Co-finalitate

Se consideră o mulțime A dotată cu o relație binară ≤. Se spune că un subset B al lui A este cofinal dacă:

pentru orice element a din A, există un element b din B astfel încât a ≤ b ; ∀ a ∈ A, ∃ b ∈ B \ a ≤ b .

Cofinality set A este cardinalitatea a celui mai mic subset cofinal de A.

Co - finalitatea unei ordinal limită este cea mai mică ordinal , astfel încât există o necartografiat funcție . Acest ordinal este de obicei notat sau . $\alfa$ $\ beta$ $f: \ beta \ rightarrow \ alpha$ ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cf} (\ alpha)}$

Intuitiv, este cel mai mic număr de pași de parcurs pentru a ajunge la sfârșitul anului . ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}$ $\alfa$

De exemplu, putem merge la sfârșitul în pași, cu funcția de identitate, dar nu putem merge la sfârșitul într-un număr finit de pași. Deci avem . $\ aleph_0$ $\ aleph_0$ $\ aleph_0$ ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ aleph _ {0}) = \ aleph _ {0}}$

Un cardinal care este egal cu cofinalitatea sa, ca și aici , se numește cardinal obișnuit . $\ aleph_0$

În mod similar, putem merge după în ea , dar nu se poate face acest lucru într - un număr de pași numărabil. Deci avem ; care este deci și un cardinal obișnuit. $\ aleph _ {1}$ $\ aleph _ {1}$ ${\ displaystyle cof (\ aleph _ {1}) = \ aleph _ {1}}$

Pe de altă parte, putem merge până la final în pași, cu funcția definită de , prin urmare . $\ aleph _ {\ omega}$ $\ aleph_0$ ${\ displaystyle f: \ aleph _ {0} \ rightarrow \ aleph _ {\ omega}}$ ${\ displaystyle f (n) = \ aleph _ {n}}$ ${\ displaystyle cof (\ aleph _ {\ omega}) = \ aleph _ {0}}$

Un cardinal care nu este regulat, adică nu este egal cu cofinalitatea sa, așa cum se numește aici cardinal singular . $\ aleph _ {\ omega}$

Proprietăți

Pentru orice ordinal limită , avem următoarele proprietăți: $\alfa$

${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}$ exista;
${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}$ este un cardinal ;
${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ alpha)}$ cu alte cuvinte este regulat ; ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ operatorname {cof} (\ alpha)) = \ operatorname {cof} (\ alpha)}$
Dacă și atunci este delimitat; ${\ displaystyle \ mathrm {X} \ subset \ alpha}$ ${\ displaystyle | \ mathrm {X} | <\ operatorname {cof} (\ alpha)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {X}}$
dacă este un ordinal limită, atunci ; de exemplu ,. $\ beta$ ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ aleph _ {\ beta}) = \ operatorname {cof} (\ beta)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ aleph _ {\ aleph _ {1}}) = \ operatorname {cof} (\ aleph _ {1}) = \ aleph _ {1}}$

Pentru orice cardinal infinit , avem următoarele proprietăți: $\ kappa$

${\ displaystyle \ kappa <\ kappa ^ {\ operatorname {cof} (\ kappa)}}$ , este o consecință a teoremei lui König ;
pentru orice cardinal , ; căci și , obținem , avem, prin urmare, în special ; aceasta este și o consecință a teoremei lui König. $\ lambda$ ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (\ lambda ^ {\ kappa})> \ kappa}$ ${\ displaystyle \ lambda = 2}$ ${\ displaystyle \ kappa = \ aleph _ {0}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (2 ^ {\ aleph _ {0}})> \ aleph _ {0}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} \ neq \ aleph _ {\ omega}}$

Co-finalitatea cardinalilor face posibilă evidențierea anumitor diferențe de comportament. De exemplu, în ceea ce privește exponențierea cardinală, William B. Easton (în) a dovedit în esență că, pentru cardinali obișnuiți, singurele constrângeri demonstrabile în funcție sunt și . Pentru cardinali singulari, situația este diferită. În special, Jack Silver (în) a demonstrat că dacă este singular și de necontestabilă co-finalitate, și dacă pentru orice , atunci . ${\ displaystyle \ mathrm {ZFC}}$ ${\ displaystyle f (\ kappa) = 2 ^ {\ kappa}}$ ${\ displaystyle \ kappa \ leq \ lambda \ Rightarrow f (\ kappa) \ leq f (\ lambda)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cof} (f (\ kappa))> \ kappa}$ $\ kappa$ ${\ displaystyle \ lambda <\ kappa}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ lambda} = \ lambda ^ {+}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ kappa} = \ kappa ^ {+}}$

Generalizări

Putem generaliza noțiunea de cofinalitate la orice set preordonat : dacă este un set preordonat, cofinalitatea lui este cel mai mic cardinal al unei părți cofinale din , adică astfel încât pentru orice lucru există astfel încât . ${\ displaystyle (A, \ leq)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ mathrm {B}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle b \ in \ mathrm {B}}$ $a \ leq b$

De exemplu, dacă este setul de funcții în sine înzestrat cu precomanda definită de dacă și numai dacă pentru orice număr întreg dintr-un anumit rang, atunci cofinalitatea acestei precomenzi, în general notată și numită numărul dominant ( engleză : număr dominant ) , este un cardinal între și , dar valoarea sa exactă nu poate fi determinată în axiomatica obișnuită a teoriei mulțimilor, ZFC . ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ $\omega$ ${\ displaystyle \ leq ^ {*}}$ ${\ displaystyle f \ leq ^ {*} g}$ ${\ displaystyle f (n) \ leq g (n)}$ $nu$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {d}}}$ $\ aleph _ {1}$ $2 ^ {\ aleph _ {0}}$

Teoria CPF (in) introdus de Saharon Șela , studiind posibile cofinalités de ultraproducts unor seturi ordonate. Acest lucru i-a permis să demonstreze noi inegalități în ceea ce privește exponențierea cardinală, ca de exemplu ,. ${\ displaystyle \ aleph _ {\ omega} ^ {\ aleph _ {0}} \ leq 2 ^ {\ aleph _ {0}} + \ aleph _ {\ omega _ {4}}}$

Referințe

MyiLibrary ( Serviciu online) , Teoria seturilor , Springer ( ISBN 978-3-540-44085-7 și 3-540-44085-2 , OCLC 757105116 , citiți online )
(în) William Bigelow Easton, „ Puterile cardinalilor obișnuiți ” , Annals Of Mathematical Logic , vol. 1, n o 21970, p. 139-178 ( citește online )
(în) Jack Silver, „ Despre problema cardinală singulară ” , Proceedings of the International Congress of Mathematicians , Vol. 1,1975(265-268)
Shelah Saharon , aritmetică cardinală , Clarendon Press,1 st ianuarie 2002, 481 pag. ( ISBN 978-0-19-853785-4 , OCLC 909512480 , citit online )