Staționaritatea unei serii de timp

Una dintre marile întrebări din studiul seriilor temporale (sau seriilor cronologice) este dacă urmează un proces staționar . Aceasta se înțelege dacă structura procesului de bază presupus se modifică sau nu în timp. Dacă structura rămâne aceeași, atunci se spune că procesul este staționar.

Definiție puternică a staționarității

Definiție  -  Luați în considerare un proces temporal în timp discret cu valoare reală . Se spune că este staționar în sensul puternic dacă pentru orice funcție măsurabilă f  : Z1,Z2,...,Zt{\ displaystyle \ textstyle Z_ {1}, Z_ {2}, ..., Z_ {t}}

f(Z1,Z2,...,Zt) et f(Z1+k,Z2+k,...,Zt+k){\ displaystyle \ textstyle f (Z_ {1}, Z_ {2}, ..., Z_ {t}) \ și \ f (Z_ {1 + k}, Z_ {2 + k}, ..., Z_ {t + k})} au aceeași lege.

Interpretare

Suntem interesați aici de distribuția comună a probabilității procesului. Este funcția de densitate comună același lucru , dacă luăm primele variabile t sau de a lua următoarele t + k? Dacă da, atunci procesul este strict staționar. Cu alte cuvinte, dacă procesul este staționar, proprietățile sale nu sunt afectate de o modificare a „intervalului de timp”: indiferent dacă ne uităm la punctul t sau la punctul t + k, seria va avea întotdeauna același comportament.

Deoarece legea probabilității unei distribuții a unei serii de date este foarte dificil de estimat, a fost introdusă o definiție mai puțin strictă a staționarității.

Definiție slabă a staționarității

Definiție  -  Luați în considerare un proces temporal în timp discret cu valoare reală . Se spune că este staționar în sens slab (sau „ordinea a doua” sau „în covarianță”) dacă Z1,Z2,...,Zt{\ displaystyle \ textstyle Z_ {1}, Z_ {2}, ..., Z_ {t}}

• E[Zeu]=μ∀eu=1 ...t{\ displaystyle E [Z_ {i}] = \ mu \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ forall i = 1 ... t}
• Vlar[Zeu]=σ2≠∞∀eu=1 ...t{\ displaystyle Var [Z_ {i}] = \ sigma ^ {2} \ neq \ infty \ qquad \ qquad \ forall i = 1 ... t}
• VSov[Zeu,Zeu-k]=f(k)=ρk∀eu=1 ...t,∀k=1 ...t{\ displaystyle \ textstyle Cov [Z_ {i}, Z_ {ik}] = f (k) = \ rho _ {k} \ qquad \ forall i = 1 ... t, \ quad \ forall k = 1 .. .t}

Interpretare

• Prima condiție afirmă că așteptarea este constantă în timp, deci nu există o tendință.
• A doua condiție prevede că varianța este constantă în timp și nu infinită.
• A treia condiție: Corelarea automată (sau auto-covarianța, distincția fiind neimportantă aici) între variabilă și variabilă depinde doar de magnitudinea unei deplasări de k (avem :) , sau poziția does în timp t să joace un rol (atunci )? Dacă poziția în timp nu joacă un rol, atunci a treia condiție este îndeplinită. Rețineți că acesta include al doilea dacă luăm k = 0, deoarece atunci auto-covarianța corespunde varianței.ρt,t-k{\ displaystyle \ textstyle \ rho _ {t, tk}}Zt{\ displaystyle \ textstyle Z_ {t}}Zt-k{\ displaystyle \ textstyle Z_ {tk}}ρt,t-k=f(k){\ displaystyle \ textstyle \ rho _ {t, tk} \ scriptstyle = f (k)}ρt,t-k=f(t,k){\ displaystyle \ textstyle \ rho _ {t, tk} \ scriptstyle = f (t, k)}

Se spune că staționaritatea slabă este staționaritatea de ordinul doi, deoarece definiția sa se bazează exclusiv pe primele două momente ale variabilei aleatorii a . Zt{\ displaystyle \ textstyle Z_ {t}}

Importanța conceptului

Noțiunea de staționaritate este importantă în modelarea seriilor de timp, problema de regresie falsă arătând că o regresie liniară cu variabile nestacionare nu este validă. Mai precis, distribuția parametrilor regresiei nu mai urmează o lege a lui Student, ci o mișcare browniană . În cazul în care variabilele nu sunt staționare, un concept foarte apropiat, cel de cointegrare , face posibilă determinarea tipului de model care trebuie utilizat.

Staționaritatea joacă, de asemenea, un rol important în predicția seriilor temporale, intervalul de predicție fiind diferit în funcție de faptul dacă seria este staționară sau nu.

Tipuri de non-staționaritate

Când una sau mai multe dintre condițiile staționare nu sunt îndeplinite, se spune că seria este ne staționară. Cu toate acestea, acest termen acoperă numeroase tipuri de non-staționaritate, dintre care două sunt expuse aici.

Staționaritatea în tendință

Definiție  -  O serie are tendințe staționare dacă seria obținută prin „eliminarea” tendinței de timp din seria originală este staționară.

Tendința temporală a unei serii cronologice este componenta sa de timp.

Exemplu: Să considerăm următorul procedeu: cu un zgomot alb . Xt=1,2t+ϵt{\ displaystyle X_ {t} = 1,2t + \ epsilon _ {t} \ qquad}ϵt{\ displaystyle \ epsilon _ {t}}

Acest proces nu este staționar, deoarece așteptările sale cresc cu timpul (starea 1 este încălcată). Dar seria obținută prin scăderea efectului tendinței temporale este staționară: Dat{\ displaystyle Y_ {t}}Dat=Xt-1,2t{\ displaystyle Y_ {t} = X_ {t} -1,2t}

Dat=1,2t+ϵt-1,2t=ϵt{\ displaystyle Y_ {t} = 1,2t + \ epsilon _ {t} -1,2t = \ epsilon _ {t} \ qquad} care este echivalent cu zgomotul alb, staționar prin definiție.

Staționaritatea în diferență

Definiție  -  O serie este staționară în diferență dacă seria obținută prin diferențierea valorilor seriei originale este staționară.

Operatorul de diferență este notat: ΔXt=Xt-Xt-1{\ displaystyle \ Delta X_ {t} = X_ {t} -X_ {t-1}}

Ordinea de integrare a unei serii temporale

Definiție  -  Se spune că o serie temporală este integrată de ordinul d, pe care o notăm cu I (d), dacă seria obținută după diferențierea d este staționară.

Exemplu: Să random walk pură: cu un zgomot alb . Xt=Xt-1+ϵt{\ displaystyle X_ {t} = X_ {t-1} + \ epsilon _ {t} \ qquad}ϵt{\ displaystyle \ epsilon _ {t}}

Putem arăta că o mers aleatoriu este staționar în diferență. Vedem aici că este integrat de ordinul 1, seria diferențelor este într-adevăr staționară:

ΔXt=Xt-Xt-1=Xt-1+ϵt-Xt-1=ϵt{\ displaystyle \ Delta X_ {t} = X_ {t} -X_ {t-1} = X_ {t-1} + \ epsilon _ {t} -X_ {t-1} = \ epsilon _ {t} \ qquad} echivalent cu zgomotul alb, staționar prin definiție.

Teste de staționaritate

Dacă funcția densității nu este cunoscută, ceea ce este adesea cazul, este util să puteți testa dacă seria este staționară sau nu. Există două tipuri, cu staționaritate ca ipoteză nulă sau ipoteză alternativă:

Teste de staționaritate

Ipoteza nulă este staționaritatea.

• Testul KPSS

• Testul lui Leybourne și McCabe

Testele radiculare unitare

Ipoteza nulă este non-staționaritatea.

• Dickey Fuller  (ro)

• Testați-l pe Dickey Fuller  (în) (ADF)

• Testul Phillips-Perron (PP)

• Testul DF-GLS (sau ERS)

Referințe

• Hamilton (1994), Analiza seriilor temporale, Princeton University Press
• Lardic, Mignon (2002), Econometria seriilor de timp macroeconomice și financiare, Economica , Paris
• Maddala, Kim (1998), Rădăcini unitare, Cointegrare și schimbări structurale, Cambridge University Press

1. Kwiatkowski, D., PCB Phillips, P. Schmidt și Y. Shin (1992), „Testarea ipotezei nule a staționarității împotriva alternativei unei rădăcini unitare”, Journal of Econometrics , 54, 159-178.
2. Leybourne, SJ și BPM McCabe (1994), „Un test coerent pentru o rădăcină a unității”, Journal of Business and Economic Statistics , 12, 157-166
3. Dickey, DA și WA Fuller (1979), „Distribuția estimatorilor pentru seria de timp autoregresivă cu o rădăcină unitară”, Journal of the American Statistical Association , 74, p. 427–431
4. Said E. și David A. Dickey (1984), „Testarea rădăcinilor unitare în modele medii mobile autoregresive de ordine necunoscută”, Biometrika , 71, p 599–607
5. Phillips, Perron (1988) Testing for a Unit Root in a Time Series Regression, Biometrika , 75, p. 335-346
6. Elliott, G., Rothenberg, T. și Stock, J. (1996). Teste eficiente pentru o rădăcină de unitate autoregresivă. Econometrica , 64, 813-836

Link extern

• Exemple de serii temporale nestacionare

Vezi și tu

• Econometrie
• Proces staționar
• Serii cronologice
• Statistic

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">