Conul revoluției

Con circular drept sau conul de revoluție este o suprafață generată de revoluția unei secant linie la o axă fixă în jurul acesteia din urmă. Acesta este un caz special al unui con .

Solidul delimitat de un semicon și două planuri perpendiculare pe axa sa de revoluție se numește con trunchiat.

Forma conică este o familie larg utilizată de curbe plane algebrice rezultate din intersecția unui plan cu un con de revoluție.

Ecuații și parametrizare

Într-un sistem de coordonate ortonormale al spațiului, conul generat de rotația unei linii care trece prin O în jurul axei ( Oz ) este setul de puncte cu coordonate cilindrice : ${\ displaystyle (\ rho, \ theta, z)}$

${\ displaystyle \ rho = z \ tan \ phi}$

unde este unghiul dintre linie și axă (unghi unghiular în partea de sus a conului). $\ phi$

Deducem ecuația în coordonate carteziene : $(X Y Z)$

x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2} \ tan ^ {2} \ phi

Și parametrizare: . ${\ displaystyle \ qquad {\ begin {cases} x = u \ cos v \\ y = u \ sin v \\ z = u \ cot \ phi \ end {cases}} \ quad}$

Zonele și volumele asociate

Zona laterală și volumul unui con trunchiat

Zona laterală și volumul conului solid (con trunchiat delimitat de un semicon și un plan la o distanță $h$ de vârful care intersectează conul de-a lungul unui cerc de rază $r$ )

{\ displaystyle A = \ pi rR = \ pi r {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}},}

{\ displaystyle V = {\ frac {\ pi} {3}} r ^ {2} h.}

În cazul general, dacă cele două planuri, îndepărtate de h, intersectează conul de-a lungul a două cercuri de rază $r 1$ și $r 2$ , aria laterală și volumul sunt egale cu:

{\ displaystyle A = \ pi (r_ {1} + r_ {2}) {\ sqrt {(r_ {1} -r_ {2}) ^ {2} + h ^ {2}}} = \ pi (r_ {1} + r_ {2}) S}

Relațiile dintre conul trunchiat și modelul acestuia

Conul trunchiat de înălțime h și raza de bază r are ca model plan un disc de rază R în care a fost tăiat un sector de colț .

\ theta

Relația dintre R, r și apoi: . Prin eliminarea r între această relație și obținem: .

\ theta

{\ displaystyle {\ frac {R} {r}} = {\ frac {2 \ pi} {2 \ pi - \ theta}}}

{\ displaystyle R ^ {2} = r ^ {2} + h ^ {2}}

{\ displaystyle h = R {\ sqrt {{\ frac {\ theta} {2 \ pi}} \ left (2 - {\ frac {\ theta} {2 \ pi}} \ right)}}}

Relația dintre și este: .

\ theta

\ phi

{\ displaystyle \ theta = 2 \ pi (1- \ sin \ phi)}

Volum maxim con trunchiat pentru o rază de model dată

Din formulă , obținem că volumul maxim la R fix este obținut pentru . ${\ displaystyle V = {\ frac {\ pi} {3}} (R ^ {2} -h ^ {2}) h}$ ${\ displaystyle h = R / {\ sqrt {3}}}$

Volumul maxim merită astfel , jumătatea unghiului în partea de sus (a se vedea continuarea A195695 a OEIS ) și unghiul din centrul sectorului discului . ${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {27}} {\ sqrt {3}} R ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ phi = \ arctan {(1 / {\ sqrt {2}})} \ approx 35 ^ {\ circ} 16 '}$ ${\ displaystyle \ theta = 2 \ pi \ left (1 - {\ sqrt {\ frac {2} {3}}} \ right) \ approx 66 ^ {\ circ} 4 '}$

Note și referințe

Gieck, formular tehnic , ediția a 10- a , 1997 C2
(în) John D. Barrow, „ Spațiul cosmic: conuri de înghețată arhimedeană ” pe plus.math.org (accesat la 7 din 2017 )

Articole similare