Coeficientul Poisson
Evidențiat (analitic) de Siméon Denis Poisson , raportul lui Poisson (numit și raportul principal al lui Poisson) face posibilă caracterizarea contracției materiei perpendiculare pe direcția forței aplicate.
Definiție
ν=contracție transversală relativăalungire longitudinală relativă=(l0-l)/l0(L-L0)/L0=1-ll0LL0-1{\ displaystyle \ nu = {\ frac {\ text {contracție transversală relativă}} {\ text {alungire longitudinală relativă}}} = {\ frac {(l_ {0} -l) / l_ {0}} {(L -L_ {0}) / L_ {0}}} = {\ frac {1 - {\ frac {l} {l_ {0}}}} {{\ frac {L} {L_ {0}}} - 1 }}}
În cel mai general caz, raportul Poisson depinde de direcția alungirii, dar:
- în cazul important al materialelor izotrope este independent de acestea;
- în cazul unui material izotrop transversal (en), sunt definiți trei coeficienți Poisson (dintre care doi sunt legați printr-o relație);
- în cazul unui material ortotrop , se definesc doi coeficienți Poisson (legați printr-o relație) pentru fiecare dintre cele trei direcții principale.
Raportul lui Poisson este una dintre constantele elastice . Este neapărat între -1 și 0,5, dar în general pozitiv. Unele materiale create de om și unele materiale naturale (unele roci sedimentare bogate în cuarț ) au un raport Poisson negativ; se spune că aceste materiale particulare sunt auxetice . Valorile experimentale obținute pentru orice material sunt adesea apropiate de 0,3.
Relații
Cazul unui material izotrop
- Schimbarea volumului ΔV / V datorată contracției materialului poate fi dată de formulă (valabilă numai pentru deformări mici):
ΔVV0≈(1-2ν)ΔLL0{\ displaystyle {\ frac {\ Delta V} {V_ {0}}} \ approx (1-2 \ nu) {\ frac {\ Delta L} {L_ {0}}}}
Demonstrație
Fie un cub format dintr-un material izotrop cu un volum inițial și un volum final .
În cazul în care
relația dintre cele două este , prin urmare:
V0=L03{\ displaystyle V_ {0} = L_ {0} ^ {3}}V=L⋅l2=L0(1+ϵ)⋅(L0(1-ν⋅ϵ))2{\ displaystyle V = L \ cdot l ^ {2} = L_ {0} (1+ \ epsilon) \ cdot (L_ {0} (1- \ nu \ cdot \ epsilon)) ^ {2}}
ϵ=ΔLL0{\ displaystyle \ epsilon = {\ frac {\ Delta L} {L_ {0}}}}
V=(V0+ΔV)=V0⋅(1+ϵ)⋅(1-ν⋅ϵ)2{\ displaystyle V = (V_ {0} + \ Delta V) = V_ {0} \ cdot (1+ \ epsilon) \ cdot (1- \ nu \ cdot \ epsilon) ^ {2}} , sau prin dezvoltarea:
V=(V0+ΔV)=V0⋅(1+ϵ-2⋅ν⋅ϵ+ν2⋅ϵ2-2⋅ν⋅ϵ2+ν2⋅ϵ3){\ displaystyle V = (V_ {0} + \ Delta V) = V_ {0} \ cdot (1+ \ epsilon -2 \ cdot \ nu \ cdot \ epsilon + \ nu ^ {2} \ cdot \ epsilon ^ { 2} -2 \ cdot \ nu \ cdot \ epsilon ^ {2} + \ nu ^ {2} \ cdot \ epsilon ^ {3})}
Presupunerea unor mici deformări face posibilă neglijarea termenilor de ordinul doi, apoi se obține:
V0+ΔV=V0⋅(1+ϵ-2⋅ν⋅ϵ){\ displaystyle V_ {0} + \ Delta V = V_ {0} \ cdot (1+ \ epsilon -2 \ cdot \ nu \ cdot \ epsilon)}
ΔV=V0⋅(ϵ-2⋅ν⋅ϵ){\ displaystyle \ Delta V = V_ {0} \ cdot (\ epsilon -2 \ cdot \ nu \ cdot \ epsilon)}
împărțind această relație la volumul inițial :
V0{\ displaystyle V_ {0}}
ΔVV0=(1-2ν)⋅ϵ{\ displaystyle {\ dfrac {\ Delta V} {V_ {0}}} = (1-2 \ nu) \ cdot \ epsilon}
K=13E(1-2ν){\ displaystyle K = {\ frac {1} {3}} {\ frac {E} {(1-2 \ nu)}}}Această relație arată că trebuie să rămână mai puțin de ½ pentru ca modulul izostatic de elasticitate să rămână pozitiv. Observăm, de asemenea, valorile particulare ale lui ν:
ν{\ displaystyle \ nu}
- pentru ν = 1/3 a fost K = E .
- pentru ν → 0,5 avem incompresibilitatea K → ∞ (de exemplu, cazul cauciucului )
E=2(1+ν)⋅G{\ displaystyle E = 2 (1+ \ nu) \ cdot G}.
Această relație evidențiază faptul că nu poate fi mai mică de -1, dacă nu modulul său de forfecare ar fi negativ (ar fi solicitat în tensiune imediat ce ar fi comprimat!).
ν{\ displaystyle \ nu}
Cazul unui laminat (izotrop transversal)
Raportul Poisson secundar este apoi definit prin următoarea relație:
E1ν12=E2ν21{\ displaystyle {\ frac {E_ {1}} {\ nu _ {12}}} = {\ frac {E_ {2}} {\ nu _ {21}}}}
unde și sunt modulele de materiale ale lui Young și este raportul Poisson secundar.
E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}ν21{\ displaystyle \ nu _ {21}}
Cazul materialelor naturale
Raportul lui Poisson poate fi calculat din alungirea longitudinală și contracția transversală, măsurată direct.
Pentru materiale foarte rigide, poate fi mai convenabil pentru a măsura viteza de propagare a undele P și undele S și care provin raportul Poisson, datorită relației:
ν=12[1-1(VPVS)2-1]{\ displaystyle \ nu = {\ frac {1} {2}} \ left [1 - {\ frac {1} {\ left ({\ frac {V _ {\ mathrm {P}}} {V _ {\ mathrm {S}}}} \ right) ^ {2} -1}} \ right]}.
Corpuri simple
Majoritatea corpurilor simple în stare solidă au un raport Poisson între 0,2 și 0,4. Din 64 dintre aceste corpuri simple, doar 6 au un coeficient mai mare de 0,4 ( Si : 0,422; Au : 0,424; Pb : 0,442; Mo : 0,458; Cs : 0,460; Tl : 0,468) și 4 un coeficient mai mic decât 0, 2 ( Ru : 0,188; Eu : 0,139; Fie : 0,121; U : 0,095); niciunul nu este auxetic .
Oxizi
160 oxizi testate în 2018, este o singură auxetic în condiții ambientale , cristobalit a ( ν = -0.164), iar restul de 20 acompaniat de dintru 1500 ° C . Cuarț are de asemenea raportul unui Poisson semnificativ mai mici decât ceilalți oxizi: ( ν = 0,08 , la temperatura camerei.
Pentru 97,4% din oxizi, raportul Poisson este între 0,150 și 0,400 ( medie : 0,256; deviație standard : 0,050). În general, raportul Poisson este corelat pozitiv cu densitatea : (excluzând cristobalitul și cuarțul), dar coeficientul de determinare r 2 nu este foarte mare: 0,28. Corelația este mai bună atunci când avem în vedere numai oxizii care cristalizează în același sistem reticular :
ν≈0,0285ρ-0,1227{\ displaystyle \ nu \ approx 0 {,} 0285 \, \ rho -0 {,} 1227}
Raportul Poisson dintre oxizi
Sistem |
nu |
Ecuația de corelație |
r 2
|
---|
hexagonal |
8 |
ν≈0,0506ρ+0,067{\ displaystyle \ nu \ approx 0 {,} 0506 \, \ rho +0 {,} 067} |
0,99
|
trigonal |
24 |
ν≈0,0852ρ-0,1267{\ displaystyle \ nu \ approx 0 {,} 0852 \, \ rho -0 {,} 1267} |
0,83
|
cub |
70 |
ν≈0,0852ρ-0,1267{\ displaystyle \ nu \ approx 0 {,} 0852 \, \ rho -0 {,} 1267} |
0,46
|
tetragonal |
19 |
ν≈0,0525ρ-0,0264{\ displaystyle \ nu \ approx 0 {,} 0525 \, \ rho -0 {,} 0264} |
0,36
|
ortorombic |
33 |
ν≈0,0129ρ+0,1873{\ displaystyle \ nu \ approx 0 {,} 0129 \, \ rho +0 {,} 1873} |
0,27
|
-
Oxidul monoclinic unic studiat are un raport Poisson de 2.271.
-
n : numărul de oxizi luați în considerare în regresia liniară.
Silicați
Raportul Poisson al celor 301 silicați testați în 2018 (9 ciclosilicați , 43 inosilicați , 219 neosilicați , 5 filosilicați și 25 tectosilicați ) variază între 0,080 pentru cuarț și 0,365 pentru zircon . Dacă exceptăm aceste două extreme, ν variază între 0,200 și 0,350 (medie: 0,261; deviație standard: 0,030).
Alți compuși anorganici
Raportul Poisson de carbonați , halogenuri , fosfați , sulfați și sulfuri variază între 0,091 și 0,379:
Raportul lui Poisson asupra diferiților compuși chimici
Compuși |
nu |
Gama de valori |
In medie |
Deviație standard
|
---|
Carbonati |
12 |
0.178-0.319 |
0,288 |
0,041
|
Halogenuri |
10 |
0.133-0.310 |
0,258 |
0,048
|
Fosfați |
8 |
0,091-0,316 |
0,243 |
0,083
|
Sulfatii |
8 |
0.191-0.379 |
0,305 |
0,057
|
Sulfuri |
10 |
0.160-0.376 |
0,290 |
0,086
|
Unele valori numerice
Caracteristicile mecanice ale materialelor variază de la o probă la alta. Cu toate acestea, pentru calcule, următoarele valori pot fi considerate o bună aproximare. Raportul Poisson nu are unitate.
Metale pure
Material
|
ν
|
---|
Aluminiu (Al)
|
0,346
|
Beriliu (Be)
|
0,032
|
Bor (B)
|
0,21
|
Cupru (Cu)
|
0,33
|
Fier (Fe)
|
0,21 - 0,259
|
Magneziu (Mg)
|
0,35
|
Aur (Au)
|
0,42
|
Plumb (Pb)
|
0,44
|
Titan (Ti)
|
0,34
|
|
|
Pahare, ceramică, oxizi, carburi metalice, minerale
Material
|
ν
|
---|
Lut umed
|
0,40 - 0,50
|
Beton
|
0,20
|
Nisip
|
0,20 - 0,45
|
Carbid de siliciu (SiC)
|
0,17
|
Dacă 3 N 4
|
0,25
|
Sticlă |
0,18 - 0,3
|
|
Materiale naturale
Material
|
ν
|
---|
Polimeri , fibre
|
0,30 - 0,50
|
Cauciuc |
0,50
|
Plută |
0,05 - 0,40
|
Spumă
|
0,10 - 0,40
|
Plexiglas ( polimetilmetacrilat )
|
0,40 - 0,43
|
|
Note și referințe
Note
-
cristobalit a este o polimorfa metastabilă a dioxidului de siliciu SiO 2 .
-
cuarț nu este strict vorbind un silicat (care este un oxid ), dar este clasificat ca silicații cadru în diverse minerale clasificări .
Referințe
-
(ro) Shaocheng Ji, Le Li, Hem Bahadur Motra, Frank Wuttke, Shengsi Sun și colab. , „ Raportul lui Poisson și proprietățile auxetice ale rocilor naturale ” , Journal of Geophysical Research - Solid Earth , vol. 123, n o 2februarie 2018, p. 1161-1185 ( DOI 10.1002 / 2017JB014606 ).
-
(în) A. Yeganeh-Haeri, DJ Weidner și JB Parise, „ Elasticitatea α-cristobalitului: un dioxid de siliciu cu un raport Poisson negativ ” , Știință , vol. 257, nr . 507031 iulie 1992, p. 650-652 ( DOI 10.1126 / science.257.5070.650 ).
Articole similare
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">