Teorema lui König (teoria mulțimilor)

Teorema Kőnig în teoria mulțimilor se datorează matematicianul maghiar Julius König (1849-1913).

Teorema lui Kőnig

Se demonstrează folosind axioma de alegere (la care este de fapt echivalent) și se afirmă după cum urmează:

Teorema - Fie și două familii de Cardinali indexate de același set astfel încât pentru orice element al , . Apoi avem: $(a_ {i}) _ {{i \ in I}}$ $(b_ {i}) _ {{i \ in I}}$ $Eu$ $eu$ $Eu$ $a_ {i} <b_ {i}$

\ qquad \ sum _ {{i \ in I}} a_ {i} <\ prod _ {{i \ in I}} b_ {i}

Demonstrație

Corolar

Se citește după cum urmează:

Corolar - Puterea continuului nu este suma unei familii numărabile Cardinalilor strict mai mici.

Demonstrație

Notând relația de echipotență, folosim următoarele trei considerații: $\ sim$

${\ displaystyle \ mathbb {R} \ sim \ {0; 1 \} ^ {\ mathbb {N}}}$ (vezi această dovadă folosind baza 2 );
${\ displaystyle (\ {0; 1 \} ^ {\ mathbb {N}}) ^ {\ mathbb {N}} \ sim \ {0; 1 \} ^ {\ mathbb {N} \ times \ mathbb {N }}}$ ( Décurryfication : ); ${\ displaystyle f \ mapsto (\ varphi: (x, y) \ mapsto f (x) (y))}$
${\ displaystyle \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N} \ sim \ mathbb {N}}$ (cf. justificare ).

Putem deduce: ${\ displaystyle \ prod _ {i \ in \ mathbb {N}} \ mathbb {R} = \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} \ sim (\ {0; 1 \} ^ {\ mathbb { N}}) ^ {\ mathbb {N}} \ sim \ {0; 1 \} ^ {\ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}} \ sim \ {0; 1 \} ^ {\ mathbb { N}} \ sim \ mathbb {R}}$ . Este suficient să se aplice teorema lui König cu și . ${\ displaystyle I = \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ forall i \ in I, b_ {i} = \ mathbb {R}}$

În sistemul ZFC (al lui Zermelo-Fraenkel cu axiomă la alegere), această teoremă este cel mai bun rezultat cu privire la dimensiunea continuumului.