Ecuațiile Barré de Saint-Venant

Fluxurile aproape unidimensionale, de exemplu cele ale cursurilor de apă, sunt descrise de ecuațiile Barré de Saint-Venant obținute de Adhémar Barré de Saint-Venant în 1871 și clarificate în 1888.

Prin extensie, acest nume a fost extins la debitele în apă superficială (în engleză shallow water ) care corespund unor probleme cvasidimensionale. Acestea se găsesc în geofizică, de exemplu, pentru a descrie curenții de maree . Aceste fenomene sunt valuri asociate ( val Rossby , val Kelvin , val Poincaré, maree , tsunami ), studiul unora dintre ele este anterior anului 1850.

Aceste fluxuri sunt reprezentative pentru mediile nedispersive. În caz contrar, mediul este descris de ecuațiile Boussinesq .

Curge apă puțin adâncă

Notăm prin s ( x , y ) altitudinea suprafeței față de geoid , prin b ( x , y ) suprafața solidă, prin H = s - b înălțimea fluidului și g gravitația numărată negativ în jos.

Ecuațiile fluxului de apă superficială în care presupunem componenta verticală w a vitezei mici în fața componentelor orizontale și acestea independente de z sunt scrise

∂s∂t+∂∂X(Htu)+∂∂y(Hv)=0,H=s-b{\ displaystyle {\ frac {\ partial s} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (Hu) + {\ frac {\ partial} {\ partial y}} (Hv ) = 0 \ ,, \; \; \; \; \; H = sb} ∂tu∂t+tu∂tu∂X+v∂tu∂y+g∂s∂X=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} + g {\ frac {\ partial s} {\ partial x}} = 0} ∂v∂t+tu∂v∂X+v∂v∂y+g∂s∂y=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial v} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} + g {\ frac {\ partial s} {\ partial y}} = 0}

Presiunea este dedusă din echilibrul hidrostatic din fiecare axă verticală.

Ele sunt generalizate cu ușurință în cazul în care se dorește să se țină seama de forța Coriolis și mai dificil dacă se dorește să se țină seama de efectele vâscoase.

Demonstrație

Ecuații de bază

Cele ecuațiile Euler sunt scrise

• Ecuația de incompresibilitate pentru vectorul de viteză V = ( u , v , w )

∇⋅V=0{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V} = 0}

• Ecuația echilibrului impulsului

DVDt=∂V∂t+∇⋅(VV)=-1ρ∇p+g{\ displaystyle {\ frac {D \ mathbf {V}} {Dt}} = {\ frac {\ partial \ mathbf {V}} {\ partial t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ left (\ mathbf {V} \ mathbf {V} \ right) = - {\ frac {1} {\ rho}} \ mathbf {\ nabla} p + \ mathbf {g}}

unde ρ este densitate constantă, p este presiune și g este gravitație.

Condiții la limite

Cotele sunt numărate în raport cu geoidul .

Condițiile la graniță sunt

• pe podea z = -b ( x , y ) viteza este zero

V⋅∇(z+b)=0=w+V⋅∇b{\ displaystyle \ mathbf {V} \ cdot \ nabla (z + b) = 0 = w + \ mathbf {V} \ cdot \ nabla b}

• pe suprafața z = s ( x , y ) presiunea este presiunea externă p 0 și viteza normală w este legată de s de

DsDt=∂s∂t+V⋅∇s=w{\ displaystyle {\ frac {Ds} {Dt}} = {\ frac {\ partial s} {\ partial t}} + \ mathbf {V} \ cdot \ nabla s = w}

Conservarea masei

Introducem înălțimea apei H = s - b și viteza medie

tu¯=1H∫-bstudz,v¯=1H∫-bsvdz{\ displaystyle {\ overline {u}} = {\ frac {1} {H}} \ int _ {- b} ^ {s} u \ mathrm {d} z \ ,, \; \; \; {\ overline {v}} = {\ frac {1} {H}} \ int _ {- b} ^ {s} v \ mathrm {d} z}

Prin integrarea ecuației continuității în z și folosind regula lui Leibniz avem

0=∫-bs∇⋅Vdz=∫-bs(∂tu∂X+∂v∂y+∂w∂z)dz=∂∂X∫-bstudz⏟Htu¯+∂∂y∫-bsvdz⏟Hv¯-tu|z=s∂z∂X-v|z=s∂z∂y+w|z=s⏟w-V⋅∇s=∂s∂t=∂H∂t-(tu|z=-b∂b∂X+v|z=-b∂b∂y+w|z=-b)⏟w+V⋅∇b=0{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} 0 & = & \ int _ {- b} ^ {s} \ nabla \ cdot \ mathbf {V} \ mathrm {d} z \\ [0.6em] & = & \ int _ {- b} ^ {s} \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial w} {\ partial z}} \ right) \ mathrm {d} z \\ [0.6em] & = & {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ underbrace {\ int _ {- b} ^ {s} u \ mathrm {d} z} _ {H {\ overline {u}}} + {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ underbrace {\ int _ {- b} ^ {s } v \ mathrm {d} z} _ {H {\ overline {v}}} \ underbrace {- \ left.u \ right | _ {z = s} {\ frac {\ partial z} {\ partial x} } - \ left.v \ right | _ {z = s} {\ frac {\ partial z} {\ partial y}} + \ left.w \ right | _ {z = s}} _ {w- \ mathbf {V} \ cdot \ nabla s = {\ frac {\ partial s} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial H} {\ partial t}}} - \ underbrace {\ left (\ left.u \ right | _ {z = -b} {\ frac {\ partial b} {\ partial x}} + \ left.v \ right | _ {z = -b} {\ frac {\ partial b} {\ partial y}} + \ left.w \ right | _ {z = -b} \ right)} _ {w + \ mathbf {V} \ cdot \ nabla b = 0} \ end {array}}}

Obținem astfel o nouă ecuație de conservare a masei

∂H∂t+∂∂X(Htu¯)+∂∂y(Hv¯)=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial H} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (H {\ overline {u}}) + {\ frac {\ partial} { \ partial y}} (H {\ overline {v}}) = 0}

Dacă, în plus, presupunem u și v independent de z, această ecuație devine

∂H∂t+∂∂X(Htu)+∂∂y(Hv)=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial H} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (Hu) + {\ frac {\ partial} {\ partial y}} (Hv ) = 0}

Conservarea impulsului

De-a lungul verticalei

Prin ipoteză, w este foarte mic în comparație cu u și v . Se scrie componenta verticală a ecuației impulsului, neglijând derivatele lui u la x și ale lui v la y

DwDt=-1ρ∂p∂z+g,g<0{\ displaystyle {\ frac {Dw} {Dt}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} + g \ ,, \; \; \ ; \; \; g <0}

Prin neglijarea derivatei lagrangiene a lui w ecuația impulsului în z se reduce la echilibrul hidrostatic

∂p∂z=ρg{\ displaystyle {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} = \ rho g}

a cărei soluție este imediată ( se presupune că g este constantă pe înălțimea luată în considerare)

p=ρg(z-s)+p0{\ displaystyle p = \ rho g (zs) + p_ {0}}

de unde

∂p∂X=-ρg∂s∂X,∂p∂y=-ρg∂s∂y{\ displaystyle {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} = - \ rho g {\ frac {\ partial s} {\ partial x}} \ ,, \; \; \; \; \; { \ frac {\ partial p} {\ partial y}} = - \ rho g {\ frac {\ partial s} {\ partial y}}}De-a lungul orizontalei

Prin neglijarea derivatelor din z ale lui u și v și luând în considerare ecuațiile de mai sus, se scriu componentele ecuației impulsului

∂tu∂t+tu∂tu∂X+v∂tu∂y+g∂s∂X=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} + g {\ frac {\ partial s} {\ partial x}} = 0} ∂v∂t+tu∂v∂X+v∂v∂y+g∂s∂y=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial v} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} + g {\ frac {\ partial s} {\ partial y}} = 0}

Acest sistem este hiperbolic și, ca atare, admite unde caracteristice numite unde gravitaționale. Acestea au o viteză pe care o deduce din valorile proprii

vs.=gH{\ displaystyle c = {\ sqrt {gH}}}

O analiză dimensională simplă este suficientă pentru a confirma această valoare.

O descriere a acestor unde poate fi obținută scriind ecuația de conservare a masei înmulțită cu g ½ și ecuațiile de conservare liniarizate și înmulțite cu H ½ . Presupunem că direcția de propagare este x

∂∂t(sg)+∂∂X(Htuvs.)=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (s {\ sqrt {g}}) + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} ({\ sqrt {H}} uc) = 0} ∂∂t(tuH)+vs.∂∂X(sH)=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (u {\ sqrt {H}}) + c \, {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (s {\ sqrt {H }}) = 0}

Prin substituție obținem o ecuație de undă

∂2∂t2(sg)=∂∂X(vs.2∂∂X(sg)){\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} (s {\ sqrt {g}}) = {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left (c ^ {2} \, {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left (s {\ sqrt {g}} \ right) \ right)}

Această ecuație descrie un val de maree ( valul de maree în engleză ).

Ecuații Saint-Venant

Aceste ecuații au fost descrise euristic și publicate de Saint-Venant în 1871. Ele descriu fluxul cvasi-unidimensional într-un canal sau un curs de apă cu lățimea l ( x ). Aria secțiunii transversale a debitului este A ( x , t ), iar viteza medie a debitului este U ( x , t ). Înălțimea apei este h ( y , t ), numărată din partea de jos z = 0. Se scrie ecuația de conservare a masei

∂LA∂t+∂∂X(LAU)=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (AU) = 0}

Se scrie ecuația impulsului longitudinal

∂∂t(hU)+∂∂X(hU2)+gh∂h∂X=τXρ{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (hU) + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (hU ^ {2}) + gh {\ frac {\ partial h} {\ partial x}} = {\ frac {\ tau _ {x}} {\ rho}}}

τ x ( x , t ) este forfecarea aplicată perimetrului umed P ( x , t ).

Ecuația din z este dată de echilibrul hidrostatic

∂p∂z=ρg{\ displaystyle {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} = \ rho g}

Aceste ecuații pot fi obținute din ecuațiile Navier-Stokes .

Demonstrație Conservarea masei

După cum se arată în caseta precedentă, conservarea într-un punct al canalului este dată de

∂h(y)∂t+∂∂X∫0h(y)tu(y,z)dz=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial h (y)} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ int _ {0} ^ {h (y)} u (y , z) \ mathrm {d} z = 0}

Prin integrarea în y obținem relația dorită notând că

LA=∫0lh(y)dy{\ displaystyle A = \ int _ {0} ^ {l} h (y) \ mathrm {d} y}

și setarea vitezei medii

U=1LA∫0l∫0htu(y,z)dzdy{\ displaystyle U = {\ frac {1} {A}} \ int _ {0} ^ {l} \ int _ {0} ^ {h} u (y, z) \ mathrm {d} z \ mathrm { d} y}Conservarea impulsului

Începem de la ecuația apei de mică adâncime cu vâscozitate în care viteza transversală medie este zero

∂∂t(hU)+∂∂X(hU2)+gh∂h∂X=τXρ{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (hU) + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (hU ^ {2}) + gh {\ frac {\ partial h} {\ partial x}} = {\ frac {\ tau _ {x}} {\ rho}}}

unde τ x este forfecarea de pe perete.

Credem că

• ∂h∂X{\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {\ partial h} {\ partial x}}}este independent de y (panta în x este aceeași pentru toate punctele secțiunii drepte)
• τ x este, de asemenea, independent de y

Prin integrarea în y , vine

∂∂t(LAU)+∂∂X(LAU2)+gLA∂h∂X=PτXρ{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (AU) + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (AU ^ {2}) + gA {\ frac {\ partial h} {\ partial x}} = {\ frac {P \ tau _ {x}} {\ rho}}}

Putem lua în considerare panta α a solului prin înlocuirea gravitației cu componenta sa în z și prin introducerea componentei greutății în x

∂∂t(hU)+∂∂X(hU2)+ghcos⁡α∂h∂X=ghpăcat⁡α-τXρ{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (hU) + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (hU ^ {2}) + gh \ cos \ alpha {\ frac { \ partial h} {\ partial x}} = gh \ sin \ alpha - {\ frac {\ tau _ {x}} {\ rho}}}

Evaluarea forfecării

Această evaluare se face în general prin introducerea unui coeficient de frecare C f pentru stratul de delimitare pe perimetrul umed.

τX=12VSf(h,U)ρU2{\ displaystyle \ tau _ {x} = {\ frac {1} {2}} C_ {f} (h, U) \ rho U ^ {2}}

Acest coeficient reprezintă partea fluxului de impuls transferat la perete. Forma sa rezultă din legile asemănării  : legile lui Chézy sau Manning-Strickler

VSf(h)=2gKs2h13{\ displaystyle C_ {f} (h) = {\ frac {2g} {K_ {s} ^ {2} \, h ^ {\ frac {1} {3}}}}}

Coeficientul K rezultă din experiență.

Referințe

1. Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, „  Teoria mișcării nepermanente a apei, cu aplicarea la inundațiile râurilor și introducerea mareelor ​​în albiile lor  ”, Rapoarte săptămânale ale sesiunilor Academiei de Științe , vol. .  73,1871, p.  147–154 și 237–240
2. M. de Saint-Venant, „  Memoriile despre considerarea forței centrifuge în calculul mișcării apelor curgătoare și despre distincția dintre torenți și râuri  ”, Memoriile Academiei de Științe a Institutului Franței , vol.  44,1888, p.  245-273 ( citiți online )
3. M. de Saint-Venant, „  Memorie despre pierderea forței vii a unui fluid în locurile în care secțiunea de curgere a acestuia crește brusc sau rapid  ”, Memorii ale Academiei de Științe a Institutului de Franța , vol.  44,1888, p.  193-243 ( citește online )
4. (în) Alex DD Craik, „  The Origins of Water Wave Theory  ” , Revista anuală a mecanicii fluidelor , vol.  36,2004, p.  1-28 ( citiți online )
5. (în) David A. Randall, „  Ecuațiile de apă superficială  ”

Lucrări

• (ro) Hendrik C. Kuhlmann și Hans-Josef Rath (Eds.), Free Surface Flows , Springer-Verlag ,1998, 331  p. ( ISBN  978-3-7091-2598-4 , citit online )
• Olivier Thual, Valuri și fluide: articole educaționale multimedia , Toulouse, Cépaduès ,2005, 197  p. ( ISBN  2-85428-655-3 )
• Olivier Thual, Hidrodinamica mediului , Les éditions de l'École Polytechnique,2010( citește online )
• (ro) Geoffrey K. Vallis, Dinamica fluidelor atmosferice și oceanice , Cambridge University Press ,2017( ISBN  978-1-107-58841-7 )

Vezi și tu

• Val
• Sepie (hidrodinamică)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">