Ecuația diferențială a lui Newton

Cele ecuațiile diferențiale ale Newton sunt ecuațiile diferențiale ale formei:

X″(t)=f(X(t)){\ displaystyle x '' (t) = \, f (x (t)) \,}

Cu prima și a doua derivată a definite de: X(t){\ displaystyle x (t)}

X′(t)=dXdtX″(t)=d2Xdt2{\ displaystyle x '(t) = {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} {} \ qquad x' '(t) = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} {}}

Funcția depinde de sistemul studiat. f(X(t))=f∘X(t){\ displaystyle f (x (t)) = f \ circ x (t) \,}

Prin înmulțirea celor 2 membri cu , ecuația conduce prin integrare la: X′(t){\ displaystyle x '(t)}

(X′)2-2F(X)=E{\ displaystyle (x ') ^ {2} -2F (x) = E}

Această ecuație din care este derivată ecuația lui Newton se numește integrala primă a mișcării.

Constanta de integrare depinde de condițiile inițiale ale sistemului studiat. E{\ displaystyle E}

Funcția este o primitivă de astfel încât: F(X){\ displaystyle F (x) \,}f(X){\ displaystyle f (x) \,}

F(X)=∫f(X)dX{\ displaystyle F (x) = \ int _ {} f (x) dx \,}

Aceste ecuații diferențiale poartă numele fizicianului și matematicianului Isaac Newton .

Rezoluţie

Tragem din a doua ecuație , care readuce studiul la un portret de fază sau la o problemă orară a diagramei . X′(t)=±E+2F(X(t)){\ displaystyle x '(t) = \ pm {\ sqrt {E + 2F (x (t))}} \,}

În general, este nevoie de un instrument digital (calculator, software de calcul) pentru a rezolva problema în conformitate cu valorile primei integrale, deoarece analitic, ecuațiile lui Newton sunt greu de rezolvat.

În fizică , vorbim despre o potențială fântână sau o posibilă problemă de barieră .

Este arhetipul problemelor care coboara la o necunoscută în dinamica newtoniană , pornind de la 2 nd  legea lui Newton. X(t){\ displaystyle x (t)}

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">