Inel euclidian necomutativ

Noțiunea de inel euclidian necomutativ generalizează noțiunea clasică de inel euclidian la cazul necomutativ. The Polinoamele răsucite (vezi mai jos ) pentru a furniza un exemplu. În special, inelul operatorilor diferențiali cu coeficienți într-un câmp comutativ este un inel euclidian necomutativ. $B_ {1} \ left (k \ right)$ $k$

Definiții și proprietăți

Un inel fără divizor de zero se numește inel euclidian stâng dacă există o funcție , numită funcție euclidiană stângă sau statmă euclidiană stângă și care îndeplinește următoarele condiții: $R$ ${\ displaystyle \ theta: R \ rightarrow \ mathbb {N} \ cup \ left \ {- \ infty \ right \}}$

(E1) .

{\ displaystyle \ theta \ left (0 \ right) = - \ infty}

(E2) Pentru toată lumea .

{\ displaystyle a, b \ in R ^ {\ times}, \ theta \ left (ab \ right) \ geq \ theta \ left (a \ right)> - \ infty}

(E3) Pentru toate și pentru toate , există astfel încât

{\ displaystyle a \ in R}

{\ displaystyle b \ in R ^ {\ times}}

{\ displaystyle q, r \ in R}

{\ displaystyle a = qb + r}

, ,

{\ displaystyle \ theta \ left (r \ right) <\ theta \ left (b \ right)}

aceasta se numește algoritmul de divizare stânga .

Cele de mai sus sunt încă valabile dacă ne schimbăm peste tot la stânga la dreapta , prin schimb și în (E2) și prin înlocuirea algoritmului diviziei din stânga cu algoritmul diviziunii din dreapta : $la$ $b$

{\ displaystyle a = bq + r}

, .

{\ displaystyle \ theta \ left (r \ right) <\ theta \ left (b \ right)}

Elementele și algoritmul de divizare stânga (resp. Dreapta ) sunt numite un coeficient și restul divizării drepte (resp. Stânga ) a par . $q$ $r$ $la$ $b$

Un inel euclidian este un inel euclidian stâng, care este un inel euclidian drept.

Dacă înlocuim (E2) cu condiția mai puternică

(E2 ') Pentru toți și ,

{\ displaystyle a, b \ in R ^ {\ times}, \ theta \ left (ab \ right) \ leq \ max \ left \ {\ theta \ left (a \ right), \ theta \ left (b \ right ) \ dreapta \}}

{\ displaystyle \ theta \ left (ab \ right) = \ theta \ left (a \ right) \ theta \ left (b \ right)}

arătăm că restul este unic (la fel și coeficientul ) și, prin urmare, se spune că inelul euclidian din stânga are un rest unic . $r$ $q$ $R$

Următoarea proprietate este fundamentală: un inel euclidian în stânga este principal în stânga (demonstrația fiind identică cu cea făcută în cazul comutativ: vezi articolul Inelul euclidian ).

Exemple

Inelul numerelor întregi relative este un inel euclidian comutativ cu statmă euclidiană funcția definită de if și Parse failure (MathML cu SVG sau PNG ca alternativă (recomandat pentru browserele moderne și instrumentele de accesibilitate): Răspuns nevalid („Extensia matematică nu se poate conecta la Restbase. ”) De pe server„ / mathoid / local / v1 / ”:): {\ displaystyle \ theta \ left (0 \ right) = - \ infty} . Acest inel euclidian nu are un rest unic. $\ mathbb {Z}$ $\ theta$ ${\ displaystyle \ theta \ left (n \ right) = \ left \ vert n \ right \ vert}$ ${\ displaystyle n \ neq 0}$

Fie inelul operatorilor diferențiali ai formei

{\ displaystyle a_ {0} \ left (t \ right) {\ frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} + a_ {1} \ left (t \ right) {\ frac {d ^ {n-1}} {dt ^ {n-1}}} + ... + a_ {n} \ left (t \ right)}

unde sunt fracții raționale cu coeficienți în câmp sau . Acest inel este un inel euclidian. ${\ displaystyle a_ {i} \ left (t \ right)}$ $t$ ${\ displaystyle k = \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $B_ {1} \ left (k \ right)$

Mai general, lăsați un câmp, un automorfism și o -derivare, și luați în considerare inelul de polinoame răsucite de nedeterminat cu coeficienți în (a se vedea articolul inel Dedekind necomutativ ). Acest inel este euclidian cu un singur rest, cu gradul pentru statma euclidiană la stânga și la dreapta. $K$ $\alfa$ $K$ ${\ displaystyle \ delta: K \ rightarrow K}$ $\alfa$ ${\ displaystyle R = K [X; \ alpha, \ delta]}$ $X$ $K$ $R$

Note și referințe

Note

Cohn 1985
Bourbaki 2006 , §VII.1, exercițiul 7
Prin convenție, ${\ displaystyle R ^ {\ times} = R \ backslash \ left \ {0 \ right \}}$

Referințe

N. Bourbaki , Algebra, capitolele 4-7 , Springer,2006, 432 p. ( ISBN 978-3-540-34398-1 )
(ro) Paul Moritz Cohn , Free Rings and their Relations (ediția a doua) , Londra, Academic Press Press,1985, 595 p. ( ISBN 978-0-12-179152-0 , notificare BnF n o FRBNF37359190 )