Apeirogone | |
Reprezentarea unui apeirogon (regulat) în modelul discului Poincaré | |
Tip | Poligon regulat |
---|---|
Simbolul Schläfli | {∞} |
În geometrie , un apeirogon (din greaca veche "ἄπειρος" apeiros : infinit, fără margini și "γωνία" gonia : unghi) este un poligon generalizat care are un număr infinit (numărabil) de laturi. Cel mai adesea, termenul denotă un poligon regulat convex (toate unghiurile și toate laturile sunt egale, iar laturile nu se intersectează ); în acest sens nu există apeirogon non-trivial în geometria euclidiană , dar există mai multe familii (care nu sunt similare una cu cealaltă) în geometria hiperbolică .
HSM Coxeter pornește de la date, într-un spațiu euclidian , al unui punct de bază A 0 și al unei traduceri S ; mulțimea iterațiilor A i = S i (A 0 ) (cu ) și a marginilor care leagă vârfurile adiacente și definește un apeirogon (regulat). Putem interpreta această construcție și ca împărțirea unei linii în segmente de lungime egală.
Geometrie hiperbolicăConstrucția clasică a unui poligon regulat al planului euclidian (printr-o serie de rotații în jurul unui centru bine ales) poate fi adaptată prin iterații de rotații ale segmentului în jurul punctului și al unghiului (punctul devenind punctul ); dacă înlocuim acest ultim unghi cu orice unghi , obținem doar un poligon stelar regulat sau o linie poligonală care nu se închide, dar rămâne înscrisă într-o coroană circulară . Pe de altă parte, în geometria hiperbolică (și luând pentru curbură ), dacă pornim de la o latură de lungime a și un unghi , seria de segmente se îndepărtează la infinit; setul de , pe care o numim un apeirogon de unghi și laterale o , este înscris într - un horocycle si , si intr - un hypercycle si (unii autori rezervă apeirogon nume pentru cei înscris în horocycles).
Un politop abstract este un set parțial ordonat de obiecte (fețele) a căror relație de ordine modelează includerea fețelor politopilor concreti. Cazul particular al poligoanelor abstracte corespunde unei ordine parțiale pe anumite subseturi ale unui set de vârfuri: vârfurile în sine, anumite seturi de două vârfuri (marginile) și cele două subseturi triviale goale și complete, fiecare vârf aparținând exact două margini, iar graficul format de vârfuri și muchii fiind conectate; dacă mulțimea vârfurilor este infinită numărabilă, vorbim despre un apeirogon abstract ; este unic până la izomorfism. Grupul de automorfisme aeirogon abstracte (numite simetrii în acest caz) este grupul diedru infinit .
O realizare a unui poligon abstract este o aplicație a vârfurilor sale la punctele unui spațiu metric (cel mai adesea spațiul euclidian sau spațiul hiperbolic de dimensiune n ) astfel încât fiecare automorfism al poligonului să corespundă cu o izometrie a tuturor imaginilor; se spune că două realizări sunt congruente dacă bijecția naturală dintre seturile lor de vârfuri este indusă de o izometrie a întregului spațiu de sosire. Astfel, definițiile concrete date anterior sunt realizări ale aeirogonului abstract, respectiv în planul euclidian și în planul hiperbolic, dar, deși izomorfe, ele nu sunt congruente.
Grupul G al automorfismelor unei realizări V a apeirogonului abstract poate fi descris ca generat de două simetrii (ortogonale), al căror produs trimite fiecare vârf al lui V la următorul: prima simetrie lasă un vârf dat invariant, iar al doilea schimbă două vârfuri adiacente și ; în funcție de întruchiparea luată în considerare, este izomorfă pentru grupul diedru infinit (dacă V este infinit) sau pentru grupul diedru de ordinul 2 n (dacă V are n elemente).