Cardinalitate (matematică)

În matematică , cardinalitatea este o noțiune de mărime pentru seturi . Când o mulțime este finită , adică dacă elementele sale pot fi listate printr-o secvență finită, cardinalitatea sa este lungimea acestei secvențe, cu alte cuvinte este numărul de elemente ale mulțimii. În special, cardinalitatea setului gol este zero .

Generalizarea acestei noțiuni la mulțimi infinite se bazează pe relația de echipotență  : se spune că două mulțimi sunt echipotente dacă există o bijecție de la una la alta. De exemplu, o mulțime infinită se spune că poate fi numărată dacă este în bijecție cu mulțimea numerelor naturale . Acesta este cazul pentru setul de numere întregi relative sau a raționale numere , dar nu cel de numere reale , potrivit a lui Cantor argumentul diagonală . Setul de numere reale are o cardinalitate strict mai mare, ceea ce înseamnă că există o injecție într-o direcție, dar nu în cealaltă. Teorema lui Cantor generalizează acest rezultat arătând că fiecare set este strict mai puțin cardinal în toate părțile sale .

Studiul cardinalității în generalitate poate fi aprofundat cu definiția numerelor cardinale .

Există mai multe notații clasice pentru a indica cardinalul unui set, cu operatorul Card , prefixul păianjen (#) , utilizând bare verticale pe ambele părți sau una sau două bare orizontale deasupra acestuia.

Cardinalul unui set finit

Definiție

Un set se spune că este finită dacă este goală sau dacă există un non - zero , întreg naturale și o secvență finită de elemente în care fiecare element are loc exact o dată. Cu alte cuvinte, o mulțime neocupată este finită dacă este în bijecție cu un interval de numere întregi . E{\ displaystyle E} nu{\ displaystyle n}(X1,...,Xnu){\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}{1,...,nu}{\ displaystyle \ {1, \ ldots, n \}}

Proprietatea fundamentală de a defini corect cardinalitatea unui set finit este unicitatea întregului corespunzător. Într-adevăr, dacă o mulțime este în bijecție cu două intervale de numere întregi și , atunci . nu{\ displaystyle n}{1,...,nu}{\ displaystyle \ {1, \ ldots, n \}}{1,...,p}{\ displaystyle \ {1, \ ldots, p \}}nu=p{\ displaystyle n = p}

Proprietăți

Fie și să fie două seturi finite de cardinali respectivi și . E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F}k{\ displaystyle k}nu{\ displaystyle n}

• Dacă și poate fi bijuteriat, atunci .E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F}k=nu{\ displaystyle k = n}

Părți ale unui set

• Orice subset de este finit și cu o cardinalitate mai mică de .E{\ displaystyle E}k{\ displaystyle k}
• Orice subset strict de este strict mai mic decât cardinal .E{\ displaystyle E}k{\ displaystyle k}
• Dacă este un subset al cardinalității complementului său este dată de formula: LA{\ displaystyle A}E{\ displaystyle E}VSlard(E∖LA)=VSlard(E)-VSlard(LA).{\ displaystyle \ mathrm {Card} (E \ setminus A) = \ mathrm {Card} (E) - \ mathrm {Card} (A).}
• Unirea și intersecția a două părți și ale sunt legate prin formula: LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}E{\ displaystyle E}VSlard(LA∪B)=VSlard(LA)+VSlard(B)-VSlard(LA∩B).{\ displaystyle \ mathrm {Card} (A \ cup B) = \ mathrm {Card} (A) + \ mathrm {Card} (B) - \ mathrm {Card} (A \ cap B).}

Operații pe platouri

• Uniunea disjunctă a și este finit de Cardinal suma .E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F} k+nu{\ displaystyle k + n}
• Produsul cartezian a și este finit de Cardinal produs .E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F} k×nu{\ displaystyle k \ times n}
• Setul de hărți de in este finit și de putere cardinală (cu convenția dacă ambele seturi sunt goale).E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F} nuk{\ displaystyle n ^ {k}}00=1{\ displaystyle 0 ^ {0} = 1}
• Setul de părți ale este finit de cardinal .E{\ displaystyle E}2k{\ displaystyle 2 ^ {k}}
• Setul de injectii de in este gol , dacă și de cardinality dat de coeficientul de factorialele altfel.E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F}k>nu{\ displaystyle k> n} nu!/(nu-k)!{\ displaystyle n! / (nk)!}
• În special, setul de permutații al este cardinal .E{\ displaystyle E}k!{\ displaystyle k!}
• Cardinalitatea setului de surjecții de in este dată de următoarea sumă (care este zero dacă ): E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F}k<nu{\ displaystyle k <n}∑eu=0nu(-1)eunu!eu!(nu-eu)!(nu-eu)k.{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} {\ frac {n!} {i! (ni)!}} (ni) ^ {k}.}

Alte construcții obișnuite din seturi finite au cardinale descrise prin formule explicite.

caz contabil

Mulțimea N a numerelor întregi naturale nu este finită, deoarece harta care asociază fiecărui număr întreg următorul număr întreg este o bijecție de la N în mulțimea N * a numerelor întregi naturale nenule, care este un subset strict.

Dincolo de contabil

Rezultatul care întemeiază teoria numerelor cardinale este teorema lui Cantor care arată că o mulțime nu este niciodată echipotentă la mulțimea părților sale, deci există mai multe și chiar o infinitate de cardinalități infinite diferite.

Note și referințe

1. Pagina 117 Dicționar de matematică de Alain Bouvier, George și Michel François Le Lionnais ,  ediția a 5- a , 1996, Presses Universitaires de France ( ISBN  978-2-13047821-8 ) .
2. Această proprietate este falsă în cazul mulțimilor infinite.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">