Ecuația xʸ = yˣ

În general, exponențierea nu este comutativă . Cu toate acestea, ecuația este valabilă în cazuri speciale, cum ar fi ${\ displaystyle x ^ {y} = y ^ {x}}$ ${\ displaystyle x = 2, y = 4.}$

Istorie

Ecuația este menționată într-o scrisoare de la Bernoulli către Goldbach ( ${\ displaystyle x ^ {y} = y ^ {x}}$ 29 iunie 1728). Scrisoarea conține afirmația că, cu singurele soluții de numere naturale , există și, deși există o infinitate de soluții în numere raționale . Răspunsul lui Goldbach ( ${\ displaystyle x \ neq y,}$ $(2.4)$ ${\ displaystyle (4,2),}$ 31 ianuarie 1729) conține o soluție generală a ecuației obținută prin substituire . O soluție similară a fost găsită de Euler . ${\ displaystyle y = vx}$

J. van Hengel a subliniat că dacă sunt numere întregi pozitive cu atunci este suficient să luăm în considerare posibilitățile și pentru a găsi soluții întregi. ${\ displaystyle r, n}$ ${\ displaystyle r \ geq 3}$ ${\ displaystyle r ^ {r + n}> (r + n) ^ {r};}$ $x = 1$ $x = 2$

Problema a fost abordată într-o serie de publicații. În 1960, ecuația se număra printre întrebările concursului William Lowell Putnam, care l-a determinat pe A. Hausner să extindă rezultatele la câmpurile numerelor algebrice .

Soluții reale pozitive

Un set infinit de soluții banale în numere reale pozitive este dat de . $x = y$

Soluțiile non-banale pot fi găsite prin asumarea și poziționarea . Asa de, $x \ ne y$ ${\ displaystyle y = vx}$

{\ displaystyle (vx) ^ {x} = x ^ {vx} = (x ^ {v}) ^ {x}.}

Ridicând ambele părți la putere și împărțind la , ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {x}}}$ $X$

{\ displaystyle v = x ^ {v-1}.}

Soluțiile non-banale în numere reale pozitive sunt

{\ displaystyle x = v ^ {\ frac {1} {v-1}},}

{\ displaystyle y = v ^ {\ frac {v} {v-1}}.}

Cu sau generează întregi soluții non-banale . ${\ displaystyle v = 2}$ ${\ displaystyle v = {\ tfrac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle 4 ^ {2} = 2 ^ {4}}$

Soluțiile banale și non-banale se intersectează când . Ecuațiile de mai sus nu pot fi evaluate direct, dar putem lua limita . Acest lucru se face prin înlocuirea cu , astfel $v = 1$ ${\ displaystyle v \ to 1}$ ${\ displaystyle v = 1 + 1 / n}$ $n \ to \ infty$

{\ displaystyle x = \ lim _ {v \ to 1} v ^ {\ frac {1} {v-1}} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n} = e.}

Deci, linia și curba se intersectează când $x = y = e$ .

Referințe

(ro) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Equation xʸ = yˣ ” ( vezi lista autorilor ) .

" 21st Putnam 1960. Problema B1 " [ arhiva din30 martie 2008] ,20 octombrie 1999.
(în) Alvin Hausner, „ Câmpurile numerice algebrice și ecuația diofantină m n = n m ” , American Mathematical Monthly , vol. 68, nr . 9,Noiembrie 1961, p. 856-861 ( JSTOR 2311682 ).

Leonard Eugene Dickson , Istoria teoriei numerelor , vol. II, Washington,1920, 687 p. ( citiți online ) , „Soluții raționale ale lui x y = y x ”

David Singmaster , „Surse în matematică recreativă: o bibliografie adnotată. A 8-a ediție preliminară " (versiunea din 16 aprilie 2004 pe Internet Archive )

Marta Sved , „ Despre soluțiile raționale ale lui x y = y x ”, Revista de matematică ,1990( citiți online [ arhiva de4 martie 2016] )

(ro) AM Gleason , RE Greenwood, LM Kelly (A 21-a competiție matematică William Lowell Putnam (3 decembrie 1960), sesiunea de după-amiază, problema 1), Problemele și soluțiile de concurs matematic William Lowell Putnam: 1938-1964 , Nou York, MAA ,1980, 59 p. ( ISBN 0-88385-428-7 , citit online )

(de) Johann van Hengel, „ Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positiven ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung a b = b a genügt ” , Bericht: über d. Schuljahr ... / Königliches Gymnasium zu Emmerich (1876) ,1888, p. 9-12 ( citește online )

(en) Lajos Lóczi, „ Despre puterile comutative și asociative ” [ archive du15 octombrie 2002] , KöMaL (în) ,ianuarie 2000traducerea lui: (hu) Lajos Lóczi, „ Mikor kommutatív, illetve asszociatív a hatványozás? " [ Arhiva din6 mai 2016] , pe komal.hu (en) ,ianuarie 2000

linkuri externe

„ Soluții raționale la x ^ y = y ^ x ” , CTK Wiki Math , pe CTK Wiki Math
" X ^ y = y ^ x - puteri de navetă " [ arhiva de28 decembrie 2015] , Puzzle-uri aritmetice și analitice , pe puzzle-uri aritmetice și analitice , Torsten Sillke