Ecuația difuziei

Ecuația de difuzie este o ecuație diferențială parțială . În fizică, descrie comportamentul deplasării colective a particulelor (molecule, atomi, fotoni, neutroni etc. ) sau a cvasiparticulelor, cum ar fi fononii într-un mediu cauzat de mișcarea aleatorie a fiecărei particule atunci când scara timpului și d spațiile macroscopice sunt mari în fața omologilor lor microscopici. În caz contrar, problema este descrisă de ecuația lui Boltzmann . În matematică, una sau alta dintre aceste descrieri se aplică oricărui subiect care se încadrează în procesul Markov ca și în alte domenii, cum ar fi științele materiale, știința informației, viața, social etc. Prin urmare, vorbim mai mult despre un proces brownian.

Scris

Ecuația este de obicei scrisă sub forma:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} = \ nabla \ cdot \ left [{\ mathcal {D}} (\ phi, \ mathbf {r }) \ \ nabla \ phi (\ mathbf {r}, t) \ right],}

unde $ϕ ( r , t )$ este densitatea materialului care difuzează la punctul $r$ și la momentul $t$ și este coeficientul de difuzie colectivă pentru densitatea $ϕ$ la punctul $r$ . Simbolul ∇ ( nabla ) desemnează gradientul. Dacă coeficientul de difuzie depinde de densitate, atunci ecuația este slab neliniară, altfel este. ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ phi, \ mathbf {r})}$ $\ mathcal {D}$

În cazul mai general, când este o matrice pozitivă simetrică definită , ecuația descrie o difuzie anizotropă , descrisă (în cazul 3D) prin: $\ mathcal {D}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ { 3} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} \ left [{\ mathcal {D}} _ {ij} (\ phi, \ mathbf {r}) {\ frac {\ partial \ phi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial x_ {j}}} \ right]}

Dacă este constantă, ecuația se reduce la o ecuație diferențială liniară cunoscută, ecuația căldurii : $\ mathcal {D}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} = {\ mathcal {D}} \ nabla ^ {2} \ phi (\ mathbf {r}, t).}

Mai general, atunci când există mai multe tipuri de particule în mediu și mai multe surse pentru difuzie, sistemul este descris printr-un sistem liniar ca în cazul ecuațiilor Stefan-Maxwell .

Istorie și dezvoltare

Multe fenomene fizice, în diferite domenii științifice, sunt descrise matematic prin ecuațiile de difuzie, care traduc evoluția unui proces Markov în raport cu legea normală . În fizică, deplasarea particulelor împrăștiate corespunde mișcării browniene care îndeplinește legea parabolică. Utilizarea lor poate fi totuși extinsă pe câmpuri mai îndepărtate. Astfel, ecuațiile de difuzie sunt utilizate în știința materialelor, pentru relația de echilibru local dintre defectele cristalelor de silicon sau în biologie, pentru echilibrul prădător-pradă.

Ecuația termică propusă de Fourier în 1822 a fost proiectat pentru a descrie evoluția temperaturii într - un material. În 1827, mișcarea browniană a fost scoasă la lumină, unde autodifuzia apei este evidențiată de deplasarea boabelor de polen. Cu toate acestea, mișcarea browniană nu a fost recunoscută ca o problemă de difuzie până la teoriile lui Einstein în 1905. Deși a fost o problemă de difuzie, Fick a aplicat ecuația căldurii fenomenului de difuzie din 1855.

De flux de divergență teorema arată că ecuația de difuzie este valabila indiferent de starea materialului (solid, lichid sau gaz) ca o lege de conservare, în cazul în care nu există nici sursa , nici o pierdere în sistem. De asemenea, arată că echivalența dintre prima și a doua lege a lui Fick este matematic incompletă fără un flux de difuzie constant legat de o mișcare browniană local în spațiu. Acest flux este esențial pentru înțelegerea mecanismului de autodifuziune. Acest mecanism nu a fost studiat în sine, ci indirect prin difuziunea impurităților într-un mediu pur de teoria mișcării browniene a lui Einstein și ecuația lui Langevin .

Difuzivitatea ecuației depinde în general de concentrația particulelor. În acest caz, ecuația de difuzie devine neliniară și rezoluția sa este imposibilă, chiar și în cazul unei dimensiuni spațiale. În conformitate cu legea parabolic, Boltzmann transformă ecuația de difuzie, care se schimbă de la o ecuație neliniară derivă parțial la o ecuație diferențială obișnuit neliniare în 1894. De atunci, cu toate acestea, transformarea Boltzmann nu a fost rezolvată matematic , înainte de sfârșitul XX - lea secol, deși Matano a folosit empiric pentru probleme de interdifuzie în metalurgie.

Aici, metoda rezoluției analitice a ecuației de difuzie, al cărei calcul este mai eficient în comparație cu metodele analitice existente, cum ar fi transformările integrale Fourier sau Laplace sau separarea variabilelor, a fost stabilită în cazul parabolic.

Derivare

Ecuația de difuzie poate fi pur și simplu dedusă din ecuația de conservare , care spune că o schimbare a densității în orice parte a sistemului se datorează schimburilor cu exteriorul sistemului. De fapt, niciun material nu este creat sau distrus:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j} = 0 \ ,, \ qquad \ mathbf {j} = \ phi \ mathbf {v}}

cu j fluxul materialului împrăștiat și v viteza particulelor. Ecuația de difuzie apare atunci când este combinată cu prima lege a lui Fick , care presupune că fluxul materialului difuz în orice parte a sistemului este proporțional cu gradientul de densitate local:

{\ displaystyle \ mathbf {j} = -D (\ phi, \ mathbf {r}) \, \ nabla \ phi (\ mathbf {r}, t).}

În general, problema este descrisă de ecuația Boltzmann a cărei ecuație de difuzie constituie o aproximare atunci când scara macroscopică de timp și spațiu este mare în comparație cu omologii lor microscopici. Acest lucru este valabil pentru difuzia de masă, dar și pentru conducerea termică , transferul radiativ sau orice alt proces de transfer de energie.

Transferul difuziv poate fi obținut și dintr-un proces de mers aleatoriu , cum ar fi mișcarea browniană .

Discretizare

Ecuația de difuzie este continuă în spațiu și timp. Prin urmare, putem discreționa în spațiu, timp sau ambele, ceea ce se întâmplă în aplicație. Discretizarea numai în timp nu dezvăluie fenomene noi; în discretizarea numai spațială, funcția verde a sistemului devine nucleul Gauss discret . Discretizarea în spațiu și în timp dă naștere la o plimbare aleatorie .

Discretizare în procesarea imaginilor

Regula de produs este utilizat pentru cazul de difuzie cu un tensor anizotropă, în schemele de discretizare, pentru a preveni utilizarea unor formule de prim ordin de la crearea de artefacte. O rescriere folosită în mod obișnuit în procesarea imaginilor este:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} = \ nabla \ cdot \ left [D (\ phi, \ mathbf {r}) \ right] \ nabla \ phi (\ mathbf {r}, t) + {\ rm {tr}} \ left [D (\ phi, \ mathbf {r}) \ left (\ nabla \ nabla ^ {T} \ phi (\ mathbf {r}, t) \ right) \ right]}

cu $tr$ denotă urmele ordinului tensorului 2 e exponentul $T$ pentru transpunere , în care, în procesarea imaginii, $D ( φ , r )$ sunt matrici simetrice construite din vectorii proprii ai structurii imaginii tensoarelor. Derivații spațiale pot fi aproximate prin diferență finită de 2 - lea ordin. Algoritmul de difuzie rezultat poate fi văzut ca o convoluție a imaginii cu un nucleu (sau șablon) în mișcare de dimensiunea 3 × 3 în 2D și 3 × 3 × 3 în 3D.

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Diffusion ecuație ” (a se vedea lista autorilor ) .

(în) AA Markov , " The theory of algorithms " , American Mathematical Society Translation series , vol. 2, n o 15,1960, p. 1-14
(ro) Robertus Brown , „ O scurtă descriere a observațiilor microscopice asupra particulelor conținute în polenul plantelor; și despre existența generală a moleculelor active în corpurile organice și anorganice ” , Floræ Novæ Hollandæ ,1827
Joseph Fourier , Teoria analitică a căldurii , Didot Paris,1822
(De) Albert Einstein , " Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen " , Annalen der Physik , vol. 322, nr . 8,1905, p. 549–560 ( ISSN 0003-3804 , DOI 10.1002 / andp.19053220806 , citiți online )
(De) A. Fick , " Ueber Diffusion " , Annalen der Physik , voi. 170 (4. Reihe 94),1855, p. 59-86
(De) Carl Friedrich Gauss , " Allgemeine lehsatze in beziehung auf die im verkehrten verhaltnisse des quadrats der entfernung wirkenden anziehung-und abstossungs- krafte " , Werke , vol. 1, n o 4,1840( citește online )
(în) Takahisa Okino, „ Probleme de fizică matematică în distribuție ” , Journal of Modern Physics , n o 6,2015, p. 2109-2144
Paul Langevin , „ Despre teoria mișcării browniene ”, Proceedings of the Academy of Sciences , vol. 146,1908, p. 530-532 ( citiți online )
(de) L. Boltzmann , „ Zur integration der diffusionscoefficienten ” , Annalen der Physik , n o 53,1894, p. 959-964
(în) C. Matano, „ Despre relația dintre coeficienții de difuzie și concentrațiile metalelor solide ” , Japanese Journal of Physics , n o 8,1933, p. 109-113
(în) Takahisa Okino, „ Soluție matematică nouă pentru analiza problemelor de interdifuzie ” , Tranzacții materiale , nr . 52,2011, p. 2220-2227

Vezi și tu

Bibliografie

(ro) Horatio Scott Carslaw și John Conrad Jaeger, Conducerea căldurii în solide , Oxford, Clarendon Press ,1959
(ro) John Crank, The Mathematics of Difusion , Oxford, Clarendon Press ,1956
(ro) Jon Mathews și Robert L. Walker, Metode matematice de fizică , New York, WA Benjamin,1970, A 2 -a ed. , 501 p. ( ISBN 0-8053-7002-1 )
(ro) RK Michael Thambynayagam, Manualul de difuzare: soluții aplicate pentru ingineri , McGraw-Hill ,2011, 2048 p. ( ISBN 978-0-07-175184-1 și 0-07-175184-X )

Articole similare

linkuri externe

Înregistrări de autoritate :

Biblioteca Națională de Dietă