Descompunerea Wold

Descompunere Wold sau descompunere Wold - von Neumann este rezultatul analizei funcționale care descriu isometrics un spațiu Hilbert .

State

Definiție - Fie H un spațiu Hilbert și T: H → H o izometrie. Spunem că T este un operator de schimbare dacă, pentru orice element x al lui H , când . ${\ displaystyle T ^ {* n} x \ to 0}$ ${\ displaystyle n \ to + \ infty}$

Teorema - Fie H un spațiu Hilbert și T: H → H o izometrie. Există F și G două subspatii ale lui H , în sumă directă și stabilă de T , astfel încât este un operator de schimbare și este un operator de unitate . ${\ displaystyle T | _ {F}}$ ${\ displaystyle T | _ {G}}$

Demonstrație

Să pozăm . Este vorba despre un subspatiu inchis de par stabil . Rețineți proiecția ortogonală pe . ${\ displaystyle G = \ cap _ {k \ in \ mathbb {N}} T ^ {k} H}$ $H$ $T$ ${\ displaystyle P_ {G}}$ $G$

Lemă - Pentru orice , când . ${\ displaystyle x \ în H}$ ${\ displaystyle T ^ {n} T ^ {* n} \ to P_ {G} x}$ ${\ displaystyle n \ to + \ infty}$

Dovadă a lemei

Căci totul , așa cum este o izometrie, este proiecția ortogonală . $nu$ ${\ displaystyle T ^ {n}}$ ${\ displaystyle T ^ {n} T ^ {* n}}$ ${\ displaystyle T ^ {n} H}$

Fie arbitrar. Pentru toate , să scriem în formă , cu proiecția ortogonală de pe . Pentru toate cu , așa cum , este proiecția ortogonală pe și, conform formulei pitagoreic, ${\ displaystyle x \ în H}$ $nu$ $X$ ${\ displaystyle x = x_ {n} + y_ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {n} = T ^ {n} T ^ {* n} x}$ $X$ ${\ displaystyle T ^ {n} H}$ ${\ displaystyle m, n}$ $m> n$ ${\ displaystyle T ^ {m} H \ subset T ^ {n} H}$ $x_ {m}$ $x_ {n}$ ${\ displaystyle T ^ {m} H}$ ${\ displaystyle || x_ {n} || ^ {2} - || x_ {m} || ^ {2} = || x_ {n} -x_ {m} || ^ {2}}$ . Această relație implică faptul că este o secvență descrescătoare, deci convergentă din moment ce pozitivă. De asemenea, permite să arate că este o continuare a lui Cauchy. După cum este complet, converge la un anumit . ${\ displaystyle (|| x_ {n} ||) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $H$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle X \ în H}$

În concluzie, este suficient să arătăm că este proiecția ortogonală a pe . Mai întâi observăm că . Într-adevăr, pentru orice , secvența este de la cel puțin rangul , așa că și limitele sale aparțin . $X$ $X$ $G$ ${\ displaystyle X \ în G}$ $k \ in \ mathbb {N}$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle T ^ {k} H}$ $k$ $X$ ${\ displaystyle T ^ {k} H}$

Mai mult, dacă este vreun element al , $X '$ $G$ ${\ displaystyle \ langle xX, X '\ rangle = \ lim _ {n \ to + \ infty} \ langle x-x_ {n}, X' \ rangle = \ lim _ {n \ to + \ infty} \ langle y_ {n}, X '\ rangle = 0}$ . Într-adevăr, pentru orice , este ortogonală și, prin urmare, și către , care este un subspatiu al . $nu$ $y_n$ ${\ displaystyle T ^ {n} H}$ $G$ ${\ displaystyle T ^ {n} H}$

Rețineți, pentru toți , suplimentul ortogonal al in . Sunt subspatii închise , doi câte doi ortogonale. ${\ displaystyle j \ in \ mathbb {N}}$ $F_ {j}$ ${\ displaystyle T ^ {j + 1} H}$ ${\ displaystyle T ^ {j} H}$ $F_ {j}$ $H$

Deoarece, pentru orice , este proiecția ortogonală pe , proiecția ortogonală pe , pe care o denotăm , este egală cu . Deci, pentru orice , când , $j$ ${\ displaystyle T ^ {j} T ^ {* j}}$ ${\ displaystyle T ^ {j} H}$ $F_ {j}$ ${\ displaystyle P_ {F_ {j}}}$ ${\ displaystyle T ^ {j} T ^ {* j} -T ^ {j + 1} T ^ {* j + 1}}$ ${\ displaystyle x \ în H}$ ${\ displaystyle n \ to + \ infty}$ ${\ displaystyle \ left (\ sum _ {j = 0} ^ {n} P_ {F_ {j}} \ right) x = \ left (Id_ {H} -T ^ {n + 1} T ^ {* n +1} \ dreapta) x \ to (Id_ {H} -P_ {G}) x}$ . Această relație implică faptul că, dacă definim , avem ; mai departe și sunt ortogonali. ${\ displaystyle F = {\ overline {F_ {0} \ oplus F_ {1} \ oplus \ dots}}}$ ${\ displaystyle F \ oplus G = H}$ $F$ $G$

Spațiul este stabil , deoarece , deci și aderența sa . ${\ displaystyle F_ {0} \ oplus F_ {1} \ oplus \ dots}$ $T$ ${\ displaystyle TF_ {j} \ subset F_ {j + 1}}$ $F$

Să arătăm că este o schimbare. Pentru orice , când , ${\ displaystyle T | _ {F}}$ $x \ în F$ ${\ displaystyle n \ to + \ infty}$ ${\ displaystyle || T ^ {* n} x || ^ {2} = \ langle x, T ^ {n} T ^ {* n} x \ rangle \ to \ langle x, P_ {G} x \ rangle = 0}$ .

Să arătăm că este un operator unitar. Lema demonstrată anterior permite să arate asta . Subspatiul este stabil de , deoarece ortogonal este stabil de . Așa cum este egal cu identitatea de pe , obținem ${\ displaystyle T | _ {G}}$ ${\ displaystyle TP_ {G} T ^ {*} = P_ {G}}$ $G$ ${\ displaystyle T ^ {*}}$ $F$ $T$ ${\ displaystyle P_ {G}}$ $G$ ${\ displaystyle T | _ {G} T | _ {G} ^ {*} = Id_ {G}}$ .

Versiune pentru un număr infinit de izometrii

Definiție - Fie o succesiune de spații Hilbert. Adică, pentru orice , o izometrie. Spunem că este o familie de marcare, dacă există o succesiune de spații Hilbert disjuncte și operatori unitari care satisfac, pentru toate , relația ${\ displaystyle (H_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$ $nu$ ${\ displaystyle v_ {n}: H_ {n + 1} \ to H_ {n}}$ ${\ displaystyle (v_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$ ${\ displaystyle (L_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {n}: H_ {n} \ to \ oplus _ {k = n} ^ {+ \ infty} L_ {n}}$ $nu$

{\ displaystyle \ Phi _ {n} v_ {n} \ Phi _ {n + 1} ^ {- 1} :( x_ {n + 1}, x_ {n + 2}, \ dots) \ in \ oplus _ {k = n + 1} ^ {+ \ infty} L_ {n} \ to (0, x_ {n + 1}, x_ {n + 2}, \ dots) \ in \ oplus _ {k = n} ^ {+ \ infty} L_ {n}}

Teorema - Fie o succesiune de spații Hilbert. Adică, pentru orice , o izometrie. Există, pentru orice , subspatii de în sumă directă, pe care le denotăm și , astfel încât ${\ displaystyle (H_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$ $nu$ ${\ displaystyle v_ {n}: H_ {n + 1} \ to H_ {n}}$ $nu$ $H_n$ $F_ {n}$ $G_ {n}$

${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {Z}, v_ {n} F_ {n + 1} \ subset F_ {n}}$ ;
${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {Z}, v_ {n} G_ {n + 1} \ subset G_ {n}}$ ;
familia este semnificativă; ${\ displaystyle (v_ {n} | _ {F_ {n + 1} \ to F_ {n}}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$
${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {Z}, v_ {n}: G_ {n + 1} \ to G_ {n}}$ este un operator unitar.

Analiza procesului staționar

În statistici , o versiune a teoremei lui Wold permite orice proces slab staționar să fie descompus în suma unei părți „deterministe” și a unei părți „stochastice”.

Teorema - Să fie un proces staționar în sens slab . Există o secvență de numere reale , proces slab staționar și astfel încât ${\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ in \ mathbb {Z}}}$ ${\ displaystyle (\ alpha _ {j}) _ {j \ in \ mathbb {N}}}$ $U$ $W$

{\ displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {Z}, X_ {t} = \ sum _ {j \ in \ mathbb {Z}} \ alpha _ {j} U_ {tj} + W_ {t}}

și sunt verificate următoarele proprietăți:

${\ displaystyle \ alpha _ {0} = 1, \ sum _ {j = 0} ^ {+ \ infty} \ alpha _ {j} ^ {2} <+ \ infty}$ ;
${\ displaystyle \ forall j, \ mathbb {E} (U_ {j}) = 0}$ ;
${\ displaystyle \ forall j, j ', \ mathbb {E} (U_ {j} U_ {j'}) = 0}$ dacă ; ${\ displaystyle j \ neq j '}$
${\ displaystyle \ forall j, j ', \ mathbb {E} (U_ {j} W_ {j'}) = 0}$ ;
procesul este determinist, adică există realități precum, pentru orice , când . $W$ ${\ displaystyle (\ beta _ {j} ^ {N}) _ {0 <j \ leq N \ in \ mathbb {N}}}$ $t$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ left (W_ {t} - (\ beta _ {1} ^ {N} W_ {t-1} + \ dots + \ beta _ {N} ^ {N} W_ {tN }) \ right) ^ {2} \ to 0}$ ${\ displaystyle N \ to + \ infty}$

Referințe

(ro) Marvin Rosenblum și James Rovnyak, Hardy Classes and Operator Theory , Oxford University Press,1985, 161 p. ( ISBN 0-19-503591-7 , citit online )
(en) Tiberiu Constantinescu, Schur parameters, factorization and dilation problems , vol. 82, Basel / Boston / Berlin, Birkhäuser, col. „Teoria operatorului, avansuri și aplicații”,1996, 253 p. ( ISBN 3-7643-5285-X , citit online )
(ro) Herman J. Bierens, Introducere în fundamentele matematice și statistice ale econometriei , Cambridge University Press, col. „Teme în econometrie modernă”,2004, 323 p. ( ISBN 978-0-521-54224-1 , citit online )

Vezi și tu

Operator de schimb