Ecuația quartică

În matematică , o ecuație quartică este o ecuație polinomială de gradul 4.

Ecuațiile quartice au fost rezolvate imediat ce au fost cunoscute metodele de rezolvare a ecuațiilor de gradul III . Metoda Ferrari și metoda Descartes au fost dezvoltate succesiv .

Metoda lui Lagrange , descrisă mai jos, este derivat din proprietățile polinoamelor simetrice construite din n rădăcini de un polinom de gradul n .

Fragmente de istorie

Metoda de rezolvare a ecuației quartice a fost stabilită de două secole de Ludovico Ferrari (1522-1565). Metoda sa permite reducerea la o ecuație de gradul trei, numită rezoluție cubică  (în) - sau redusă - a ecuației gradului al patrulea; a fost publicat pentru prima dată în 1545 de Jérôme Cardan în lucrarea sa Ars Magna (Cardan spune în mod explicit că această metodă i-a fost indicată de Ferrari, la cererea sa). Metoda dezvoltată aici utilizează proprietățile variațiilor expresiilor care implică rădăcinile polinoamelor. Această analiză corespunde lucrării lui Joseph-Louis Lagrange care încearcă să înțeleagă principiile generale care guvernează rezoluțiile ecuațiilor de gradul doi, trei și patru. Ideea de a considera rădăcinile polinoamelor ca mărimi formale care intervin în polinoame, simetrice sau nu, este o inițiativă fructuoasă care, aplicată polinoamelor de grad mai mare sau egal cu 5, va conduce la teorema lui Évariste Galois care arată că , în general, o ecuație polinomială de gradul 5 sau mai mare nu poate fi rezolvată radical .

Eliminarea termenului de gradul 3

Printr- o tehnică comună ecuațiilor polinomiale (de orice grad), ecuația

laX4+bX3+vs.X2+dX+e=0(1){\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e = 0 \ quad (1)}

se reduce, după împărțirea cu o și schimbarea variabilei la o ecuație a formeiX=y-b4la{\ displaystyle x = y - {\ frac {b} {4a}}}

y4+py2+qy+r=0(2){\ displaystyle y ^ {4} + py ^ {2} + qy + r = 0 \ quad (2)}

cu

p=vs.la-3b28la2,q=dla-bvs.2la2+b38la3șir=ela-bd4la2+vs.b216la3-3b4256la4{\ displaystyle p = {\ frac {c} {a}} - {\ frac {3b ^ {2}} {8a ^ {2}}} \ quad {\ text {,}} \ quad q = {\ frac {d} {a}} - {\ frac {bc} {2a ^ {2}}} + {\ frac {b ^ {3}} {8a ^ {3}}} \ quad {\ text {și}} \ quad r = {\ frac {e} {a}} - {\ frac {bd} {4a ^ {2}}} + {\ frac {cb ^ {2}} {16a ^ {3}}} - { \ frac {3b ^ {4}} {256a ^ {4}}}}.

Se poate rezolva apoi ecuația (2) prin metoda lui Ferrari , cea a lui Descartes sau cea de sub „a lui Lagrange”. Toate cele trei oferă, sub aparențe diferite, aceeași formulă pentru cele patru soluții.

Metoda Lagrange

Principiul metodei

Este vorba de a găsi o expresie care să implice cele 4 rădăcini ale y1,y2,y3,y4{\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4}}

y4+py2+qy+r=0{\ displaystyle y ^ {4} + py ^ {2} + qy + r = 0}

și permițând obținerea, prin permutări, a doar 3 valori distincte.

Acesta este cazul, de exemplu , care, prin permutări, permite doar să se dea valorile -(y1+y2)(y3+y4){\ displaystyle - (y_ {1} + y_ {2}) (y_ {3} + y_ {4})}

z1=-(y1+y2)(y3+y4){\ displaystyle z_ {1} = - (y_ {1} + y_ {2}) (y_ {3} + y_ {4})}, z2=-(y1+y3)(y2+y4){\ displaystyle z_ {2} = - (y_ {1} + y_ {3}) (y_ {2} + y_ {4})}, z3=-(y1+y4)(y2+y3){\ displaystyle z_ {3} = - (y_ {1} + y_ {4}) (y_ {2} + y_ {3})}.

Orice polinom simetric al poate fi exprimat ca un polinom simetric al lui . z1,z2,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}y1,y2,y3,y4{\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4}}

În special, coeficienții polinomului pot fi exprimați folosind p , q și r . Este sigur că proprietatea R(z)=(z-z1)(z-z2)(z-z3){\ displaystyle R (z) = (z-z_ {1}) (z-z_ {2}) (z-z_ {3})}

y1+y2+y3+y4=0{\ displaystyle y_ {1} + y_ {2} + y_ {3} + y_ {4} = 0}

facilitează calculele.

Arătăm că atunci:

• z1+z2+z3=-2p{\ displaystyle z_ {1} + z_ {2} + z_ {3} = - 2p} ;
• Σeu<jzeuzj=p2-4r{\ displaystyle \ Sigma _ {i <j} z_ {i} z_ {j} = p ^ {2} -4r} ;
• z1z2z3=q2{\ displaystyle z_ {1} z_ {2} z_ {3} = q ^ {2}}.

Cele trei numere reale sunt apoi soluții ale ecuației z1,z2,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}

z3+2pz2+(p2-4r)z-q2=0(3){\ displaystyle z ^ {3} + 2pz ^ {2} + (p ^ {2} -4r) zq ^ {2} = 0 \ quad (3)}.

Acum rămâne de găsit pe baza cunoașterii acestui lucru . y1,y2,y3,y4{\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}, y_ {4}}z1,z2,z3{\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}y1+y2+y3+y4=0{\ displaystyle y_ {1} + y_ {2} + y_ {3} + y_ {4} = 0}

Observăm atunci că

z1=(y1+y2)2=(y3+y4)2{\ displaystyle z_ {1} = (y_ {1} + y_ {2}) ^ {2} = (y_ {3} + y_ {4}) ^ {2}} z2=(y1+y3)2=(y2+y4)2{\ displaystyle z_ {2} = (y_ {1} + y_ {3}) ^ {2} = (y_ {2} + y_ {4}) ^ {2}} z3=(y1+y4)2=(y2+y3)2{\ displaystyle z_ {3} = (y_ {1} + y_ {4}) ^ {2} = (y_ {2} + y_ {3}) ^ {2}}

astfel încât

y1+y2=z1{\ displaystyle y_ {1} + y_ {2} = {\ sqrt {z_ {1}}}}și ,y3+y4=-z1{\ displaystyle y_ {3} + y_ {4} = - {\ sqrt {z_ {1}}}} y1+y3=z2{\ displaystyle y_ {1} + y_ {3} = {\ sqrt {z_ {2}}}}și ,y2+y4=-z2{\ displaystyle y_ {2} + y_ {4} = - {\ sqrt {z_ {2}}}} y1+y4=z3{\ displaystyle y_ {1} + y_ {4} = {\ sqrt {z_ {3}}}} și y2+y3=-z3{\ displaystyle y_ {2} + y_ {3} = - {\ sqrt {z_ {3}}}}

(notația ar trebui înțeleasă aici ca una dintre rădăcinile pătrate ale ). zeu{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {i}}}}zeu{\ displaystyle z_ {i}}

Valorile lui sunt apoi găsite prin simplă adăugare. yeu{\ displaystyle y_ {i}}

Bilanț

Soluții

y4+py2+qy+r=0{\ displaystyle y ^ {4} + py ^ {2} + qy + r = 0}

sunteți

y1=12(z1+z2+z3){\ displaystyle y_ {1} = {\ tfrac {1} {2}} ({\ sqrt {z_ {1}}} + {\ sqrt {z_ {2}}} + {\ sqrt {z_ {3}} })} y2=12(z1-z2-z3){\ displaystyle y_ {2} = {\ tfrac {1} {2}} ({\ sqrt {z_ {1}}} - {\ sqrt {z_ {2}}} - {\ sqrt {z_ {3}} })} y3=12(-z1+z2-z3){\ displaystyle y_ {3} = {\ tfrac {1} {2}} (- {\ sqrt {z_ {1}}} + {\ sqrt {z_ {2}}} - {\ sqrt {z_ {3} }})} y4=12(-z1-z2+z3){\ displaystyle y_ {4} = {\ tfrac {1} {2}} (- {\ sqrt {z_ {1}}} - {\ sqrt {z_ {2}}} + {\ sqrt {z_ {3} }})}

unde , și sunt cele trei rădăcini ale polinomului R , de gradul 3 , numit rezolvare cubi sau redus: z1{\ displaystyle z_ {1}}z2{\ displaystyle z_ {2}}z3{\ displaystyle z_ {3}}

R(z)=z3+2pz2+(p2-4r)z-q2{\ displaystyle R (z) = z ^ {3} + 2pz ^ {2} + (p ^ {2} -4r) zq ^ {2}}.

După , trebuie să înțelegem, unul dintre numerele al căror pătrat merită . Observăm că schimbarea simultană a tuturor în contrariile lor transformă întregul în . Prin urmare, este necesar să alegeți rădăcini pătrate „bune”, astfel încât produsul să merite –q . zeu{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {i}}}}zeu{\ displaystyle z_ {i}}zeu{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {i}}}}{y1,y2,y3,y4}{\ displaystyle \ {y_ {1}, \, y_ {2}, \, y_ {3}, \, y_ {4} \}}{-y1,-y2,-y3,-y4}{\ displaystyle \ {- y_ {1}, - y_ {2}, - y_ {3}, - y_ {4} \, \}}z1z2z3{\ displaystyle {\ sqrt {z_ {1}}} {\ sqrt {z_ {2}}} {\ sqrt {z_ {3}}}}

Inventarul cazurilor

Dacă coeficienții p , q și r sunt reali, observăm că produsul rădăcinilor polinomului R este , prin urmare, suntem limitați la forma rădăcinilor polinomului R și la soluțiile ecuației quartice. q2{\ displaystyle q ^ {2}}

• Dacă cele trei rădăcini ale lui R sunt reale pozitive, obținem patru valori reale.
• Dacă toate cele trei rădăcini ale lui R sunt reale și două sunt negative, obținem două perechi de complexe conjugate.
• dacă R are o rădăcină reală și două rădăcini complexe conjugate, rădăcina reală este pozitivă și obținem două valori reale și două complexe conjugate.

Ecuații speciale

Dintre ecuațiile de gradul patru, unele, particulare, pot fi rezolvate numai cu ajutorul ecuațiilor pătratice  ; acesta este cazul pentru ecuațiile bicarle și ecuațiile simetrice sau, mai general, pentru ecuațiile cum ar fi . laX4+bX3+vs.X2+dX+e=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e = 0}lad2=eb2{\ displaystyle ad ^ {2} = eb ^ {2}}

Ecuații de patru ori

Sunt scrise în formă

laX4+bX2+vs.=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {2} + c = 0}

și sunt rezolvate prin schimbarea variabilei

y=X2{\ displaystyle y = x ^ {2}}

și rezoluția

lay2+by+vs.=0{\ displaystyle ay ^ {2} + de + c = 0}.

Ecuațiile cvadruple, precum și alte ecuații de gradul 4, pot fi, de asemenea, rezolvate prin trigonometrie circulară sau hiperbolică .

Ecuații simetrice

Sunt scrise în formă

laX4+bX3+vs.X2+bX+la=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + bx + a = 0}

și sunt rezolvate prin schimbarea variabilei

z=X+1X{\ displaystyle z = x + {\ frac {1} {x}}}

și rezoluția

laz2+bz+vs.-2la=0{\ displaystyle az ^ {2} + bz + c-2a = 0}.

Acest proces este generalizat la ecuațiile formei

laX4+bX3+vs.X2+kbX+k2la=0{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + kbx + k ^ {2} a = 0}

(cu k ≠ 0 ), care se rezolvă prin setare

z=X+kX{\ displaystyle z = x + {\ frac {k} {x}}}.

Note și referințe

1. van der Waerden 1985 .
2. Joseph Louis de Lagrange , Reflecții asupra rezoluției algebrice a ecuațiilor ,1770( citiți online ) , p.  263-268.
3. Olivier Gebuhrer, „  Invitație la reflecții asupra rezoluției algebrice a ecuațiilor  ”, L'Ouvert , IREM de Strasbourg, nr .  45,1986, p.  31-39 ( citiți online ).
4. A se vedea de exemplu capitolul 4 (Metode speciale de rezolvare) și exercițiul 4-6 al lecției Wikiversity despre ecuațiile gradului 4, urmând linkul din partea de jos a acestei pagini .
5. Pentru o relatare mai fidelă a metodelor Lagrange 1770 , a se vedea Serret 1879 , p.  475-480 sau sfârșitul capitolului „Metoda Lagrange” de pe Wikiversitate .
6. Pentru mai multe detalii despre această secțiune, consultați capitolul 4 (Metode speciale de rezolvare) din lecția Wikiversity despre ecuațiile de gradul 4 .

Vezi și tu

Articole similare

• Ecuația cubică
• Ecuația quintică
• Metoda Tschirnhaus
• Relațiile dintre coeficienți și rădăcini

Bibliografie

 : document utilizat ca sursă pentru acest articol.

• Mică enciclopedie de matematică , Didier
• Jacqueline Lelong-Ferrand și Jean-Marie Arnaudiès , curs de matematică - Algebră , Dunod
• Joseph-Alfred Serret , Curs de algebră superioară , t.  2,1879, A 4- a  ed. ( 1 st  ed. 1849) ( linia citit ) , p.  471-482
• (ro) BL van der Waerden , A History of Algebra , Springer ,1985( ISBN  3-642-51601-7 )