Etale algebra
În matematică , o algebră răspândire pe un câmp comutativ K este un K algebră produs al unui număr finit de extensii finite separabile de K .
Standurile algebra pe K sunt nimeni altul decât algebra separabile comutativă pe K .
Exemple
Iată exemple de algebre etale peste K :
- Pentru întreg negativ n , algebra produs K n a n copii ale K . În special :
- corpul de bază K ,
- algebra trivială {0}.
- Extensiile separabile de grad finit K . Dacă caracteristica lui K este zero (de exemplu, dacă K = R sau dacă K = C ), atunci orice extensie de grad finit de K este separabilă.
- Pe câmpul R al numerelor reale, algebrele etale sunt de forma R n × C p , unde n și p sunt numere întregi pozitive sau zero.
Se spune că se răspândește algebra A peste K este implementat ( divizat în limba engleză) în cazul în care este izomorfă K n , unde n este dimensiunea A peste K . Dacă K este închis algebric (de exemplu, dacă K este câmpul numerelor complexe ) sau mai general închis separat , se desfășoară
orice algebră etală peste K.
Proprietăți
- Orice subalgebră (unitară) a unei algebre etale este etală.
- Produsul algebră al unei familii finite de algebre etale este etale.
- Produsul tensor al două algebre etale (sau mai general al unei familii finite de algebre etale) este o algebră étale.
- Dacă L este un corp de comutare al lui K , atunci L -algebra L ded K A dedusă din A prin extensia scalarilor de la K la L este etală.
- Să L fie o extensie finită de K și A o algebră peste K . Pentru ca K -algebra care stă la baza A să fie etală, este necesar și suficient ca L -algebra A să fie etală și ca extensia L a K să fie separabilă (ultima condiție este îndeplinită dacă caracteristica lui K este zero).
Algebre pătratice învechite
O algebră étale se spune că este pătratică dacă dimensiunea sa pe K este egală cu 2. Algebrele etatice pătratice pe K sunt extensiile pătratice separabile ale lui K (dacă caracteristica lui K este diferită de 2, orice extensie pătratică a lui K este separabilă) și l ' K × K algebră .
Exemple.
- Dacă K este închis algebric, singura algebră pătratică peste K este K × K (până la izomorfism ).
- Pe R , standuri pătratic algebrele sunt R × R și C .
Dacă A este o algebră etalon pătratică peste K , are exact două automorfisme ale K -algebrei. Prin urmare, diferit de identitate, numit conjugarea lui A , este involutiv . De exemplu, conjugarea lui K × K trimite ( x , y ) peste ( y , x ), iar conjugarea lui C este conjugarea obișnuită a numerelor complexe.
Referințe
Articole similare
Algebră semi-simplă