Ecuația Cole-Cole

Ecuația Cole-Cole este o relaxare de model care este adesea utilizat pentru a descrie relaxarea dielectrică a polimerilor .

Este dat de

ε∗(ω)=ε∞+εs-ε∞1+(euωτ)1-α{\ displaystyle \ varepsilon ^ {*} (\ omega) = \ varepsilon _ {\ infty} + {\ frac {\ varepsilon _ {s} - \ varepsilon _ {\ infty}} {1+ (i \ omega \ tau ) ^ {1- \ alpha}}}}

unde este constanta dielectrică complexă (sau permitivitatea relativă) și sunt constantele dielectrice „statice” și „frecvența infinită”, este frecvența unghiulară și este un timp caracteristic. ε∗{\ displaystyle \ varepsilon ^ {*}}εs{\ displaystyle \ varepsilon _ {s}}ε∞{\ displaystyle \ varepsilon _ {\ infty}}ω{\ displaystyle \ omega}τ{\ displaystyle \ tau}

Parametrul , care ia o valoare între 0 și 1, este utilizat pentru a descrie diferite forme spectrale. Când , modelul Cole-Cole este redus la modelul Debye . Când relaxarea este întinsă , adică se întinde pe o gamă mai largă decât relaxarea lui Debye. α{\ displaystyle \ alpha}α=0{\ displaystyle \ alpha = 0}α>0{\ displaystyle \ alpha> 0}

Separarea constantei dielectrice complexe a fost dată în articolul original de către Cole și Cole după cum urmează: ε(ω){\ displaystyle \ varepsilon (\ omega)}

ε′=ε∞+(εs-ε∞)1+(ωτ)1-αpăcat⁡απ/21+2(ωτ)1-αpăcat⁡απ/2+(ωτ)2(1-α){\ displaystyle \ varepsilon '= \ varepsilon _ {\ infty} + (\ varepsilon _ {s} - \ varepsilon _ {\ infty}) {\ frac {1 + (\ omega \ tau) ^ {1- \ alpha} \ sin \ alpha \ pi / 2} {1 + 2 (\ omega \ tau) ^ {1- \ alpha} \ sin \ alpha \ pi / 2 + (\ omega \ tau) ^ {2 (1- \ alpha) }}}}ε″=(εs-ε∞)(ωτ)1-αcos⁡απ/21+2(ωτ)1-αpăcat⁡απ/2+(ωτ)2(1-α){\ displaystyle \ varepsilon '' = {\ frac {(\ varepsilon _ {s} - \ varepsilon _ {\ infty}) (\ omega \ tau) ^ {1- \ alpha} \ cos \ alpha \ pi / 2} {1 + 2 (\ omega \ tau) ^ {1- \ alpha} \ sin \ alpha \ pi / 2 + (\ omega \ tau) ^ {2 (1- \ alpha)}}}

Aceste ultime expresii se traduc, după introducerea funcțiilor hiperbolice , prin

ε′=ε∞+12(ε0-ε∞)[1-sinh⁡((1-α)X)cosh⁡((1-α)X)+cos⁡απ/2]{\ displaystyle \ varepsilon '= \ varepsilon _ {\ infty} + {\ frac {1} {2}} (\ varepsilon _ {0} - \ varepsilon _ {\ infty}) \ left [1 - {\ frac { \ sinh ((1- \ alpha) x)} {\ cosh ((1- \ alpha) x) + \ cos \ alpha \ pi / 2}} \ right]}ε″=12(ε0-ε∞)cos⁡απ/2cosh⁡((1-α)X)+păcat⁡απ/2{\ displaystyle \ varepsilon '' = {\ frac {1} {2}} (\ varepsilon _ {0} - \ varepsilon _ {\ infty}) {\ frac {\ cos \ alpha \ pi / 2} {\ cosh ((1- \ alpha) x) + \ sin \ alpha \ pi / 2}}}

Unde . X=ln⁡(ωτ){\ displaystyle x = \ ln (\ omega \ tau)}

Găsim expresiile lui Debye când . α=0{\ displaystyle \ alpha = 0}

Relaxarea Cole-Cole constituie un caz special de relaxare Havriliak-Negami atunci când parametrul de simetrie ( β ) este egal cu 1, adică atunci când vârfurile de relaxare sunt simetrice. Un alt caz special de relaxare Havriliak-Negami ( β <1, α = 1 ) este cunoscut sub numele de „  relaxare Cole-Davidson  ”.

Referințe

• (fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din limba engleză Wikipedia articol intitulat „  Cole - ecuație Cole  “ ( vezi lista de autori ) .

1. Kenneth S. Cole și Robert H. Cole , „  Dispersie și absorbție în dielectrici: I - Caracteristici ale curentului alternativ  ”, Journal of Chemical Physics , vol.  9, n o  4,1941, p.  341–351 ( DOI  10.1063 / 1.1750906 , Bibcode  1941JChPh ... 9..341C )

• KS Cole și RH Cole , „  Dispersia și absorbția în dielectrici - I Caracteristici ale curentului alternativ  ”, J. Chem. Fizic. , vol.  9, n o  4,1941, p.  341–352 ( DOI  10.1063 / 1.1750906 , Bibcode  1941JChPh ... 9..341C )
• KS Cole și RH Cole , „  Dispersie și absorbție în dielectrici - II caracteristici de curent continuu  ”, Journal of Chemical Physics , vol.  10, n o  21942, p.  98–105 ( DOI  10.1063 / 1.1723677 , Bibcode  1942JChPh..10 ... 98C )
• YP Kalmykov , WT Coffey , DSF Crothers și SV Titov , „  Modele microscopice pentru relaxare dielectrică în sisteme dezordonate  ”, Physical Review E , vol.  70, nr .  4,2004, p.  041103 ( PMID  15600393 , DOI  10.1103 / PhysRevE.70.041103 , Bibcode  2004PhRvE..70d1103K )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">