Coeficientul Fresnel

De Coeficienții Fresnel , introduse de Augustin Jean Fresnel (1788-1827), intervin în descrierea fenomenului de reflexie - refracție a undelor electromagnetice la interfața dintre două medii, al căror indice de refracție este diferit. Ele exprimă legăturile dintre amplitudinile undelor reflectate și transmise în raport cu amplitudinea undei incidente.

General

Coeficientul de reflectare a amplitudinii r și coeficientul de transmitere a amplitudinii t al câmpului electric sunt definite de:

r = \ frac {E_ {r}} {E_ {i}}

t = \ frac {E_ {t}} {E_ {i}}

unde E i , E r și E t sunt amplitudinile asociate respectiv cu câmpul electric incident, reflectat și transmis (refractat).

În general, acești coeficienți depind de:

a indicilor optici ai intrare și ieșire media, respectiv n 1 și n 2
a frecvenței f a undei de incidență
unghiuri de incidență θ i = θ 1 și de refracție-transmisie θ t = θ 2 ,
a polarizării undelor. Polarizarea undei care poate fi modificată în timpul traversării interfeței.

Acestea sunt obținute luând în considerare relațiile de continuitate la interfața componentelor tangențiale ale câmpurilor electrice și magnetice asociate cu unda.

Calcule ale coeficienților în cazul general

Luați în considerare 2 medii, cu indici de refracție diferiți, separați printr-o interfață plană.

Ipoteze de lucru

Unda incidentă este o undă plană, de vector de undă și de pulsație . ${\ vec {k}}$ $\omega$

Coeficienții Fresnel calculați aici sunt valabili numai în baza următoarelor ipoteze pe suport:

Nu sunt magnetice .
Ele sunt liniare , omogene și izotrope .

Se adaugă și o ipoteză de calcul, și anume ipoteza armonică care constă în luarea în considerare a mărimilor electromagnetice la o anumită frecvență și în notarea lor ca părți reale ale mărimilor complexe. Acest lucru simplifică calculele și, de asemenea, face posibilă deducerea din ecuații într-un mod estetic fenomene electromagnetice, cum ar fi absorbția, defazarea undei, unde evanescente ...

Coeficienții Fresnel depind de polarizarea câmpului electromagnetic, în general considerăm 2 cazuri:

Transversal electric (TE): câmpul electric incident este polarizat perpendicular pe planul de incidență, câmpul magnetic este conținut în planul de incidență.
Magnetic Transverse (TM): câmpul magnetic incident este polarizat perpendicular pe planul de incidență, câmpul electric este conținut în planul de incidență.

Cazul undelor transversale electrice

Luați în considerare o undă plană electromagnetică:

{\ displaystyle {\ vec {E}} = E \, \ exp {i ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}} - \ omega t)} \, {\ vec {e}} _ {y}}

, unde

E

reprezintă amplitudinea complexă

{\ displaystyle {\ vec {H}} = {\ frac {1} {\ mu _ {0} \, \ omega}} ({\ vec {k}} \ wedge {\ vec {E}})}

În cazul în care câmpul electric incident este polarizat perpendicular pe planul de incidență , componentele tangențiale ale câmpului electric și ale câmpului magnetic sunt continue:

{\ displaystyle {\ begin {cases} E_ {i} + E_ {r} = E_ {t} & \ Rightarrow 1 + r _ {\ mathrm {TE}} = t _ {\ mathrm {TE}} \\ - H_ {i} \ cos \ theta _ {1} + H_ {r} \ cos \ theta _ {1} = - H_ {t} \ cos \ theta _ {2} & \ Rightarrow k_ {iz} (1-r _ {\ mathrm {TE}}) = k_ {tz} t _ {\ mathrm {TE}} \ end {cases}}}

Coeficienții de transmisie și reflexie sunt apoi scrise:

{\ displaystyle r _ {\ mathrm {TE}} = {\ frac {k_ {iz} -k_ {tz}} {k_ {iz} + k_ {tz}}}}

{\ displaystyle t _ {\ mathrm {TE}} = {\ frac {2k_ {iz}} {k_ {iz} + k_ {tz}}}}

Introducând, pentru fiecare mediu, relația de dispersie , obținem coeficienții Fresnel în funcție de caracteristicile incidenței (n 1 , θ 1 ) și ale refracției (n 2 , θ 2 ): $k = \ frac {\ omega} {c} n$

{\ displaystyle r _ {\ mathrm {TE}} = {\ frac {n_ {1} \ cos \ theta _ {1} -n_ {2} \ cos \ theta _ {2}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {1} + n_ {2} \ cos \ theta _ {2}}}}

{\ displaystyle t _ {\ mathrm {TE}} = {\ frac {2n_ {1} \ cos \ theta _ {1}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {1} + n_ {2} \ cos \ theta _ {2}}}}

Discuție: indicii de refracție fiind complecși, polarizarea undei transmise și reflectate poate fi modificată în comparație cu unda incidentă. Chiar și în cazul în care acești indici sunt reali, în cazul în care este posibil ca coeficientul de reflexie să devină negativ, unda reflectată este apoi defazată de 180 ° comparativ cu unda incidentă (vezi figura). $n_ {2}> n_ {1}$

Singura modalitate de a anula coeficientul de reflexie este, ținând cont de legile Snell-Descartes , de a avea . În consecință, o undă polarizată electrică electrică suferă o reflecție imediat ce trece printr-un mediu cu indice optic diferit, ceea ce nu este cazul unei unde magnetice transversale (existența unui unghi Brewster ). $n_1 = n_2$

Caz de unde magnetice transversale

{\ displaystyle {\ begin {cases} H_ {i} -H_ {r} = H_ {t} & \ Rightarrow k_ {1} (1-r _ {\ mathrm {TM}}) = k_ {2} \, t_ {\ mathrm {TM}} \\ E_ {i} \ cos \ theta _ {1} + E_ {r} \ cos \ theta _ {1} = E_ {t} \ cos \ theta _ {2} & \ Rightarrow (1 + r _ {\ mathrm {TM}}) \ cos \ theta _ {1} = t _ {\ mathrm {TM}} \ cos \ theta _ {2} \ end {cases}}}

de unde :

{\ displaystyle r _ {\ mathrm {TM}} = {\ frac {k_ {2} \ cos \ theta _ {1} -k_ {1} \ cos \ theta _ {2}} {k_ {1} \ cos \ theta _ {2} + k_ {2} \ cos \ theta _ {1}}} \ \}

și .

{\ displaystyle \ \ t _ {\ mathrm {TM}} = {\ frac {2k_ {1} \ cos \ theta _ {1}} {k_ {1} \ cos \ theta _ {2} + k_ {2} \ cos \ theta _ {1}}}}

Introducând, pentru fiecare mediu, relația de dispersie , obținem coeficienții Fresnel în funcție de caracteristicile incidenței ( ) și ale refracției ( ): $k = \ frac {\ omega} {c} n$ ${\ displaystyle n_ {1}, \ theta _ {1}}$ ${\ displaystyle n_ {2}, \ theta _ {2}}$

{\ displaystyle r _ {\ mathrm {TM}} = {\ frac {n_ {2} \ cos \ theta _ {1} -n_ {1} \ cos \ theta _ {2}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {2} + n_ {2} \ cos \ theta _ {1}}} \ \}

și .

{\ displaystyle \ \ t _ {\ mathrm {TM}} = {\ frac {2n_ {1} \ cos \ theta _ {1}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {2} + n_ {2} \ cos \ theta _ {1}}}}

Notă: în funcție de lucrare, semnele coeficienților Fresnel diferă. Acest lucru provine din orientările arbitrare făcute la început. De exemplu, orientarea înainte în figura H r echivalează cu înlocuirea, pentru calculul lui r , E r cu -E r care va schimba semnul coeficientului. La calcularea filtrelor de interferență, se va ține seama de coeficienții Fresnel pentru a calcula defazarea în reflecție între straturile filtrului.

Discuție: cazul TM este remarcabil din două motive:

coeficientul de reflexie poate deveni zero pentru un unghi de incidență, numit unghiul Brewster ;
în anumite situații (interfață metal-aer), numitorul coeficientului de reflecție TM poate deveni zero (coeficientul devine infinit). Obținem apoi o undă reflectată și o undă transmisă fără undă incidentă: studiul numitorului specifică apoi condițiile de realizare, componentele vectorilor de undă sunt apoi imaginare. Prin urmare, procesul folosește unde evanescente și provoacă apariția plasmonilor de suprafață .

Extindere la cazul mai multor interfețe

Coeficienții Globali Fresnel pot fi definiți pentru un sistem format din mai multe straturi de medii cu indici diferiți.

Pentru următoarele calcule, sunt luate în considerare permitivitățile dielectrice și nu indicii de refracție pentru a simplifica notațiile. $\ left (\ varepsilon = n ^ {2} \ right)$

Cazul a două interfețe

Luați în considerare 3 media , precum și a diferitelor permittivities dielectrice consecutive, separate prin 2 interfețe plane. $Ale mele}$ $M_ {b}$ $M_ {c}$

Fie grosimea ( și sunt semi-infinite). $d$ $M_ {b}$ $Ale mele}$ $M_ {c}$
Fie și respectiv unghiurile de incidență și refracție la interfața dintre și (cu i, j = a, b sau b, c). $\ theta_ {i}$ $\ theta_ {j}$ $Mijloc}$ $M_ {j}$
Lăsați componenta de-a lungul z al vectorului de undă $k_ {bz} = \ sqrt {k ^ {2} _ {b} - k ^ {2} _ {bx}} = \ frac {\ omega} {c} \ sqrt {\ varepsilon_ {b} - \ varepsilon_ { b} \ sin ^ {2} \ theta_ {b}}$ $M_ {b}$
Sau coeficientul de reflecție între și așa cum a fost definit anterior ( depinde de polarizarea TM sau TE, precum și de unghiuri și , cu i, j = a, b sau b, c). $r_ {ij}$ $Mijloc}$ $M_ {j}$ $r_ {ij}$ $\ theta_ {i}$ $\ theta_ {j}$

Coeficienții globali de reflecție și transmisie sunt apoi scrise:

r_ {g} = \ frac {r_ {ab} + r_ {bc} e ^ {2 i k_ {bz} d}} {1 + r_ {ab} r_ {bc} e ^ {2 i k_ {bz} d }}

{\ displaystyle t_ {g} = {\ frac {t_ {ab} t_ {bc} e ^ {ik_ {bz} d}} {1 + r_ {ab} r_ {bc} e ^ {2ik_ {bz} d} }}}

Aceste relații descriu atât comportamentul plăcii simple cu față paralelă, cât și cazurile mai spectaculoase de straturi antireflecție sau generarea de plasmoni de suprafață : pentru a face acest lucru, jucăm pe index și grosimea mediului intermediar în funcție de indici.medii extreme.

Caz de n interfețe

Pe baza rezultatelor precedente, se pot defini prin inducție coeficienții globali Fresnel pentru n interfețe.

Luați în considerare n + 1 medii, de diferite permitivități dielectrice consecutive, separate prin n interfețe plane.

Fie punctul p median. 1 ≤ p ≤ n + 1. $M_ {p}$
Fie grosimea lui (2 ≤ p ≤ n deoarece și sunt semi-infinite). $d_ {p}$ $M_ {p}$ $M_ {1}$ $M_ {n + 1}$
Fie și respectiv unghiurile de incidență și refracție la interfața dintre și . $\ robinetul}$ $\ theta_ {p + 1}$ $M_ {p}$ $M_ {p + 1}$
Fie următoarea componentă z a vectorului de undă în mediul p-th. $k_ {pz} = \ sqrt {k ^ {2} _ {p} - k ^ {2} _ {px}} = \ frac {\ omega} {c} \ sqrt {\ varepsilon_ {p} - \ varepsilon_ { p} \ sin ^ {2} \ theta_ {p}}$
Sau coeficientul de reflecție între și așa cum a fost definit anterior ( depinde de polarizarea TM sau TE, precum și de unghiuri și ). $r_ {p, p + 1}$ $M_ {p}$ $M_ {p + 1}$ $r_ {p, p + 1}$ $\ robinetul}$ $\ theta_ {p + 1}$

Începem de la , apoi pentru p = n până la 2 folosim relația de recurență: $U_ {n} = r_ {n, n + 1}$

U_ {p - 1} = \ frac {r_ {p - 1, p} + U_ {p} e ^ {2 i k_ {pz} d_ {p}}} {1 + r_ {p - 1, p} U_ {p} e ^ {2 i k_ {pz} d_ {p}}}

Se scrie apoi coeficientul global de reflecție . $r_ {g} = U_ {1}$

Diferența dintre mediul dielectric și cel metalic

Coeficienții Fresnel ar trebui să fie diferiți pentru dielectric și metal, deoarece prezența sau absența curenților liberi și a sarcinilor în mediu nu implică aceleași relații de trecere și, prin urmare, aceiași coeficienți Fresnel. Cu toate acestea, în cazul multor așa-numite metale „ohmice” (descrise printr-o conductivitate σ), este posibil să se înlocuiască un metal ohmic omogen (ε, μ 0 , σ) cu un dielectric omogen de permitivitate . Prin această descriere echivalentă metal-dielectrică în regim armonic, putem considera aceleași expresii pentru coeficienții Fresnel, indiferent dacă este un metal dielectric sau un metal ohmic. În acest caz, expresia permitivității este cea care se schimbă. $\ varepsilon _ {\ mathrm {eff}} = \ varepsilon - \ frac {i \ sigma} {\ omega}$

Observații diverse

Se va observa că coeficientul de transmisie de la mediu 1 la mediu 2 este diferit de coeficientul de transmisie de la mediu 2 la mediu 1 (la incidență normală, raportul lor este egal cu raportul indicilor). Același lucru este valabil și pentru coeficientul de reflexie (de data aceasta, este semnul care se schimbă).
În general, coeficienții Fresnel, definiți pe interfața dintre două medii, sunt implicați în evaluarea comportamentului optic al multistraturilor optice , de la cea mai simplă dintre ele, placa cu față paralelă, până la cea mai complexă: straturi antireflexive , filtre de interferență sau cristale fotonice. Coeficienții de reflecție și transmisie ai acestor seturi implică, pe lângă coeficienții specifici fiecărei interfețe, calea optică din fiecare dintre straturi.
Pentru aplicații de precizie redusă care implică lumină nepolarizată, cum ar fi grafica computerizată, mai degrabă decât să calculeze riguros coeficientul efectiv de reflecție pentru fiecare unghi, este adesea utilizată Aproximarea Schlick .

Note și referințe

Max Born și Emil Wolf, Principiile opticii, ediția a 4-a, Pergamon Press, 1970, p. 62 [ citește online ]

Vezi și tu

Articole similare

linkuri externe

Simulare completă a relațiilor Fresnel și a principalelor instrumente optice. Universitatea Paris XI

Carti de referinta

José-Philippe Pérez, Optică: Fundamente și aplicații [ detaliile edițiilor ]
R. Petit, Undele electromagnetice în radioelectricitate și optică , Masson,1993( ISBN 2-225-81571-2 )
John David Jackson ( trad. Din engleză), electrodinamica clasică [" Electrodinamica clasică "] [ detalii publicare ]
(ro) MH Choudhury, Electromagnetism , John Wiley & Sons, Inc.,1989( ISBN 0-470-21479-1 )
(ro) DR Frankl, Teoria electromagnetică , Prentice-Hall, Inc.,1986( ISBN 0-13-249095-1 )
(ro) RD Stuart, Teoria câmpului electromagnetic , compania editorială Addison-Wesley, Inc.,1965
(ro) A. Ishimaru, Propagarea undelor electromagnetice, radiații și împrăștiere , stânci Englewood (New Jersey), Prentice-Hall, Inc.,1991, 637 p. ( ISBN 0-13-249053-6 )