Dipol magnetic

Un dipol magnetic este echivalentul pentru câmpul magnetic a ceea ce este un dipol electrostatic pentru câmpul electric . Este caracterizat în întregime de vectorul moment magnetic (sau momentul dipol magnetic), echivalentul pentru magnetism a ceea ce este momentul dipol pentru electrostatic .

Bucla de curent

Cea mai simplă reprezentare fizică a unui dipol magnetic este o buclă de curent, adică un curent electric circular. Momentul magnetic al acestui dipol elementar este vectorul , unde I este intensitatea curentului și suprafața vectorului ( vector al modulului egal cu zona de S a cercului, de origine O în centrul cercului, direcționat de-a lungul axei cerc și orientat în funcție de direcția curentului conform regulii tirbușonului ). μ→=EuS→{\ displaystyle {\ vec {\ mu}} = I \, {\ vec {S}}}S→{\ displaystyle {\ vec {S}}}

Strict vorbind, un dipol magnetic este limita unei bucle de curent atunci când vom face eu tind la infinit și S la 0, păstrând constant vectorul . μ→=EuS→{\ displaystyle {\ vec {\ mu}} = I \, {\ vec {S}}}

Paralelism între magnetism și electrostatic

Ecuații

Dipolurile electrostatice și magnetice respectă legi similare, mutatis mutandis . În aceste legi:

• momentul magnetic joacă același rol ca și momentul electrostatic  ;μ→{\ displaystyle {\ vec {\ mu}}} p→{\ displaystyle {\ vec {p}}}
• inducție magnetică joacă același rol ca și câmpul electric  ;B→{\ displaystyle {\ vec {B}}} E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}
• permeabilitatea magnetică a vid joacă același rol ca și inversul permitivității dielectrice de vid , .μ0{\ displaystyle \ mu _ {0}}1ε0{\ displaystyle {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}}}

Lege	Electrostatic	Magnetism
Energia potențială a unui dipol într-un câmp	Ep=-p→⋅E→{\ displaystyle E _ {\ mathrm {p}} = - {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {E}}}	Ep=-μ→⋅B→{\ displaystyle E _ {\ mathrm {p}} = - {\ vec {\ mu}} \ cdot {\ vec {B}}}
Cuplul exercitat asupra unui dipol de un câmp	Γ→=p→∧E→{\ displaystyle {\ vec {\ Gamma}} = {\ vec {p}} \ wedge {\ vec {E}}}	Γ→=μ→∧B→{\ displaystyle {\ vec {\ Gamma}} = {\ vec {\ mu}} \ wedge {\ vec {B}}}
Forța exercitată asupra unui dipol de un câmp	Dacă  :∇→∧E→=0→{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {E}} = {\ vec {0}}}F→=-∇→Ep=∇→(p→⋅E→){\ displaystyle {\ vec {F}} = - {\ vec {\ nabla}} E _ {\ mathrm {p}} = {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {p}} \ cdot {\ vec {E}})} Dacă nu : F→=(p→⋅∇→)E→{\ displaystyle {\ vec {F}} = ({\ vec {p}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {E}}}	F→=-∇→Ep=∇→(μ→⋅B→){\ displaystyle {\ vec {F}} = - {\ vec {\ nabla}} E _ {\ mathrm {p}} = {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {\ mu}} \ cdot { \ cu {B}})}
Câmp creat de un dipol	E→=(14πε0)3(p→⋅tu→)tu→-p→r3{\ displaystyle {\ vec {E}} = \ left ({\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ right) {\ frac {3 ({\ vec {p}} \ cdot {\ vec {u}}) {\ vec {u}} - {\ vec {p}}} {r ^ {3}}}}	B→=(μ04π)3(μ→⋅tu→)tu→-μ→r3{\ displaystyle {\ vec {B}} = \ left ({\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ right) {\ frac {3 ({\ vec {\ mu}} \ cdot {\ vec {u}}) {\ vec {u}} - {\ vec {\ mu}}} {r ^ {3}}}}
Energia potențială de interacțiune a doi dipoli	Ep=-(14πε0)3(p→1⋅tu→)(p→2⋅tu→)-p→1⋅p→2r3{\ displaystyle E _ {\ mathrm {p}} = - \ left ({\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ right) {\ frac {3 ({\ vec {p} } _ {1} \ cdot {\ vec {u}}) ({\ vec {p}} _ {2} \ cdot {\ vec {u}}) - {\ vec {p}} _ {1} \ cdot {\ vec {p}} _ {2}} {r ^ {3}}}}	Ep=-(μ04π)3(μ→1⋅tu→)(μ→2⋅tu→)-μ→1⋅μ→2r3{\ displaystyle E _ {\ mathrm {p}} = - \ left ({\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ right) {\ frac {3 ({\ vec {\ mu} } _ {1} \ cdot {\ vec {u}}) ({\ vec {\ mu}} _ {2} \ cdot {\ vec {u}}) - {\ vec {\ mu}} _ {1 } \ cdot {\ vec {\ mu}} _ {2}} {r ^ {3}}}}

În ecuațiile de mai sus:

• tu→{\ displaystyle {\ vec {u}}}reprezintă vectorul unitar direcționat de la poziția O a dipolului la acel M al punctului curent (cazul câmpului creat de un dipol), sau de la poziția O 1 a primului dipol la acel O 2 al celui de-al doilea (caz de interacțiunea dipol -dipol);
• r este distanța OM sau altfel O 1 O 2 .

Demonstrație: Energia potențială de interacțiune a doi dipoli magnetici

Fie doi dipoli și și momentul lor magnetic respectiv și . Să numim interacțiunea momentului magnetic cu câmpul creat de at . Momentul magnetic al creează la distanța r (considerată mare) potențialul vectorD1{\ displaystyle D_ {1}}D2{\ displaystyle D_ {2}}μ1→{\ displaystyle {\ vec {\ mu _ {1}}}}μ2→{\ displaystyle {\ vec {\ mu _ {2}}}}Ep{\ displaystyle E_ {p}}μ2→{\ displaystyle {\ vec {\ mu _ {2}}}}μ1→{\ displaystyle {\ vec {\ mu _ {1}}}}D2{\ displaystyle D_ {2}}μ1→{\ displaystyle {\ vec {\ mu _ {1}}}}D1{\ displaystyle D_ {1}} LA1→:{\ displaystyle {\ vec {A_ {1}}}:}

LA1→=μ04πμ1→∧r→r3{\ displaystyle {\ vec {A_ {1}}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ frac {{\ vec {\ mu _ {1}}} \ wedge { \ vec {r}}} {r ^ {3}}}} Acest potențial vectorial creează un câmp magnetic . Fixând în mod arbitrar în funcție de orientarea axei Oz:r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}B1→=∇→∧LA1→{\ displaystyle {\ vec {B_ {1}}} = {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {A_ {1}}}}μ1→{\ displaystyle {\ vec {\ mu _ {1}}}}

LA1→=μ04πμ1ez→∧r→r3=μ04πμ1seunuθr2eφ→=LAφeφ→{\ displaystyle {\ vec {A_ {1}}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ mu _ {1} {\ frac {{\ vec {e_ {z}} } \ wedge {\ vec {r}}} {r ^ {3}}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ mu _ {1} {\ frac {sin \ theta } {r ^ {2}}} {\ vec {e _ {\ varphi}}} = A _ {\ varphi} {\ vec {e _ {\ varphi}}}} în coordonate polare.

⇒B1→=∇→∧LA1→=(1rseunuθ(∂(seunuθLAφ)∂θ-∂LAθ∂φ)1rseunuθ(∂LAr∂φ-seunuθ∂(rLAφ)∂r)1r(∂(rLAθ)∂r-∂(LAr)∂θ))=(1rseunuθ∂(seunuθLAφ)∂θ-1r∂(rLAφ)∂r0)=μ04πμ1(1r3seunuθ∂(seunu2θ)∂θ-seunuθr∂(r-1)∂r0){\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {B_ {1}}} = {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {A_ {1}}} = {\ begin {pmatrix} {} {\ frac {1 } {rsin \ theta}} \ left ({\ frac {\ partial (sin \ theta A _ {\ varphi})} {\ partial \ theta}} - {\ frac {\ partial A _ {\ theta}} { \ partial \ varphi}} \ right) \\ {\ frac {1} {rsin \ theta}} \ left ({\ frac {\ partial A_ {r}} {\ partial \ varphi}} - sin \ theta {\ frac {\ partial (rA _ {\ varphi})} {\ partial r}} \ right) \\ {\ frac {1} {r}} \ left ({\ frac {\ partial (rA _ {\ theta} )} {\ partial r}} - {\ frac {\ partial (A_ {r})} {\ partial \ theta}} \ right) \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {} {\ frac {1} {rsin \ theta}} {\ frac {\ partial (sin \ theta A _ {\ varphi})} {\ partial \ theta}} \\ - {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial (rA_ {\ varphi})} {\ partial r}} \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ mu _ {1} {\ begin {pmatrix} {} {\ frac {1} {r ^ {3} sin \ theta}} {\ frac {\ partial (sin ^ {2} \ theta)} {\ partial \ theta}} \\ - {\ frac {sin \ theta} {r}} {\ frac {\ partial (r ^ {- 1})} {\ partial r}} \\ 0 \ end {pmatrix}}}

=μ04πμ1(2vs.osθr3seunuθr30)=μ04πr3(2(μ→1.tu→)tu→+μ1seunuθeθ→)=μ04πr3(3(μ→1.tu→)tu→+μ1seunuθeθ→-μ1vs.osθtu→){\ displaystyle = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ mu _ {1} {\ begin {pmatrix} {} {\ frac {2cos \ theta} {r ^ {3}} } \\ {\ frac {sin \ theta} {r ^ {3}}} \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi r ^ {3}} } \ left (2 ({\ vec {\ mu}} _ {1}. {\ vec {u}}) {\ vec {u}} + \ mu _ {1} sin \ theta {\ vec {e_ { \ theta}}} \ right) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi r ^ {3}}} \ left (3 ({\ vec {\ mu}} _ {1}. { \ vec {u}}) {\ vec {u}} + \ mu _ {1} sin \ theta {\ vec {e _ {\ theta}}} - \ mu _ {1} cos \ theta {\ vec { u}} \ dreapta)} aur:{tu→=seunuθvs.osφeX→+seunuθseunuφey→+vs.osθez→e→θ=∂tu→∂θ=vs.osθvs.osφeX→+vs.osθseunuφey→-seunuθez→{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ vec {u}} = sin \ theta cos \ varphi {\ vec {e_ {x}}} + sin \ theta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} + cos \ theta {\ vec {e_ {z}}} \\ {\ vec {e}} _ {\ theta} = {\ frac {\ partial {\ vec {u}}} {\ partial \ theta}} = cos \ theta cos \ varphi {\ vec {e_ {x}}} + cos \ theta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} - sin \ theta {\ vec {e_ {z}}} \ end {cazuri}}} ⇒{vs.osθtu→=vs.osθseunuθvs.osφeX→+vs.osθseunuθseunuφey→+vs.os2θez→-seunuθeθ→=-vs.osθvs.osφseunuθeX→-vs.osθseunuθseunuφey→+seunu2θez→⇒vs.osθtu→-seunuθeθ→=ez→{\ displaystyle \ Rightarrow {\ begin {cases} cos \ theta {\ vec {u}} = cos \ theta sin \ theta cos \ varphi {\ vec {e_ {x}}} + cos \ theta sin \ theta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} + cos ^ {2} \ theta {\ vec {e_ {z}}} \\ - sin \ theta {\ vec {e _ {\ theta}}} = - cos \ theta cos \ varphi sin \ theta {\ vec {e_ {x}}} - cos \ theta sin \ theta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} + sin ^ {2} \ theta {\ vec { e_ {z}}} \ end {cases}} \ Rightarrow cos \ theta {\ vec {u}} - sin \ theta {\ vec {e _ {\ theta}}} = {\ vec {e_ {z}} }} ⇒B1→=∇→∧LA1→=μ04π(3(μ→1.tu→)tu→-μ1→r3){\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {B_ {1}}} = {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {A_ {1}}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ left ({\ frac {3 ({\ vec {\ mu}} _ {1}. {\ vec {u}}) {\ vec {u}} - {\ vec {\ mu _ { 1}}}} {r ^ {3}}} \ right)} Datorită acestui fapt , există o potențială energie de interacțiune pe :D1{\ displaystyle D_ {1}}D1{\ displaystyle D_ {1}}Ep=-μ2→.B1→=-μ04π(3(μ→1.tu→)(μ2→.tu→)-μ1→.μ2→r3){\ displaystyle E_ {p} = - {\ vec {\ mu _ {2}}}. {\ vec {B_ {1}}} = - {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi} } \ left ({\ frac {3 ({\ vec {\ mu}} _ {1}. {\ vec {u}}) ({\ vec {\ mu _ {2}}}. {\ vec {u }}) - {\ vec {\ mu _ {1}}}. {\ vec {\ mu _ {2}}}} {r ^ {3}}} \ right)}

Din această expresie putem demonstra, prin teoria perturbărilor , structura fină din spectrul de rezonanță magnetică rezultată din interacțiunea rotirilor a 2 particule formând astfel dipoli magnetici.

Demonstrație: Energia potențială de interacțiune a doi dipoli electrici

Fie doi dipoli și așezați respectiv în A și B: D1{\ displaystyle D_ {1}}D2{\ displaystyle D_ {2}}LAB→=r→=rtu→;OLA→=rLA→;OB→=rB→{\ displaystyle {\ vec {AB}} = {\ vec {r}} = r {\ vec {u}}; {\ vec {OA}} = {\ vec {r_ {A}}}; {\ vec {OB}} = {\ vec {r_ {B}}}}

Se notează momentul lor electrostatic respectiv: și .p1→=qrLA→{\ displaystyle {\ vec {p_ {1}}} = q {\ vec {r_ {A}}}}p2→=qrB→{\ displaystyle {\ vec {p_ {2}}} = q {\ vec {r_ {B}}}} D1→{\ displaystyle {\ vec {D_ {1}}}}creează un potențial electric V cu care interacționează . Acest lucru dă naștere unei energii de interacțiune . Un câmp electric derivă din potențial .r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}D2→{\ displaystyle {\ vec {D_ {2}}}}Ep{\ displaystyle E_ {p}}E→=-∇→V{\ displaystyle {\ vec {E}} = - {\ vec {\ nabla}} V}V(r→){\ displaystyle V ({\ vec {r}})}

Dacă este suficient de mare, potențialul are expresie: Urmează: r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}V(r→){\ displaystyle V ({\ vec {r}})}V(r→)=14πϵ0p1→.r→r3{\ displaystyle V ({\ vec {r}}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {{\ vec {p_ {1}}}. {\ vec {r}}} {r ^ {3}}}}E→=-∇→V(r→)=-q4πϵ0∇→(rLA→.r→r3)=-q4πϵ0(∂∂rrLA→.r→r31r∂∂θ(rLA→.r→r3)1rseunuθ∂∂φ(rLA→.r→r3))=-q4πϵ0(-2rLAr3vs.osθ-rLAr3seunuθ0){\ displaystyle {\ vec {E}} = - {\ vec {\ nabla}} V ({\ vec {r}}) = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ vec {\ nabla}} \ left ({\ frac {{\ vec {r_ {A}}}. {\ vec {r}}} {r ^ {3}}} \ right) = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ begin {pmatrix} {} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} {\ frac {{\ vec {r_ {A}}} . {\ vec {r}}} {r ^ {3}}} \\ {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left ({\ frac { {\ vec {r_ {A}}}. {\ vec {r}}} {r ^ {3}}} \ right) \\ {\ frac {1} {rsin \ theta}} {\ frac {\ partial } {\ partial \ varphi}} \ left ({\ frac {{\ vec {r_ {A}}}. {\ vec {r}}} {r ^ {3}}} \ right) \ end {pmatrix} } = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ begin {pmatrix} {} - 2 {\ frac {r_ {A}} {r ^ {3}}} cos \ theta \\ - {\ frac {r_ {A}} {r ^ {3}}} sin \ theta \\ 0 \ end {pmatrix}}}

=q4πϵ0rLAr3(3vs.osθtu→-vs.osθtu→+seunuθeθ→{\ displaystyle = {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {r_ {A}} {r ^ {3}}} (3cos \ theta {\ vec {u}} -cos \ theta {\ vec {u}} + sin \ theta {\ vec {e _ {\ theta}}}}aur:{tu→=seunuθvs.osφeX→+seunuθseunuφey→+vs.osθez→e→θ=∂tu→∂θ=vs.osθvs.osφeX→+vs.osθseunuφey→-seunuθez→{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ vec {u}} = sin \ theta cos \ varphi {\ vec {e_ {x}}} + sin \ theta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} + cos \ theta {\ vec {e_ {z}}} \\ {\ vec {e}} _ {\ theta} = {\ frac {\ partial {\ vec {u}}} {\ partial \ theta}} = cos \ theta cos \ varphi {\ vec {e_ {x}}} + cos \ theta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} - sin \ theta {\ vec {e_ {z}}} \ end {cazuri}}} ⇒{vs.osθtu→=vs.osθseunuθvs.osφeX→+vs.osθseunuθseunuφey→+vs.os2θez→-seunuθeθ→=-vs.osθvs.osφseunuθeX→-vs.osθseunuθseunuφey→+seunu2θez→⇒vs.osθtu→-seunuθeθ→=ez→{\ displaystyle \ Rightarrow {\ begin {cases} cos \ theta {\ vec {u}} = cos \ theta sin \ theta cos \ varphi {\ vec {e_ {x}}} + cos \ theta sin \ theta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} + cos ^ {2} \ theta {\ vec {e_ {z}}} \\ - sin \ theta {\ vec {e _ {\ theta}}} = - cos \ theta cos \ varphi sin \ theta {\ vec {e_ {x}}} - cos \ theta sin \ theta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} + sin ^ {2} \ theta {\ vec { e_ {z}}} \ end {cases}} \ Rightarrow cos \ theta {\ vec {u}} - sin \ theta {\ vec {e _ {\ theta}}} = {\ vec {e_ {z}} }} ⇒E→=-q4πϵ0rLAr3(-3vs.osθtu→+vs.ostu→-seunuθeθ→)=-q4πϵ01r3(rLAez→-3(rLA→.tu→)tu→){\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {E}} = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {r_ {A}} {r ^ {3}}} ( -3cos \ theta {\ vec {u}} + cos {\ vec {u}} - sin \ theta {\ vec {e _ {\ theta}}}) = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {r ^ {3}}} (r_ {A} {\ vec {e_ {z}}} - 3 ({\ vec {r_ {A}}}. {\ vec {u}}) {\ vec {u}})} Prin fixarea arbitrară rLA→=rLAez→:E→=-q4πϵ01r3(rLA→-3(rLA→.tu→)tu→){\ displaystyle {\ vec {r_ {A}}} = r_ {A} {\ vec {e_ {z}}}: {\ vec {E}} = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {r ^ {3}}} ({\ vec {r_ {A}}} - 3 ({\ vec {r_ {A}}}. {\ Vec {u }}) {\ vec {u}})} Interacțiunea dipol-dipol este atunci:Ep=-E→.p2→=-14πϵ01r3(p1→.p2→-3(p1→.tu→)(p2→.tu→)){\ displaystyle E_ {p} = - {\ vec {E}}. {\ vec {p_ {2}}} = - {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {r ^ {3}}} \ left ({\ vec {p_ {1}}}. {\ Vec {p_ {2}}} - 3 ({\ vec {p_ {1}}}. { \ vec {u}}) ({\ vec {p_ {2}}}. {\ vec {u}}) \ right)}

Această expresie face posibilă demonstrarea, prin teoria perturbațiilor , a forțelor Van der Waals care intervin în legăturile chimice rezultate din interacțiunea electrostatică dintre două particule formând astfel dipoli electrici.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">