Ecuația de conservare

In diferite discipline ale fizicii , atunci când o cantitate este conservată ( în mod tipic în masă , încărcare , impuls , energie , etc. ) , în deplasarea sa, se poate stabili o ecuație privind variația cantității în timpul la variația ei în spațiu, numit conservarea ecuației magnitudinii.

Stabilirea legii

Putem defini o lege de conservare pentru o variabilă conservatoare ( largă ) (densitate ) condusă la viteză folosind teorema de transport Reynolds pe un domeniu de control al anvelopei pe care este definită normalul de ieșireΦ{\ displaystyle \ Phi}ϕ{\ displaystyle \ phi}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}V{\ displaystyle V} ∂V{\ displaystyle \ partial V}nu→{\ displaystyle {\ vec {n}}}

ddt∫Vϕ dV+∫∂Vϕv→⋅nu→ dLA=∫VS dV{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {V} \ phi \ \ mathrm {d} V + \ int _ {\ partial V} \ phi \, {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {n}} \ \ mathrm {\ mathrm {\ mathrm {d}}} A = \ int _ {V} S \ \ mathrm {d} V}

Această ecuație de echilibru spune că variația volumului de referință (primul termen din ecuație) este egală cu ceea ce se stinge sau ce intră (al doilea termen) plus ceea ce este creat sau dispare în volum prin termenul S luat pozitiv în cazul de producție.

Prin aplicarea teoremei flux-divergență , termenul de suprafață este transformat într-un termen de volum:

ddt∫Vϕ dV+∫V∇→⋅(ϕv→) dV=∫VS dV{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {V} \ phi \ \ mathrm {d} V + \ int _ {V} {\ vec {\ nabla }} \ cdot (\ phi \, {\ vec {v}}) \ \ mathrm {d} V = \ int _ {V} S \ \ mathrm {d} V}

și prin aplicarea regulii lui Leibniz

∫V∂ϕ∂t dV+∫V∇→⋅(ϕv→) dV=∫VS dV⇒∫V[∂ϕ∂t+∇→⋅(ϕv→)-S ]dV=0{\ displaystyle \ int _ {V} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} \ \ mathrm {d} V + \ int _ {V} {\ vec {\ nabla}} \ cdot (\ phi \, {\ vec {v}}) \ \ mathrm {d} V = \ int _ {V} S \ \ mathrm {d} V \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ int _ {V} \ left [{\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} + {\ vec {\ nabla}} \ cdot (\ phi \, {\ vec {v}}) - S \ \ right] \ mathrm {d} V = 0}

Această expresie este valabilă indiferent de volumul de referință. Prin urmare, implică faptul că integrandul este zero:

∂ϕ∂t+∇→⋅(ϕv→)=S{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} + {\ vec {\ nabla}} \ cdot (\ phi \, {\ vec {v}}) = S}

Această ultimă expresie constituie ecuația de conservare a . Φ{\ displaystyle \ Phi}

În coordonate lagrangiene

Putem fi conduși să scriem ecuația de conservare într-un cadru notat condus la viteză , deci definit de ξ{\ displaystyle \ xi}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}

∂X→∂t=v→{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {x}}} {\ partial t}} = {\ vec {v}}}

Accelerarea acestui sistem este dată de derivata particulelor

DϕDt=∂ϕ∂t|ξ=∂ϕ∂t|X+v→⋅∇→ϕ{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {D} \ phi} {\ mathrm {D} t}} \, = \ left. {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} \ right | _ { \ xi} = \ left. {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} \ right | _ {x} + {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} \ phi}

Ținând cont de expresia conservării în coordonate fixe (numită euleriană) vine

DϕDt=S-∇→⋅(ϕv→)+v→⋅∇→ϕ=S-ϕ∇→⋅v→{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {D} \ phi} {\ mathrm {D} t}} \, = S - {\ vec {\ nabla}} \ cdot (\ phi \, {\ vec {v} }) + {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} \ phi = S- \ phi {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {v}}}

Rescriem această ecuație într-o formă similară cu cea utilizată pentru un sistem fix

DϕDt+ϕ∇→⋅v→=S{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {D} \ phi} {\ mathrm {D} t}} + \ phi {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {v}} = S}

Articole similare

• Ecuațiile lui Euler
• Ecuațiile Navier-Stokes
• Legile lui Fick
• Ecuația Mason-Weaver
• Conservarea Energiei
• Conservarea sarcinii electrice
• Ecuația căldurii

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">