aceeași distribuție exponențială a parametrului λ . Setăm S 1 = E 1 și pentru n ≥ 2 , S n = E 1 + ... + E n . Apoi avem:
∀nu⩾1, P(Snu⩽1<Snu+1)=e-λλnunu!.{\ displaystyle \ forall n \ geqslant 1, \ \ mathbb {P} (S_ {n} \ leqslant 1 <S_ {n + 1}) = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {n}} {n!}}.}
Metoda transformata inversă oferă o modalitate simplă de a genera o remiză aleatoriu în conformitate cu o lege exponențială:
Dacă
U respectă o lege uniformă pe
[0; 1] , apoi
E = -1/λln ( U ) urmează o lege exponențială cu parametrul
λ .
Algoritmul poate fi astfel simplificat prin:
-
k ← 0 , p ← 1
- atâta timp cât p > e –λ
- desenăm u în funcție de un desen aleatoriu uniform pe [0; 1]
- p ← p × u
- k ← k +1
- returnăm k - 1
Estimarea parametrului λ
Estimator de probabilitate maximă a parametrului X a unui eșantion derivat dintr - o distribuție Poisson este media empirică . Este un estimator convergent fără părtinire , eficient , cuprinzător (in) , exhaustiv .
Legătură cu alte legi ale probabilității
- Dacă X și Y sunt două variabile aleatoare independente care urmează legile lui Poisson ale parametrilor respectivi λ și μ , atunci X - Y este o variabilă aleatorie care urmează o lege a parametrilor Skellam (λ, μ ) .
- Dacă X și Y sunt două variabile aleatoare independente care urmează legile lui Poisson cu parametrii λ și μ , atunci legea condițională a lui X știind X + Y este o lege binomială .
- Pentru valori mari ale lui λ , putem aborda legea lui Poisson prin legea normală a mediei λ și a varianței λ .
Numărul evenimentelor rare se face adesea printr-o sumă de variabile Bernoulli , raritatea evenimentelor rezultând în faptul că parametrii acestor variabile Bernoulli sunt mici (astfel, probabilitatea apariției fiecărui eveniment este scăzută). Legătura dintre legea lui Poisson și evenimentele rare poate fi apoi afirmată după cum urmează:
Paradigma Poisson - Suma S n a unui număr mare de variabile Bernoulli independente ale parametrilor mici urmează aproximativ distribuția Poisson a parametruluiE[Snu]. {\ displaystyle \ mathbb {E} [S_ {n}]. \}
Inegalitatea Le Cam spune Poisson paradigma este un tabel de variabile aleatoare Bernoulli independente , cu parametrii respectivi p k , n . Observăm
X1,nu,X2,nu,...,Xlanu,nu {\ displaystyle X_ {1, n}, X_ {2, n}, \ dots, X_ {a_ {n}, n} \}![{\ displaystyle X_ {1, n}, X_ {2, n}, \ dots, X_ {a_ {n}, n} \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/102fb732305a3f2991acba53788a3d3d4cadbbc1)
Snu=∑k=1lanuXk,nușiλnu = E[Snu]=∑k=1lanupk,nu. {\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, X_ {k, n} \ quad {\ text {and}} \ quad \ lambda _ {n} \ = \ \ mathbb {E} [S_ {n}] = \ sum _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, p_ {k, n}. \}
Inegalitatea lui Le Cam - Pentru orice set
A de numere naturale,
|P(Snu∈LA)-∑k∈LAλnuke-λnuk!| ≤ ∑k=1lanupk,nu2.{\ displaystyle \ left | \ mathbb {P} \ left (S_ {n} \ în A \ right) - \ sum _ {k \ in A} \, {\ frac {\ lambda _ {n} ^ {k} \, \ mathrm {e} ^ {- \ lambda _ {n}}} {k!}} \ right | \ \ leq \ \ sum _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, p_ {k , n} ^ {2}.}
În special, dacă sunt îndeplinite următoarele două condiții:
- limnuλnu=λ>0, {\ displaystyle \ lim _ {n} \ lambda _ {n} \, = \, \ lambda> 0, \}
![\ lim_n \ lambda_n \, = \, \ lambda> 0, \](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f19b11c3843e2dcda38293a69440007fde1b6e8e)
- limnu∑k=1lanupk,nu2=0, {\ displaystyle \ lim _ {n} \ sum _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, p_ {k, n} ^ {2} \, = \, 0, \}
![\ lim_n \ sum_ {k = 1} ^ {a_n} \, p_ {k, n} ^ 2 \, = \, 0, \](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b62f40abe0eb15bbda92f88bdd81be505a80c3)
atunci S n converge în drept către distribuția Poisson a parametrului Eficiență (statistici)
În enunțul paradigmei Poisson , facem două ipoteze (vagi) cu privire la termenii unei sume S n a variabilelor Bernoulli:
- parametrii variabilelor Bernoulli sunt mici; cu toate acestea, cele două condiții de mai sus înseamnă că
limnu(max1≤k≤lanupk,nu)=0, {\ displaystyle \ lim _ {n} \, \ left (\ max _ {1 \ leq k \ leq a_ {n}} \, p_ {k, n} \ right) \, = \, 0, \}
care reformulează ipoteza „ parametrii variabilelor Bernoulli sunt mici ” mai precis;
- există un număr mare de termeni; cu toate acestea, cele două condiții de mai sus conduc la numărul de termeni care tind spre infinit:
limnulanu=+∞. {\ displaystyle \ lim _ {n} a_ {n} \, = \, + \ infty. \}
Note:
- Această paradigmă rămâne relevantă, în anumite condiții, dacă relaxăm ipoteza independenței .
- Cazul particular a n = n , p k, n = λ / n , λ n = λ , al inegalității Le Cam, specifică viteza de convergență a legii binomiale a parametrilor n și λ / n față de legea lui Poisson cu parametrul λ .
Domenii de aplicare
Domeniul de aplicare a legii lui Poisson a fost limitat mult timp la cel al unor evenimente rare, precum sinuciderile copiilor, sosirea bărcilor într-un port sau accidentele cauzate de lovirea calului în armate (studiu de Ladislaus Bortkiewicz ).
Dar, în ultimele decenii, domeniul său de aplicare sa extins considerabil. În prezent, este utilizat pe scară largă în telecomunicații (pentru a număra numărul de comunicații într-un anumit interval de timp), controlul statistic al calității (numărul de defecte în SPC ), descrierea anumitor fenomene legate de decăderea radioactivă (decăderea nucleelor radioactive care urmează, mai mult, o lege exponențială a parametrilor a remarcat și lambda), biologie ( mutații în experimentul lui Luria și Delbrück , numărul potențialelor de acțiune emise de un neuron în neuroștiințe), meteorologie , finanțe pentru a modela probabilitatea unui credit default, Yield Management ( American Airlines, Lufthansa și SAS pentru a estima cererea de pasageri) etc.
În literatură
În romanul lui Thomas Pynchon , Curcubeul gravitației , unul dintre personaje, statisticianul Roger Mexico, folosește legea lui Poisson pentru a cartografia zonele de impact ale rachetelor germane V2 asupra orașului Londra în timpul celui de- al doilea război mondial .
Note și referințe
-
Cu convențiile obișnuite 0! = 1 și 0 0 = 1 , definiția legii lui Poisson se extinde la λ = 0 : găsim apoi p (0) = 1 și, de îndată ce k > 0 , p ( k ) = 0 . Astfel, o variabilă aleatorie aproape sigură zero poate fi privită ca urmând legea Poisson a parametrului 0. Această convenție este în concordanță cu proprietățile esențiale ale legii Poisson a parametrului strict pozitiv. Este convenabil, chiar esențial, de exemplu în timpul studiului proceselor punctuale ale lui Poisson.
-
Siméon-Denis Poisson, Cercetări privind probabilitatea judecăților în materie penală și civilă; precedat de Regulile generale pentru calculul probabilităților pe Gallica , 1837, pasajul 81, p. 205.
-
A se vedea, de exemplu, Michel Henry, În jurul modelării probabilității , Presses Universitaires de Franche-Comté,2001( prezentare online ) , p. 229-231sau aceste note de curs .
-
(în) Eric W. Weisstein, „ Distribuția Poisson ” pe mathworld.wolfram.com
-
(în) D Thomas Ahle, " Limite ascuțite și simple pentru momentele brute ale distribuțiilor Binomial și Poisson " , arXiv ,2021( arXiv 2103.17027 , citiți online )
-
(ro) Norman L Johnson, Adrienne W Kemp și Samuel Kotz, Distribuții discrete univariate , Wiley,2005, 3 e ed. ( ISBN 978-0-471-27246-5 , citit online ) , p. 162
-
(în) Michael Mitzenmacher și Eli Upfal , Probability and Computing: Randomized Algorithms and Probabilistic Analysis , Cambridge, Marea Britanie, Cambridge University Press,2005( ISBN 978-0-521-83540-4 , citit online ) , p. 97
-
(ro) „ O scurtă notă privind limitele cozii Poisson ”
-
(în) Michael Short, „ Inegalități îmbunătățite pentru distribuția Poisson și binomială și funcțiile cuantice Coada superioară ” , International Scholarly Research Notices , vol. 2013,2013( DOI https://doi.org/10.1155/2013/412958 , citiți online )
-
(în) L. Le Cam , „ O teoremă de aproximare pentru distribuția binomială Poisson ” , Pacific Journal of Mathematics , vol. 10, n o 4,1960, p. 1181–1197 ( citit online , accesat la 13 mai 2009 ).
-
(în) AD Barbour , L. Holst și S. Janson , aproximare Poisson , Oxford, Clarendon Press, Oxford University Press,1992, 277 p. ( ISBN 0-19-852235-5 ).
-
Ladislaus Bortkiewicz, Das Gesetz der kleinen Zahlen ,1898( citește online ), p. 23 .
Vezi și tu
Articole similare