Aplicație transpusă

În matematică și mai precis în algebră liniară , harta transpusă a unei hărți liniare u : E → F între două spații vectoriale este harta t u : F * → E * între dualii lor definiți de:

\ forall \ ell \ in F ^ {*}, \ qquad ^ {\ operatorname {t}} \! u (\ ell) = \ ell \ circ u

sau din nou, dacă este cârligul dualității lui E : ${\ displaystyle \ langle \ ;, \ \ rangle}$

\ forall x \ in E, \ forall \ ell \ in F ^ {*}, \ qquad \ langle ^ {\ operatorname {t}} \! u (\ ell), x \ rangle = \ langle \ ell, u ( x) \ rangle.

Forma liniară rezultată se numește harta transpusă a lungului . ${\ displaystyle ^ {\ operatorname {t}} \! u (\ ell) \ în E ^ {*}}$ $\ Ell$ $tu$

Această definiție se generalizează în modulele K din dreapta pe un inel (nu neapărat comutativ ), amintindu-ne că dualul unui modul K în dreapta este un modul K în stânga sau un modul drept în inelul opus K op .

Proprietăți

Harta t u astfel asociată cu u este, la fel ca ea, liniară.
Harta care își asociază transpunerea cu o hartă liniară se numește transpunere. Este ea însăși o hartă liniară, de la L ( E , F ) la L ( F *, E *).
Aplicația de transpunere este compatibilă cu compoziția : dacă u este liniar de la E la F și v liniar de la F la G , $^ {\ operatorname {t}} \! (v \ circ u) = ^ {\ operatorname {t}} \! u \ circ ^ {\ operatorname {t}} \! v.$ (Mai ales dacă u este un izomorfism, atunci inversul transpunerii lui u este egal cu transpunerea inversului lui u .)
Pentru toate părțile A din E și B din F , avem [ u ( A )] ⊥ = ( t u ) −1 ( A ⊥ ) și u ( A ) ⊂ B ⇒ t u ( B ⊥ ) ⊂ A ⊥ .
Dacă E și F sunt spații vectoriale cu dimensiuni finite pe un câmp comutativ , cu bazele respective B și C , atunci matricea transpunerii lui u , în bazele duale C * și B *, este transpunerea matricei lui u în bazele de date B și C : $mat_ {C ^ {*}, B ^ {*}} (^ {\ operatorname {t}} \! u) = ^ {\ operatorname {t}} \! (mat_ {B, C} (u)).$ Într - adevăr, în cazul în care B = ( e 1 , ..., e n ) și C = ( f 1 , ..., f m ), elementul indicilor i, k al matricei mat C *, B * ( t u ) este < t u ( f k *), e i > și elementul indicilor k, i al matricei mat B , C ( u ) este < f k *, u ( e i )>.
Având în vedere faptul că matricea unui compozit este produsul matricelor , o găsește, din cele două puncte precedente, cu formula T ( AB ) = t B . t A .

Aplicație transpusă în general

Noțiunea de transpus intră în joc într-un mod mult mai general. Dacă avem o aplicație între două seturi: $f$

$f: X \ rightarrow Y$ .

Deducem pentru orice set o aplicație : $Z$ $f ^ {*}$

${\ displaystyle f ^ {*}: \ mathrm {Hom} _ {Set} (Y, Z) \ rightarrow \ mathrm {Hom} _ {Set} (X, Z)}$

definit de unde denotă setul de mapări ale in . $f ^ {*} (g) = g \ circ f$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {Ensemble} (A, B)}$ $B ^ A$ $LA$ $B$

În cazul în care , și sunt grupuri , putem folosi exact aceeași definiție pentru a construi $X$ $Da$ $Z$

$f ^ {*}: \ mathrm {Hom} _ {Group} (Y, Z) \ rightarrow \ mathrm {Hom} _ {Group} (X, Z)$

unde acest timp desemnează setul de morfisme ale grupurilor de in . $\ mathrm {Hom} _ {Group} (A, B)$ $LA$ $B$

Cel transpusa ar putea defini chiar un morfism inel , a spațiilor topologice , a spațiilor vectoriale topologice , etc.

Prin urmare, această construcție se încadrează în cadrul general al teoriei categoriilor .

Dacă este o categorie , sunt obiecte ale și este un element al . Apoi, pentru orice obiect al , există o aplicație numită transpunere a : ${\ mathfrak {C}}$ $X$ $Da$ ${\ mathfrak {C}}$ $f$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathfrak {C}} (X, Y)}$ $Z$ ${\ mathfrak {C}}$ $f ^ {*}$ $f$

${\ displaystyle f ^ {*}: \ mathrm {Hom} _ {\ mathfrak {C}} (Y, Z) \ rightarrow \ mathrm {Hom} _ {\ mathfrak {C}} (X, Z)}$ .

Este imaginea de functorului Hom contravariant din cele din categoria seturi . ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathfrak {C}} (f, Z)}$ $f$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathfrak {C}} (\ cdot, Z)}$ ${\ mathfrak {C}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ens}}$

Note

Prin setarea (λμ) y * = y *. (Μ.λ) unde (μ, y *) ↦ μ y * este acțiunea lui K pe F *, (μ, y *) ↦ y * .μ este acțiunea lui K op pe F *, (λ, μ) ↦ λμ este produsul în K , (λ, μ) ↦ μ.λ este produsul în K op etc.
Pentru a fi luate în sensul „-ℤ liniar“, adică morfism de grupuri abeliene , daca inelul nu este comutativ.
Acest lucru este valabil pentru K -module dreapta liber finit pe un inel K nu neapărat comutativ, transpunerea unei matrice cu coeficienți în K fiind apoi o matrice cu coeficienți în K op .

Articol asociat

Asistent operator