Stres de forfecare

Un efort de forfecare τ (litera greacă "tau") este o solicitare mecanică aplicată paralel sau tangențial pe fața unui material, spre deosebire de eforturile normale care se aplică ortogonal pe suprafață. Este raportul dintre o forță și o suprafață. Prin urmare, are dimensiunea unei presiuni , exprimată în pascale sau pentru valori mari în megapascali (MPa).

Definiție

Formula generală pentru calcularea efortului de forfecare este:

\ tau = {\ frac {{\ mathrm {F}}} {{\ mathrm {A}}}},

\ tau

(Litera greacă „tau”) este tensiunea de forfecare , sau cisiunea ; F este forța tangențială aplicată; A este aria secțiunii tangențiale forței. Unități utilizate

mărimea	Unități de sistem internaționale (uSI)	Unități convenționale
mărimea	Unități de sistem internaționale (uSI)	Inginerie mecanică (mm kg s)	Inginerie mecanică (2)	Sistem anglo-saxon
F	newtoni (N)	newtoni (N)	decanewtons (daN)	lira-forță (lbf)
LA	metru pătrat (m 2 )	milimetru pătrat (mm 2 )	centimetru pătrat (cm 2 )	inch pătrat (în 2 )
$\ tau$	pascale (Pa)	megapascali (MPa)	bare (bar)	psi

În cazul materialelor solide elastice, efortul de forfecare τ este legat de variația unghiului drept γ de modulul de forfecare G prin relația:

\ tau = \ gamma \ cdot {\ mathrm {G}}

Unghiul γ este, de asemenea, o deplasare relativă ( pe imagine). $\ Delta l / l$

Modulul de forfecare este în general exprimat în megapascali sau gigapascali. Unghiul γ este întotdeauna în radiani .

Stres de forfecare pentru un fluid

Pentru orice fluid real cu vâscozitate , există solicitări de forfecare. Într-adevăr, chiar dacă un fluid este în mișcare, acesta trebuie să aibă o viteză zero în zona de contact cu solidele. Și orice diferență de viteză într-un fluid vâscos are ca rezultat solicitări de forfecare: particulele de fluid care merg mai repede sunt frânate de cei care merg mai încet. Acesta este și motivul pentru care este necesar să se exercite o anumită forță pentru a pune în mișcare un fluid.

Relația dintre tensiunea de forfecare și gradientul de viteză este scrisă, pentru un fluid newtonian :

$\ tau (y) = \ mu {\ frac {\ partial u} {\ partial y}},$

\ mu

= vâscozitate dinamică ;

tu

= viteza fluidului la o înălțime ;

y

y

= coordonata spațială care identifică poziția fluidului.

Constrângeri asupra materialelor

În teoria fasciculului

In teoria grinzilor , prin urmare , părțile subțiri (mai mult decât lat), forfecare apare atunci când există o forță de forfecare: dacă x este axa fasciculului, componentele T y și / sau T z a coeziunii torsor sunt non- zero.

Forfecare simplă

Există forfecare simplă atunci când se aplică două forțe și perpendiculare pe axă, punctele de aplicare fiind ușor decalate (printr-o cantitate notată d pe diagrama opusă): dacă sunt la dreapta (la aceeași abscisă), avem ciupiri , și dacă sunt foarte îndepărtați, avem o îndoire. Observăm în treacăt că rezultă un cuplu T × d , care trebuie compensat în altă parte, este acest cuplu care creează îndoire dacă d este important și care diferențiază forfecarea pură (forfecarea teoretică, inclusiv torsorul coeziunii, conține doar o forță de forfecare) de forfecare simplă (care conține un moment de încovoiere) ${\ vec {{\ mathrm {T}}}}$ $- {\ vec {{\ mathrm {T}}}}$

Tăierea simplă are loc între punctele de aplicare a forței; prin urmare, nu suntem în condițiile de aplicare a principiului Saint-Venant . Considerăm că stresul este uniform:

\ tau = {\ frac {{\ mathrm {T}}} {{\ mathrm {S}}}}

unde S este aria secțiunii drepte.

Materialul rămâne în domeniul elastic atâta timp cât forfecarea verifică:

τ ≤ R de ex

unde R de exemplu este limita elastică la alunecare. Este conectat la limitele de elasticitate la tracțiune (R e ) și la compresie (R ec ) prin:

{\ mathrm {R _ {{eg}}}} = {\ frac {k_ {0}} {1 + k_ {0}}} \ cdot {\ mathrm {R_ {e}}}

{\ displaystyle k_ {0} = {\ frac {\ mathrm {R_ {ec}}} {\ mathrm {R_ {e}}}}}

De obicei:

pentru oțeluri blânde (R e ≤ 270 MPa ) și aliaje de aluminiu: R ex . : 0,5 × R e ;
pentru oțeluri semidure (320 ≤ R e ≤ 500 MPa ): R de ex. = 0,7 × R e ;
pentru oțeluri dure (R e ≥ 600 MPa ) și fontă: R ex . : 0,8 × R e .

Pentru validarea unui proiect, se aplică în general un coeficient de siguranță s . Validarea la starea limită finală (ULS) este apoi exprimată prin condiție

τ ≤ R pg

unde R pg este rezistența practică la alunecare, R pg = R eg / s .

Caz de îndoire

În cazul îndoirii ( d "suficient de mare"), stresul nu mai este uniform: în condițiile principiului Saint-Venant (deci departe de punctele de aplicare a forțelor), condițiile de echilibru impun ca tensiunea pe o suprafață liberă este perpendiculară pe această suprafață, deci τ = 0 în sus și în jos și este maximă pe fibra neutră .

În teoria Euler-Bernoulli, forfecarea este neglijată pentru îndoire. Pe de altă parte, este luat în considerare în teoria lui Timoșenko (pentru grinzile groase).

Caz de torsiune

În timpul unei răsuciri, materialul este supus la forfecare pură.

În cazul unei părți de secțiune cilindrică închisă, este vorba de o torsiune uniformă. Stresul este nul în centru (cu fibra neutră) și este maxim în periferie. Această solicitare maximă poate fi calculată prin:

\ tau _ {\ max} = {\ frac {{\ mathrm {M_ {t}}}} {{\ mathrm {C}}}}

M t este cuplul;
C este modulul torsional, în funcție de geometria secțiunii.

Cu toate acestea, pentru secțiunile goale ( de forme convexe ), tensiunea tangentă este exprimată în funcție de grosimea ( t) după cum urmează :

${\ displaystyle \ tau _ {i} = T_ {ED} / (2A_ {k} t)}$

astfel încât este zona conturului trasat la grosimea medie a peretelui. ${\ displaystyle A_ {k}}$

În teoria plăcilor

În teoria plăcilor, atunci când se izolează un element de placă, este necesar să se definească forfecarea pe două perechi de fețe opuse. Dacă axa z este normală pentru placă, se numește q x forța de forfecare pe față normală pe axa x și q y forța de forfecare pe față normală pe axa y . Într-o situație de îndoire, distribuția cisiilor τ xz ( z ) și τ yz ( z ) este identică cu cazul grinzii în îndoire.

Exemple de aplicații

În ingineria mecanică , cazurile de defectare la forfecare se referă în principal la axe. Punctul esențial constă în numărarea secțiunilor forfecate.

În cazul unei articulații în consolă (caz tipic al unei balamale ), există o singură secțiune forfecată. Dacă axa are un diametru d , zona tăiată este pur și simplu

S = π d cu 2 / , 4.

În cazul unei articulații a capului, piesa trebuie să se rupă în două locuri, deci există două secțiuni forfecate. Zona decupată este deci

S = 2 x π d 2 / , 4. Axa articulației

Forța N supune axa la forfecare în două secțiuni S determinate de tija de legătură și ansamblul cheii (fig. 1).

Tensiunea de forfecare este: , $\ tau = {\ frac {{\ mathrm {N}}} {{\ mathrm {S}}}}$

fie: . ${\ displaystyle \ mathrm {S} = {\ frac {\ pi d ^ {2}} {4}}}$

Ansamblu nit și șurub

Îmbinările nituite și șurubate sunt îmbinări lipite. Adeziunea este cea care se opune forțelor, dacă proiectarea este corectă, nu ar trebui să existe niciodată forfecare. Cu toate acestea, dacă nu a fost posibil să se exercite o forță de presare suficientă (în cazul șuruburilor pentru lemn, de exemplu), este necesar să se dimensioneze cu forfecare.

În cazul forfecării pure, formula se aplică pentru fiecare secțiune (fig. 3 are două secțiuni, figurile 2 și 4 au patru secțiuni supuse forfecării). $\ tau = {\ frac {{\ mathrm {N}}} {{\ mathrm {S}}}}$

Stresul pe filetele cu șurub

În figura 5, forța tangențială maximă (forța de strângere) aplicată pe tija șurubului va fi egală cu produsul secțiunii inelare (perimetrul de la baza filetului de înălțimea utilă a piuliței) de valoarea rezistența la forfecare a materialului.

În mecanica continuă a mediilor

Componentele tensorului de solicitare

Un solid este descris într-un sistem de coordonate ortonormale directe. Luați în considerare un cub de materie cu latura a ale cărei fețe sunt normale pentru axele sistemului de coordonate. Să ne numărăm fețele: $({\ mathrm {O}}, {\ vec {e}} _ {1}, {\ vec {e}} _ {2}, {\ vec {e}} _ {3})$

fețele i și - i sunt fețele normale , începând de la centrul cubului, indică spre i , fața - i fiind fața opusă.

{\ vec {e_ {i}}}

{\ vec {e_ {i}}}

Pe fața 1 se exercită un vector de forță . Componenta tangențială a acestei forțe creează forfecare. Dacă vectorul de forță are pentru componente ${\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {1}$ ${\ vec {{\ mathrm {T}}}} _ {1}$

{\ vec {{\ mathrm {F}}}} _ {1} = {\ begin {pmatrix} {\ mathrm {F}} _ {{11}} \\ {\ mathrm {F}} _ {{21 }} \\ {\ mathrm {F}} _ {{31}} \ end {pmatrix}}

atunci vectorul tangențial are pentru componente

{\ vec {{\ mathrm {T}}}} _ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ {\ mathrm {F}} _ {{21}} \\ {\ mathrm {F}} _ {{31}} \ end {pmatrix}}

astfel se definește, pentru fața 1, două componente ale efortului de forfecare:

σ 21 = F 21 / a 2 σ 31 = F 31 / a 2

În general, pentru fața j , definim cele două cisiuni σ ij , i ≠ j . Aceste solicitări sunt componente ale tensorului de solicitare. Uneori le denotăm τ ij , i ≠ j .

Dacă elementul materiei este în echilibru, nu trebuie să se miște. Stresul exercitat asupra feței - j este deci opusul celui exercitat asupra j : σ i -j = -σ ij : sunt simetrice.

Mai mult, aceste constrângeri creează un cuplu. Cu toate acestea, la echilibru, elementul materiei nu trebuie să se rotească, deci avem un cuplu opus (σ ji , σ j -i ). Deducem că tensorul de solicitare este simetric:

σ ji = σ ij .Cercul lui Mohr

În cazul forfecării pure, cercul lui Mohr este centrat pe originea mărcii de referință.

Vezi și tu

Note și referințe

D. Spenlé și R. Gourhant , Ghid de calcul în mecanică: controlul performanței sistemelor industriale , Paris, Hachette,2003, 272 p. ( ISBN 2-01-168835-3 , aviz BnF n o FRBNF39021238 ) , p. 191