Ecuația hamburgerilor

Ecuația Burgers este o ecuație diferențială parțială care rezultă din mecanica fluidelor . Apare în diferite domenii ale matematicii aplicate , cum ar fi modelarea dinamicii gazelor, a acusticii sau a traficului rutier. Își datorează numele lui Johannes Martinus Burgers care l-a discutat în 1948. Apare în lucrările anterioare ale lui Andrew Russel Forsyth și Harry Bateman .

Formulare

Prin denotând $u$ viteza și $vA$ coeficientul de cinematică viscozitate , forma generală a ecuației Burgers este:

{\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}}

Când $ν = 0$ , ecuația Burgers devine ecuația Burgers fără vâscozitate:

{\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = 0

Matricea Jacobi a acestei ecuații se reduce la cantitatea scalară $u$ , valoarea reală. Prin urmare, este o ecuație diferențială parțială hiperbolică . Prin urmare, poate include discontinuități ( unde de șoc ).

Forma conservatoare a acestei ecuații este:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left (u ^ {2} \ dreapta) = 0}

Ecuație fără vâscozitate

Soluție regulată

Prin metoda caracteristicilor

Căutăm o linie caracteristică $[ x ( s ), t ( s )] de$ -a lungul căreia ecuația Burgers se reduce la o ecuație diferențială obișnuită. Să calculăm derivata lui $ν de$ -a lungul unei astfel de curbe:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} u [x (s), t (s)]} {\ mathrm {d} s}} & = 0 \\ [1em] & = & {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} s}} {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} s}} {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} \ end {align}}}

Identificăm ecuația Burgers făcând (presupunem $t (0) = 0$ ):

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} s}} = 1 \ qquad \ Rightarrow \ qquad t (s) = s}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} s}} = u \ qquad \ Rightarrow \ qquad x (s) = x_ {0} + us = x_ {0} + ut}

Caracteristicile din plan $( x , t )$ sunt linii drepte de pantă $ν de$ -a lungul cărora soluția este constantă.

Valoarea la un punct $( x c , t c ) se$ obține prin „ascensiunea” caracteristicii la originea sa $x 0 = x c - ut c$ . Această valoare este $u = u ( x 0 )$ .

Metoda folosind un ansatz

Putem da o soluție generală sub formă

{\ displaystyle u (x, t) = f (w)}

unde $f$ este orice funcție a variabilei $w = x - ut$ .

Observăm ${\ displaystyle f '= {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} w}}}$

Dacă trecem la ecuația Burgers, vine:

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} \ right) \ left (1 + tf '\ right) = 0}

$f$ este, prin urmare, o soluție, cu excepția cazului în care al doilea termen al ecuației dispare.

Derivatul lui $u se$ scrie:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {f '} {1 + tf'}}}

Funcția $u$ devine singulară pentru $1 + tf ' = 0$ , punct de intersecție a caracteristicilor. Dincolo de soluția regulată a ecuației nu mai are un sens fizic, deoarece soluția este multivalorată.

Cantitate conservatoare

Integrați ecuația în formă conservatoare de la $a$ la $b$ :

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {a} ^ {b} u \ mathrm {d} x = {\ frac {u_ {a} ^ { 2}} {2}} - {\ frac {u_ {b} ^ {2}} {2}} \; \; \; \ forall a, b}

Dacă $u$ dispare la două limite finite (probleme periodice) sau infinite, atunci:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {a} ^ {b} u \ mathrm {d} x = 0}

Într-un sistem închis, cantitatea este păstrată în timp. ${\ displaystyle \ int u \ mathrm {d} x}$

Discontinuitatea

Pentru un sistem de ecuații hiperbolice scrise în formă

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial g (u)} {\ partial x}} = 0}

viteza de propagare a unui șoc este dată de ecuația Rankine-Hugoniot

{\ displaystyle c = {\ frac {\ Delta g} {\ Delta u}}}

În cazul nostru , unde ${\ displaystyle g = {\ frac {u ^ {2}} {2}}}$

{\ displaystyle c = {\ frac {{\ frac {u_ {G} ^ {2}} {2}} - {\ frac {u_ {D} ^ {2}} {2}}} {u_ {G} -u_ {D}}} = {\ frac {u_ {G} + u_ {D}} {2}}}

unde $u G$ și $u D$ sunt viteza de pe ambele părți ale șocului.

Ecuație cu vâscozitate

Putem transforma această ecuație folosind transformarea Hopf-Cole:

{\ displaystyle u = - {\ frac {2 \ nu} {\ phi}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x}}}

Prin transportul în ecuație se ajunge:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left ({\ frac {1} {\ phi}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} \ right) = { \ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left ({\ frac {\ nu} {\ phi}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial x ^ {2}}} \ dreapta)}

Prin integrare comparativ cu $x$ este introdusă o „constantă” a funcției de integrare a timpului pe care se notează $g ( t )$ , determinată de condițiile la limită:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} = \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial x ^ {2}}} + g (t) \ phi}

Noua modificare a variabilei $ψ = ϕ exp (\int g d t )$ permite scrierea:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} = \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial x ^ {2}}}}

Obținem o ecuație de difuzie analogă ecuației căldurii pentru care există soluții analitice.

Note și referințe

(în) Jan Burgers , " Un model matematic care ilustrează teoria turbulenței " , Progrese în mecanica aplicată , Academic Press, vol. 1,1948
(în) Andrew Russell Forsyth, „ Theory of Differential Equations, Part 4 ” , Ecuații diferențiale parțiale , Cambridge University Press, Vol. 5-6,1906
(în) Harry Bateman , „ Unele cercetări recente privind mișcarea fluidelor ” , Revista lunară a vremii , 1915 [1]
(în) Jan Burgers , Ecuația de difuzie neliniară , Springer,1974( ISBN 978-94-010-1747-3 )
(în) Eberhard Hopf , " The Equivaly Parial Differential there t + yy x = μ xx " , Communications is Pure and Applied Mathematics , vol. 3, n o 3,Septembrie 1950

linkuri externe

(ro) Leon van Dommelen, The Inviscid Burger's Equation [2]
(ro) Ecuația burgerilor , Institut für Theoretische Physik, Münster [3]
(ro) Ecuația NEQwiki Burgers
(ro) John Burkardt, 40 de soluții ale ecuației Burgers (coduri sub licență GNU ) [4]

Articole similare