Coalgebra

În matematică , noțiunea de coalgebră este o noțiune duală a celei de algebră peste un inel sau peste un câmp. În mod informal, o algebră A este un spațiu vectorial (sau un -modul) care este suplimentar prevăzut cu o multiplicare, adică cu o hartă care compune două elemente din A pentru a construi un al treilea. O coalgebră C este deci un spațiu vectorial (sau un -modul) dotat cu o multiplicație , adică cu o hartă care ia un element de C și care returnează două . $\ mathbb {K}$ $\ mathbb {K}$

Definiție formală

Fie K un câmp. O coalgebră C peste K este un spațiu K- vector dotat cu două hărți liniare K și astfel încât: ${\ displaystyle \ Delta: C \ to C \ otimes C}$ ${\ displaystyle \ epsilon: C \ to K}$

${\ displaystyle (\ mathrm {id} _ {C} \ otimes \ Delta) \ circ \ Delta = (\ Delta \ otimes \ mathrm {id} _ {C}) \ circ \ Delta}$
${\ displaystyle (\ mathrm {id} _ {C} \ otimes \ epsilon) \ circ \ Delta = \ mathrm {id} _ {C} = (\ epsilon \ otimes \ mathrm {id} _ {C}) \ circ \ Delta}$ .

Aplicația se numește coprodus și țară. Prima condiție se numește coasociativitate (noțiunea dublă de asociativitate în inele ), iar a doua este analogul relației pe care unitatea ( elementul neutru al multiplicării) o satisface într-un inel. $\ Delta$ $\ epsilon$

Relația cu algebrele

Noțiunea de coalgebra este dublă cu cea a algebrei, în sensul că liniar duală a spațiului vectorial subiacent un coalgebra C are o structură naturală coprodus algebra indusă C . Pentru lit. f , g două elemente ale dublă C . Stabilind pentru toți x din C , definim produsul de f și g de: ${\ displaystyle \ Delta (x) = \ sum x ^ {(1)} \ otimes x ^ {(2)}}$

{\ displaystyle (f \ star g) (x) = (f \ otimes g) (\ Delta (x)) = \ sum f (x ^ {(1)}) \ times g (x ^ {(2)} )}}

Faptul că este co-asociativ este exact condiția care garantează că este asociativ. $\ Delta$ $\stea$

În schimb, dacă A este o algebră dimensională finită , atunci dualul lui A are o structură naturală de coalgebră. Într-adevăr, multiplicarea lui A poate fi văzută ca o aplicație . Prin trecerea la dual, obținem o aplicație definită de ${\ displaystyle \ mu: A \ otimes A \ longrightarrow A}$ ${\ displaystyle \ mu ^ {*}: A ^ {*} \ longrightarrow (A \ otimes A) ^ {*}}$

{\ displaystyle \ forall f \ in A ^ {*}, \ (\ mu ^ {*} (f)) (x \ otimes y) = f (\ mu (x \ otimes y))}

Cu toate acestea, dacă A este de dimensiune finită, există un izomorfism natural , prin urmare definește un coprodus, co-asociativitatea rezultată din asociativitatea lui . ${\ displaystyle (A \ otimes A) ^ {*} \ cong A ^ {*} \ otimes A ^ {*}}$ $\ mu ^ {*}$ $\ mu$

Exemplu

Dacă E este un K-spatiu vectorial bază , atunci definim un co-produs prin plasarea și extinderea liniar toate E . ${\ displaystyle \ {e_ {i} \} _ {i \ în I}}$ ${\ displaystyle \ Delta (e_ {i}) = e_ {i} \ otimes e_ {i}}$

Bibliografie

(en) Bart Jacobs, Introducere în Coalgebră: Către matematica statelor și observație , Cambridge, Cambridge University Press, col. „Cambridge Tracts in theoretical Computer Science”,octombrie 2016, 494 pagini p. ( ISBN 978-1-107-17789-5 , prezentare online ).
Davide Sangiorgi, „ Despre originile bisimulării și coinducției ”, ACM Trans. Program. Lang. Syst , vol. 31 (4),2009, p. 15: 1-15: 41
Davide Sangiorgi, Introducere în Bisimulare și Coinducție , Cambridge University Press,2012.
Davide Sangiorgi și Jan Rutten, Subiecte avansate în bisimulare și coinducție , Cambridge University Press,2011.

Textele introductive

Bart Jacobs și Jan Rutten, „ Un tutorial despre (co) algebre și (co) inducție ”, Buletin EATCS , nr . 62,1997, p. 222-269 ( citit online , consultat la 29 iunie 2018 ) - descrie simultan inducția și coinducția
Eduardo Giménez și Pierre Castéran, „ „ Un tutorial despre [co-] tipurile inductive în Coq ” ” ,2007(accesat pe 29 iunie 2018 ) .
Dexter Kozen și Alexandra Silva , „ Coinducție practică ”, Structuri matematice în informatică , vol. 27, n o 07,2016, p. 1132–1152 ( ISSN 0960-1295 , DOI 10.1017 / S0960129515000493 , citiți online ).
Pierre-Marie Pédrot, „ Un studiu al coinducției în Coq ” ,18 iunie 2015(accesat pe 29 iunie 2018 ) .

Vezi și tu