Metoda Descartes
Metoda lui Descartes , cunoscut sub numele de coeficienți nedeterminat face posibilă pentru a rezolva ecuațiile de - al doilea, dar , de asemenea , și mai ales al patrulea grad .
René Descartes utilizări pentru acest factorizarea polinoame de gradul n în forma cu n reale sau rădăcini complexe (vezi d'Alembert-Gauss teorema ) , care este apoi unul dintre primii matematicieni de a stăpâni.
la(X-X1)(X-X2)⋯(X-Xnu){\ displaystyle a (x-x_ {1}) (x-x_ {2}) \ cdots (x-x_ {n})}X1,...,Xnu{\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}
Ecuația pătratică
Sa rezolv
laX2+bX+vs.=0{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0},
pornim de la cele două relații dintre coeficienți și rădăcini :
X1+X2=-bla{\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} = - {\ frac {b} {a}}} ;
X1X2=vs.la{\ displaystyle x_ {1} x_ {2} = {\ frac {c} {a}}}.
Prima relație este echivalentă cu
X1=-b2la+pșiX2=-b2la-p{\ displaystyle x_ {1} = - {\ frac {b} {2a}} + p \ quad {\ text {et}} \ quad x_ {2} = - {\ frac {b} {2a}} - p },
unde p este un parametru determinat de a doua relație.
Acest truc este foarte comun: atunci când cunoaștem suma C a două numere A și B, putem scrie întotdeauna A ca suma a jumătății lui C și a unei anumite cantități p; B, pentru a menține egalitatea A + B = C, va valora în mod necesar jumătate din C minus p.
Ajungem apoi la
(-b2la+p)(-b2la-p)=vs.la{\ displaystyle \ left (- {\ frac {b} {2a}} + p \ right) \ left (- {\ frac {b} {2a}} - p \ right) = {\ frac {c} {a }}},
și deducem din el ± p , apoi cele două rădăcini.
Ecuația gradului 4
În lucrarea sa La Géométrie (1637), Descartes aplică această metodă pentru a rezolva ecuațiile gradului al patrulea :
Mai întâi reducem ecuația (prin împărțirea la coeficientul dominant apoi prin traducerea variabilei astfel încât să eliminăm termenul de grad 3 ) la o ecuație de formă
z4+pz2+qz+r=0{\ displaystyle z ^ {4} + pz ^ {2} + qz + r = 0}.
Vom presupune că această ecuație nu este bicarlată , adică q ≠ 0 .
Scopul fiind de a avea doar pentru a rezolva două ecuații de gradul al doilea pentru a găsi cele patru rădăcini, se urmărește apoi descompunerea polinomului într-un produs de două polinoame unitare de gradul al doilea, dintre care va fi necesar să se determine coeficienții. Prin urmare, stabilim a prioriX4+pX2+qX+r{\ displaystyle X ^ {4} + pX ^ {2} + qX + r}
(X2+laX+b)(X2+la′X+vs.)=X4+pX2+qX+r{\ displaystyle (X ^ {2} + aX + b) (X ^ {2} + a'X + c) = X ^ {4} + pX ^ {2} + qX + r},
care este echivalent, prin dezvoltarea și identificarea coeficienților, la:
{la′+la=0vs.+lala′+b=plavs.+bla′=qbvs.=r,{\ displaystyle {\ begin {cases} a '+ a & = 0 & \\ c + aa' + b & = p \\ ac + ba '& = q \\ bc & = r, \ end {cases}} }sau la
{la′=-lavs.+b=p+la2vs.-b=q/labvs.=r{\ displaystyle {\ begin {cases} a '& = - a \\ c + b & = p + a ^ {2} \\ cb & = q / a \\ bc & = r \ end {cases}}}deci la
{la′=-lavs.=p+la2+q/la2b=p+la2-q/la2(p+la2-q/la)(p+la2+q/la)=4r.{\ displaystyle {\ begin {cases} a '= - a \\ c = {\ frac {p + a ^ {2} + q / a} {2}} \\ b = {\ frac {p + a ^ {2} -q / a} {2}} \\ (p + a ^ {2} -q / a) (p + a ^ {2} + q / a) = 4r. \ End {cases}}}A patra ecuație este rescrisă:
(p+la2)2-q2la2=4r{\ displaystyle (p + a ^ {2}) ^ {2} - {\ frac {q ^ {2}} {a ^ {2}}} = 4r},
sau:
{la2=LA(LA+p)2LA-4rLA=q2.{\ displaystyle {\ begin {cases} a ^ {2} = A \\ (A + p) ^ {2} A-4rA = q ^ {2}. \ end {cases}}}Am găsit o soluție A 0 din ultima ecuație - numita rezolvare cubic (ro) - prin una dintre metodele standard , atunci vom alege pentru o una dintre cele două rădăcini pătrate de A 0 și deducem o ' , c și b de ecuațiile precedente.
Cele două ecuații obținute:
z2+laz+p+la2-q/la2=0sauz2-laz+p+la2+q/la2=0cula2=LA0{\ displaystyle z ^ {2} + az + {\ frac {p + a ^ {2} -q / a} {2}} = 0 \ quad {\ text {or}} \ quad z ^ {2} - az + {\ frac {p + a ^ {2} + q / a} {2}} = 0 \ quad {\ text {cu}} \ quad a ^ {2} = A_ {0}},
sunt identice cu cele ale Ferrari (1540):
z2+laz+y0-q2la=0sauz2-laz+y0+q2la=0cula2=2y0-p{\ displaystyle z ^ {2} + az + y_ {0} - {\ frac {q} {2a}} = 0 \ quad {\ text {or}} \ quad z ^ {2} -az + y_ {0 } + {\ frac {q} {2a}} = 0 \ quad {\ text {cu}} \ quad a ^ {2} = 2y_ {0} -p},
deoarece schimbarea parametrilor transformă Descartesul cubic rezolvat în cel al lui Ferrari .
LA=2y-p{\ displaystyle A = 2y-p}4(y2-r)(2y-p)=q2{\ displaystyle 4 (y ^ {2} -r) (2y-p) = q ^ {2}}
Rezolvarea lui Descartes și expresia celor patru soluții în funcție de o rădăcină a acestui rezolvator sunt identice cu cele ale metodei Lagrange (1770).
Pentru exemple, consultați lecția despre Wikiversitate ( linkul de mai jos ) și exercițiile sale.
Notă
-
Pentru o generalizare a metodei fără acest pas preliminar, a se vedea Joseph-Alfred Serret , Cours d'Algebre Supérieur ,1854, A 2 -a ed. ( 1 st ed. 1849) ( linia citit ) , p. 242sau sfârșitul capitolului Wikiversitate ( link mai jos ).
Vezi și tu
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">